= (1.7)
Nếu hệ thống có nhiều đầu vào phương trình (1.5) có thể được viết là: =
= (1.8)
Coi độ tự cảm trong hệ thống L() là hàm chỉ phụ thuộc vào vị trí của viên bi (), ta có:
Từ (1.9), ta có: = (1.10) Từ (1.8), ta có: (1.11) Bây giờ, tổng độ tự cảm trong hệ thống có thể được viết là:
(1.12) trong đó:
= vị trí cân bằng của hệ thống = độ tự cảm tăng dần của bóng
= độ tự cảm của cuộn dây Từ (1.11) và (1.12) , ta có
(1.13) với là hằng số lực từ phụ thuộc vào hệ thống.
Từ (1.3) và (1.13) phương trình động lực học của vật có dạng: 2 i x mx mg k && (1.14) Phương trình liên hệ giữa điện áp và dòng điện trong cuộn dây nam châm điện có dạng:
d L( x )i Ri u dt (1.15) Từ các phương trình (1.14) và (1.15), mô hình toán của hệ nâng vật trong hệ từ trường có dạng như sau:
2 dx v dt mdv i mg k dt d L( x )i R u t x i d (1.16)
Trong đó, x là vị trí của viên bi (m); v là vận tốc của viên bi (m/s); i là dòng điện qua cuộn dây (A); u là điện áp cấp cho cuộn dây (V); R, L lần lượt là điện trở và điện cảm của cuộn dây nam châm điện (, H); k là hằng số lực từ (Nm2/A2); m là khối lượng của viên bi (kg) và g là gia tốc trọng trường (m/s2).
Đặt biến trạng thái như sau:x1 x, x2 v, x3 i,
Ta có phương trình trạng thái hệ thống như sau:
' 1 2 2 ' 3 2 1 ' 2 3 3 3 2 1 x x x C x g m x x x R 2C 1 x x u L L x L . (1.17)
Trên mô hình thực của hệ thống nâng từ tại phòng thí nghiệm bộ môn Tự động và kỹ thuật tính không có cảm biến đo dòng. Trong mô hình hệ thống có hai phần tác động riêng biệt: phần cơ học gồm phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ phương trình (1.17), phần điện là phương trình còn lại. Như đã biết thời gian đáp ứng của phần điện có thể nhanh hơn nhiều so với thời gian đáp ứng phần cơ, nên có thể bỏ qua phương trình thứ 3. Vì vậy, mô hình trạng thái sử dụng thiết kế bộ điều khiển nhúng có dạng:
(1.18)
Trong đó: là lực từ tác động lên vật nhiễm từ, sinh ra bởi từ trường nam châm điện và vật nhiễm từ. Từ phương trình trạng thái (1.18) ta thấy lực từ sinh ra luôn có hướng ngược chiều với trọng lực.
1.8 Mô hình hóa mô hình hệ nâng từ trường và mô phỏng trên Matlab - Simulink.
Các tham số của mô hình được xác định gần đúng với mô hình thực nghiệm như sau: viên bi thép có khối lượng m=0.001(kg); điện trở cuộn dây R=2,4();
điện cảm L0 = 0,015(H); hằng số lực từ k = 1,4x10-4(Nm2/A)2; và gia tốc trọng trường g=9,8(m/s)2.
Từ phương trình (1.17) ta xây dựng được mô hình của hệ nâng từ trên Simulink - Matlab như trong hình 1.12 :
Hình 1.12 Mô hình của hệ nâng từ trên Simulink - Matlab
Từ mô hình toán học của của hệ nâng từ đã xây dựng và các tham số của mô hình hệ nâng từ trường trong thực tế, tiến hành khảo sát đánh giá đáp ứng hàm bậc thang (u= 0.1V) và vị trí ban đầu của viên bi là 0.001 (m) trên mô hình hệ thống hở, được kết quả như hình 1.13, 1.14, 1.15.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 20 40 60 80 100 120 140 Time (s) V i t ri( m ) Hình 1.13 Đáp ứng vị trí của viên bi
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Time (s) V an to c( m /s )
Hình 1.14 Đáp ứng vận tốc của viên bi
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 10 3 Time (s) D on g di en ( A )
Hình 1.15 Đáp ứng dòng điện trong cuộn dây nam châm điện
Từ kết quả khảo sát thấy rằng hệ nâng từ là một hệ thống phi tuyến và không ổn định. Khi có tác dụng của ngoại lực hệ thống bị trở lại vị trí ban đầu.
