CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.2. Một số biện pháp sƣ phạm nhằm góp phần bồi dƣỡng năng lực mô hình hóa
2.2.4. Biện pháp 4: Xây dựng những bài tập có hệ thống câu hỏi nội dung thực tế
tế dùng cho ôn tập cuối chương, cuối năm
Bên cạnh việc xây dựng ví dụ, bài tập bổ sung cho việc dạy học, ta có thể khai thác những tƣ tƣởng, bài toán thực tế để xây dựng những bài tập có hệ thống câu hỏi mang nội dung thực tế cho dùng cho ôn tập chƣơng, ôn tập cuối năm, cuối cấp. Điều này đặc biệt thuận lợi khi đặc điểm của các bài tập của PISA nhƣ đã trình bày ở trên là tích hợp và kết nối các nội dung kiến thức kiểm tra dựa trên bối cảnh của một thách thức hay một vấn đề đƣợc phát sinh trong thế giới thực. Bài tập sau có thể đƣa vào dạy học ôn tập môn Toán cuối cấp THCS:
Bài tập 1 : Nhịp tim
Vì lý do sức khỏe, ngƣời ta nên hạn chế những nỗ lực của họ, ví dụ nhƣ trong thể thao để không vƣợt quá tần số nhịp tim nhất định. Trong nhiều năm qua mối quan hệ giữa tỷ lệ khuyến cáo giữa nhịp tim tối đa và độ tuổi của một ngƣời đƣợc mô tả bởi công thức sau :
Nhịp tim tối đa đƣợc khuyến cáo = 220 – tuổi
Nghiên cứu gần đây cho thấy rằng công thức này nên đƣợc sửa đổi một chút. Công thức mới nhƣ sau:
Nhịp tim tối đa đƣợc khuyến cáo = 208 – (0.7 x tuổi)
Bảng 2.1. Bảng nhịp tim đối đa được khuyến cáo
Tuổi (theo năm) 9 12 15 18 21 24
Nhịp tim tối đa đƣợc khuyến cáo cũ
(công thức cũ)
211 208 205 202 199 196
Nhịp tim tối đa đƣợc khuyến cáo mới
(công thức mới)
201,7 197,5 195,4 191,2
Câu hỏi 2: Ở tuổi nào thì công thức cũ và mới cho chính xác cùng một giá trị và giá trị đó là bao nhiêu?
Câu hỏi 3: Bạn Hoa chú ý rằng hiệu số của hai nhịp tim tối đa đƣợc khuyến cáo trong bảng có vẻ giảm đi khi tuổi tăng lên. Tìm một công thức thể hiện hiệu số này theo tuổi.
Câu hỏi 4: Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng tập thể dục có hiệu quả nhất khi nhịp tim là 80% của nhịp tim tối đa đƣợc khuyến cáo theo công thức mới. Hãy viết và rút gọn công thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục theo tuổi.
Câu hỏi 5: Công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổi nhƣ thế nào? Hãy giải thích câu trả lời của bạn một cách rõ ràng.
Bài toán cung cấp thông tin thực tế về sức khỏe con ngƣời. Để làm đƣợc bài toán này, HS cần phải chuyển đƣợc những thông tin đã cho trong đề bài thành những phƣơng trình đại số (hay hàm số), biết vận dụng các kỹ năng đại số để giải quyết lần lƣợt các vấn đề đặt ra.
Cụ thể là :
- Câu 1 chỉ yêu cầu HS kỹ năng tính toán đơn giản để điền số liệu vào bảng cho trƣớc.
- Câu 2 đòi hỏi HS phải biết cách biểu diễn nhịp tim tối đa đƣợc khuyến cáo theo hai công thức cũ và mới lần lƣợt là hai hàm số f(x) = 220 – x và g(x) = 208 – 0,7x với y thể hiện nhịp tim tối đa trong mỗi phút và x đại diện cho tuổi tính theo năm.
Vì hai hàm số có hệ số góc khác nhau nên đồ thị của chúng cắt nhau tại một điểm. HS có thể tìm ra đƣợc điểm này bằng cách giải phƣơng trình 220 – x = 208 - 0,7 x hoặc giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn để suy ra là x = 40 và y = 180.
- Nội dung của câu 3,4 thực chất ứng với kỹ năng rút gọn biểu thức đó là rút gọn 220 –x – (208 – 0,7x) và 0,8 (208 - 0,7x).
- Câu 5 sẽ đƣợc giải quyết dễ dàng nếu nếu HS biểu diễn đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ (Hình 2.1).