Trong chương một tác giả đã trình bày cấu tạo, nguyên lý chung về hoạt động và ứng dụng của hệ nâng từ. Đồng thời đã trình bày mô hình toán học và đã mô phỏng hệ thống trên phần mềm Matlab - Simulink. Từ đó phân tích đánh giá về đối tượng để làm cơ sở cho việc khảo sát và tổng hợp bộ điều khiển cho hệ nâng từ trong các chương sau.
Chương 2
TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN BACKSTEPPING VÀ TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN CHO HỆ NÂNG TỪ TRƯỜNG
2.1 Phương pháp thiết kế cuốn chiếu (backstepping)
Trong lý thuyết điều khiển, backstepping là một kỹ thuật được phát triển vào khoảng năm 1990 bởi Petar V. Kokotovic và một số nhà khoa học. Phương pháp này được trình bày đầu tiên trong các công trình [27] [28], để thiết kế các điều khiển ổn định cho một lớp hệ động lực phi tuyến.
Các hệ thống này được xây dựng từ các hệ thống con không thể ổn định bằng một số phương pháp khác. Do phương pháp này có cấu trúc đệ quy, nên người thiết kế có thể bắt đầu quá trình thiết kế tại hệ thống ổn định đã biết và đưa ra các bộ điều khiển mới ổn định dần dần từng hệ thống con bên ngoài. Quá trình chấm dứt khi nhận được luật điều khiển ở lớp ngoài cùng.
Tuy rằng, được biết đến trong điều khiển phi tuyến như một công cụ toàn năng để thiết kế bộ điều khiển làm hệ ổn định tiệm cận, song cho tới nay vẫn chưa có một phương pháp tổng quát nào giúp ta xác định được hàm điều khiển Lyapunov (CLF) một cách nhanh chóng và đơn giản.
Người ta mới chỉ có được một số ít các phương pháp dành cho những hệ có cấu trúc đặc biệt và cuốn chiếu (backstepping) là một phương pháp thuộc trong những số ít đó. Phương pháp này cho phép ta xác định được hàm CLF của hệ từ hàm CLF của hệ con nằm bên trong hệ đã cho.
2.1.1 Cuốn chiếu hệ truyên thẳng qua khâu tích phân
Cho đối tượng phi tuyến dạng truyền thẳng qua khâu tích phân như hình 2.1
Hình 2.1 Đối tượng truyền thẳng với một khâu tích phân và một khâu phi tuyến affine mắc nối tiếp
Ta thấy:
(2.1) Giả sử với khâu phi tuyến affine con bên trong nó là: Giả sử với khâu phi tuyến affine con bên trong nó là:
trong đó , , (2.2) ta đã có hàm điều khiển Lyapunov () cũng như bộ điều khiển tương ứng. Vấn đề đặt ra ở đây là từ () và () đó ta phải tìm hàm điều khiển Lyapunov cũng như bộ điều khiển (,) cho đối tượng truyền thẳng (2.1) ban đầu.
Định lý 2.1: Xét đối tượng truyền thẳng (2.1). Nếu khâu phi tuyến con (2.2)
bên trong nó có hàm điều khiển Lyapunov () và bộ điều khiển ổn định, khả vi tương ứng thỏa mãn () = 0 thì một trong các hàm điều khiển Lyapunov có thể có đối tượng (2.1) ban đầu là:
(2.3) Tương ứng với nó là bộ điều khiển phản hồi trạng thái: (2.4)
trong đó là một hằng số tùy ý.
Chứng minh:
Nếu là hàm điều khiển Lyapunov và là tín hiệu điều khiển tương ứng của hệ con (2.2) thì sẽ có:
khi Tiếp theo, đặt thì do:
Và: ta sẽ có với (2.3) khi : < 0 υ V
Như vậy, để chỉ là hàm điều khiển Lyapunov cho đối tượng (2.1) ban đầu, ta chỉ cần chỉ rằng tồn tại ít nhất một tín hiệu làm cho và đó chính là xác định theo (2.4).
Khi đó:
khi (đ.p.c.m) < 0
Ví dụ 2.1: Minh họa phương pháp cuốn chiếu qua khâu tích phân Xét đối tượng truyền thẳng bao gồm một khâu phi tuyến affine con:
và một khâu tích phân mắc nối tiếp.