Kết hợp với câu 2 ta thấy, khi x > 40 ta đồ thị hàm f(x) = 220 – x nằm phía dƣới đồ thị hàm g(x) = 208 – 0,7x và khi x < 40 thì đồ thị hàm f(x) = 220 – x nằm phía trên đồ thị hàm g(x) = 208 – 0,7x. Điều đó có nghĩa là ở độ tuổi trên 40 thì nhịp tim đƣợc khuyến cáo ở công thức mới cao hơn công thức ban đầu và thấp hơn công thức ban đầu với lứa tuổi dƣới 40.
Hình 2.1. Đồ thị biểu diễn nhịp tim theo công thức cũ và mới
Bài toán trên minh họa cho những lợi ích của toán học trong việc giải quyết những vấn đề có liên quan đến chất lƣợng cuộc sống của con ngƣời. HS phải kết hợp nhiều kỹ năng đã học: kỹ năng xây dựng hàm số, kỹ năng rút gọn biểu thức, kỹ năng vẽ và đọc hiểu ý nghĩa thực tế của đồ thị…
Một số bài tập vận dụng:
Bài tập 2: Hai lớp 8A và 8B có tổng cộng 94 học sinh, biết rằng 25% số học sinh 8A, 20% số học sinh 8B đạt loại giỏi và tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21. Tính số học sinh của mỗi lớp.
Bài tập 3: Một hộ gia đình có ý định mua 1 cái máy bơm để phục vụ cho việc tƣới tiêu vào mùa hạ. Khi đến cửa hàng thì đƣợc ông chủ giới thiệu về 2 loại máy bơm có lƣu lƣợng nƣớc trong 1 giờ và chất lƣợng máy là nhƣ nhau.
Máy thứ nhất giá 1500000đ và trong một giờ tiêu thụ hết 1,2kW.
Máy thứ hai giá 2000000đ và trong 1 giờ tiêu thụ hết 1kW.
Theo em ngƣời nông dân nên chọn mua loại máy nào để đạt hiệu quả kinh tế cao?
Vấn đề đặt ra: Chọn máy bơm trong hai loại để mua sao cho hiệu quả kinh tế là cao nhất. Nhƣ vậy ngoài giá cả ta phải quan tâm đến hao phí khi sử dụng máy ngĩa là chi phí cần chi trả khi sử dụng máy trong một khoảng thời gian nào đó.
Phƣơng án giải quyết: Ta biết rằng giá tiền điện hiện nay là 1000đ/1kW Vậy trong x giờ số tiền phải trả khi sử dụng máy thứ nhất là:
f(x)= 1500 + 1,2x ( nghìn đồng)
Trong x giờ sẽ phải trả cho máy thứ hai là: g(x)= 2000 + x ( nghìn đồng)
Ta thấy rằng chi phí phải trả cho 2 máy sử dụng là nhƣ nhau sau khoảng thời gian x là nghiệm phƣơng trình:
0,2x = 500 x = 2500 ( giờ)
Ngay sau khi sử dụng 2500 giờ, tức là nếu mỗi ngày dùng 4 tiếng, tức là không quá 2 năm thì máy thứ 2 chi phí sẽ thấp đi rất nhiều nên chọn mua máy thứ 2 thì hiệu quả kinh tế sẽ cao hơn.
TH1: Nếu thời gian sử dụng máy ít hơn 2 năm thì mua máy thứ nhất sẽ tiết kiệm hơn.
TH2: Nếu thời gian sử dụng nhiều hơn 2 năm thì nên mua máy thứ 2.
Nhƣng trong thực tế 1 máy bơm có thể sử dụng trong thời gian dài. Do vậy nên mua máy thứ hai.
Bài tập 4: Tìm số học sinh của hai lớp 8A và 8B biết rằng nếu chuyển 3 học sinh từ lớp 8A sang lớp 8B thì số học sinh hai lớp bằng nhau, nếu chuyển 5 học sinh từ lớp 8B sang lớp 8A thì số học sinh 8B bằng 11
19 số học sinh lớp 8A.