Lấy hàm điều khiển Lyapunov có dạng:
và tương ứng với nó là bộ điều khiển phản hồi trạng thái:
Vậy theo nội dung định lý 3.6, đối tượng truyền thẳng đã cho sẽ có hàm điều khiển Lyapunov:
và tương ứng với nó là bộ điều khiển phản hồi trạng thái:
2.1.2 Cuốn chiếu hệ truyên thẳng qua khâu tuyến tính
Tiếp theo và cũng tổng quát hơn, ta sẽ xét một đối tượng truyền thẳng khác mà ở đó thay cho khâu tích phân là một khâu tuyến tính có một tín hiệu vào và một tín hiệu ra (khâu SISO). Nói cách khác, đối tượng được xét bao gồm một khâu phi tuyến affine:
trong đó , , (2.5) và một khâu tuyến tính SISO, hợp thức chặt:
trong đó , u R (2.6) mắc nối tiếp như hình 2.2.
Hình 2.2 Đối tượng phi tuyến truyền thẳng với một khâu tuyến tính và một khâu phi tuyến affine mắc nối tiếp
Giả sử khâu phi tuyến ổn định tại . Bài toán đặt ra là xác định hàm điều khiển Lyapunov cho đối tượng truyền thẳng từ hàm Lyapunov của khâu phi tuyến con (2.5) bên trong nó.
Bài toán nêu trên, có tên gọi là bài toán cuốn chiếu qua khâu tuyến tính (2.6), hiện mới chỉ có lời giải cho trường hợp khâu tuyến tính là thụ động (passive) và ổn định.
Nếu khâu tuyến tính hợp thức chặt với mô hình (2.6) là thụ động thì: 1) Hàm truyền đạt của nó:
trong đó , là hai đa thức theo biến , phải là hàm thực – dương ( positive real), tức là khi có thì cũng có .
2) Hàm truyền đạt của nó phải có bậc tương đối bằng 1 (vì là hàm thực dương và hợp thức chặt). Điều này tương đương với .
3) Đa thức là Hurwitz và với mọi .
4) Các điểm không và điểm cực của phải nằm bên trái hoặc nằm trên trục ảo. Những điểm 0 và điểm cực nằm trên trục ảo phải là nghiệm đơn.
5)
.
≥ 0 6) Tồn tại ma trận xác định dương để có:
7) Luôn tồn tại ma trận xác định dương, đối xứng và ma trận để có (định lý Kalman – Popov – Yakubovish):
(2.7 )
Định lý 2.2: Cho đối tượng truyền thẳng, bao gồm một khâu phi tuyến (2.5)
ổn định và khâu phi tuyến thụ động và cũng ổn định (2.6) mắc nối tiếp như hình 2.2. Gọi là hàm Lyapunov (LF) của khâu phi tuyến thì một trong các hàm điều khiển Lyapunov có thể có của đối tượng truyền thẳng ban đầu sẽ là:
(2.8) trong đó là ma trận xác định dương thỏa mãn (2.7) của khâu tuyến tính.
Một trong các bộ điều khiển phản hồi trạng thái làm nó ổn định là: (2.9)
Chứng minh:
Vì khâu tuyến tính là ổn định và là hàm Lyapunov của nó nên xác định dương và xác định âm. Ngoài ra, vì ma trận xác định dương nên hàm tính theo (2.8) cũng xác định dương. Tính đạo hàm dọc theo quỹ đạo trạng thái của đối tượng truyền thẳng khi :
(vì đối xứng)
+ + (+ 2u) (vì ) (2.10) <0 ≤0
ta thấy, do tồn tại tín hiệu làm cho , nên là hàm điều khiển Lyapunov của đối tượng cascade đã cho.
Định lý 2.2 cho thấy, khác với bài toán cuốn chiếu qua khâu tích phân, ở đây phải có giả thiết rằng khâu phi tuyến là ổn định. Nhờ đó, thêm giả thiết thụ động và ổn định của khâu tuyến tính, ta luôn tìm được một bộ điều khiển phản hồi trạng thái không sử dụng các biến trạng thái của khâu tuyến tính (phản hồi trạng thái không hoàn toàn) nhưng vẫn làm ổn định được đối tượng truyền thẳng đã cho.
Ví dụ 2.2: Minh họa phương pháp cuốn chiếu qua khâu tuyến tính thụ động,
ổn định. Xét đối tượng truyền thẳng gồm một khâu phi tuyến:
và một khâu tuyến tính:
, mắc nối tiếp.
Từ hàm truyền đạt của khâu tuyến tính:
ta thấy, nó là một khâu tuyến tính ổn định và thụ động (hàm truyền đạt là hàm thực – dương ). Công thức (2.7) của khâu tuyến tính này có , tức là:
ứng với , và ứng với , , .