Vấn đề đặt ra: Tìm số HS lớp 8A, 8B
Toán học hóa: Giả sử số HS ban đầu lớp 8A là x, ( x> 0)
Sau khi chuyển 3 HS sang lớp 8B thì số HS 8A: x-3 (số HS 8B lúc sau) Số HS lớp 8B ban đầu: (x-3) -3 = x-6
Nếu chuyển 5 HS từ 8B sang 8A thì số HS 2 lớp là: 8A: x+5
Số HS lớp 8B bằng 11
19 số HS lớp 8A nên: x- 11= 11
19 ( x+5)
Giải bài toán: x- 11= 11
19 ( x+5) x= 33
Giải quyết thực tế: số HS lớp 8A là 33, số HS lớp 8B là 27
Bài tập 5: Hai xe máy cùng khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đƣờng dài 163km. Trong 43km đầu hai xe có cùng vận tốc, nhƣng sau đó xe thứ nhất tăng vận tốc lên 1,2 lần vận tốc ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đó xe thứ nhất đã về Hà Nội sớm hơn xe thứ hai là 40 phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe.
Vấn đề đặt ra: Tìm vận tốc ban đầu của 2 xe
Toán học hóa:
Gọi x là vận tốc ban đầu của xe 1, ( x> 0) x cũng là vận tốc của xe 2 lúc đầu
Sau 43km:Vận tốc xe 1 là: 1,2x Vận tốc xe 2: x
Quãng đƣờng còn lại: 163-43= 120km Thời gian xe 1 đi là: 120
1, 2x h Thời gian xe 2 đi: 120
x h. Vì xe 1 về sớm hơn xe 2 là 40’= 2
3 h nên ta thiết lập đƣợc mối quan hệ giữ các đại lƣợng, từ đó lập đƣợc PT.
Giải bài toán: Ta có PT: 120 120 2
1, 2 3
x x x= 30
Giải quyết thực tiễn: Ban đầu 2 xe đi với vận tốc là 30km/h
Bài tập 6: Lúc 6h sáng 1 xe máy khởi hành từ Phú Thọ đến Tuyên Quang, sau đó 1 giờ 1 ô tô cũng xuất phát từ Phú Thọ đến Tuyên Quang với vận tốc
trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy là 20km/h. Cả 2 xe đều đến Tuyên Quang lúc 9h30’ sáng cùng ngày. Tính quãng đƣờng Phú Thọ- Tuyên Quang và vận tốc trung bình của xe máy?
Vấn đề đặt ra: Tìm quãng đƣờng Phú Thọ- Tuyên Quang và vận tốc của xe máy?
Toán học hóa:
Gọi x (km) là quãng đƣờng Phú Thọ- Tuyên Quang (x > 0). Thời gian chuyển động từ Phú Thọ- Tuyên Quang của xe máy:
9h30 – 6h = 3h30 = 31
2 (giờ) Vận tốc của xe máy: x : 31
2 (km/h)
Thời gian chuyển động từ Phú Thọ- Tuyên Quang của ô tô: 31
2 – 1 = 5
2 (giờ) Vận tốc của ô tô: x : 5
2 (km/h)
Vì vận tốc của ô tô hơn xe máy 20km/h nên ta có phƣơng trình: 20 5 7 2 2 x x ⇔ 14x – 10x = 700 ⇔ 4x = 700⇔ x = 175
x = 175 thoả mãn điều kiện đặt ra.
Giải quyết thực tiễn: Vậy quãng đƣờng AB dài 175km. Vận tốc trung bình của xe máy: 175 : 7
Kết luận chƣơng 2
Qua các nội dung đã trình bày ở trong chƣơng 2, chúng ta đã biết đƣợc những khó khăn và các sai lầm thƣờng mắc phải của HS khi vận dụng mô hình hóa trong giải các bài toán đại số lớp 8. Từ đó, đƣa ra đƣợc 1 hệ thống các biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa trong khi dạy học nội dung này để giúp GV có các hƣớng dạy học tốt hơn, hiệu quả hơn cho HS. Cụ thể các biện pháp bao gồm:
+ Tăng cƣờng nhận thức của giáo viên, sinh viên sƣ phạm ngành Toán về tầm quan trọng của việc ứng dụng MHH toán học.
+ Tạo hứng thú cho ngƣời học .
+ Bổ sung những ví dụ, bài tập có nội dung thực tế vào hệ thống ví dụ, bài tập trong sách giáo khoa.
+ Tăng cƣờng đƣa những bài tập có nội dung thực tế vào kiểm tra, đánh giá. + Xây dựng những bài tập có hệ thống câu hỏi nội dung thực tế dùng cho ôn tập cuối chƣơng, cuối năm.
Đồng thời, các ví dụ đƣợc đƣa ra khá cụ thể (hƣớng dẫn cách làm, cách đặt câu hỏi, cách trình bày lời giải, các sai lầm thƣờng mắc phải...) ở mỗi dạng toán sẽ giúp GV và HS dễ dàng nghiên cứu và luyện tập giải toán.