Ngoài ra, ta có thể dễ dàng kiểm tra được rằng khâu phi tuyến con là ổn định với hàm LF:
Do vậy, khi áp dụng định lý 2.2, ta đến được hàm điều khiển Lyapunov của đối tượng truyền thẳng đã cho:
cũng như bộ điều khiển phản hồi trạng thái là ổn định đối tượng:
Mở rộng ra, ta thấy chất lượng ổn định (tại gốc tọa độ ) của một hệ thống sẽ được gọi là tốt nếu quỹ đạo trạng thái hệ thống có tốc độ tiến về cao. Theo nội dung tiêu chuẩn Lyapunov, thước đo cho tốc độ tiến về của các quỹ đạo trạng thái hệ thống chính là . Giá trị tại một điểm trạng thái cố định càng lớn, tốc độ tiến về của quỹ đạo trạng thái tại đó càng cao.
Mặt khác, từ một hàm điều khiển Lyapunov có thể có rất nhiều bộ điều khiển tương ứng làm cho hàm xác định âm, tức là làm cho hệ kín ổn định (tại gốc tọa độ ). Bộ điều khiển được tính theo (2.9) chỉ là một trong số đó.
Hai nhận xét trên cho thấy khả năng tồn tại một bộ điều khiển khác có chất lượng ổn định tốt hơn bộ điều khiển (2.9).
Để tìm bộ điều khiển đó, ta bắt đầu từ (2.10):
với là số nguyên lẻ và
sẽ có
= + +
<0 ≤0 <0
Rõ ràng giá trị này lớn hơn là khi sử dụng bộ điều khiển (2.9). Ta đi đến kết luận:
Định lý 2.3: Nếu khâu phi tuyến (2.5) của đối tượng truyền thẳng ở hình 2.2
là ổn định với hàm Lyapunov và khâu tuyến tính (2.6) là thụ động, ổn định thì hàm điều khiển Lyapunov của đối tượng truyền thẳng đó sẽ là:
(2.11)
trong đó là ma trận xác định dương thỏa mãn (2.7) của khâu tuyến tính. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái tương ứng là:
(2.12)
với là số nguyên lẻ () và là hằng số chọn tùy ý. Hằng số càng lớn, chất lượng ổn định càng cao.
Tiếp theo, ta sẽ mở rộng nội dung định lý 2.2 và 2.3 cho trường hợp khâu tuyến tính (2.6) chưa ổn định và cũng chưa thụ động. Tổng quát thì phương pháp cuốn chiếu không áp dụng được cho mọi khâu tuyến tính bất kỳ mà chỉ được giới hạn cho những khâu có thể thụ động được bằng một bộ điều khiển phản hồi R (khâu FPR – feedback positive real), tức là nó tạo ra hệ kín:
là một hệ tuyến tính ổn định và thụ động.
Khi đó, theo tính chất (2.7) của hệ thụ động, ổn định thì:
Định lý 2.4: Nếu khâu tuyến tính (2.6) có khả năng thụ động, ổn định được
bằng điều khiển phản hồi trạng thái R ( khâu FPR), tức là tồn tại R để có (2.13), và khâu phi tuyến (2.5) là ổn định với hàm Lyapunov thì hàm điều khiển Lyapunov của đối tượng truyền thẳng ở hình 2.2 sẽ là:
(2.14) với là ma trận xác định dương thỏa mãn (2.13).
Bộ điều khiển tương ứng là:
(2.15)
trong đó là số nguyên lẻ () và là hằng số chọn tùy ý.
Chứng minh:
Trước hết phải là một vector hàng vì khâu tuyến tính chỉ có một tín hiệu vào. Bây giờ ta tính đạo hàm dọc theo quỹ đạo trạng thái của đối tượng.
Ta có:
Do đó nếu chọn: sẽ được: = + + <0 ≤0 <0 và đó chính là điều phải chứng minh.
2.1.3 Cuốn chiếu hệ truyên thẳng qua khâu phi tuyến
Khái niệm hệ phi tuyến thụ động
Khái niệm hệ phi tuyến thụ động (passive) được lấy từ tính chất bản chất của hệ tuyến tính với định nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.1: Cho hệ tuyến tính affine, cân bằng tại mô tả bởi:
(2.16)
Gọi là hàm không âm thỏa mãn . Khi đó hệ (2.16) sẽ được gọi là: a) Thụ động (passive), nếu:
(2.17) b) Thụ động chặt (strickly passive), nếu: khi ≠ (2.18)
So sánh với tính chất của hệ tuyến tính thì ở định nghĩa trên có một thay đổi là hàm Q chưa cần xác định dương. Sự thay đổi này là để phù hợp với bản chất thụ động của hệ. Một hệ thụ động chưa chắc đã ổn định tiệm cận – theo nghĩa Lyapunov. Chẳng hạn ở hệ tuyến tính , nếu nó là thụ động thì ma trận truyền đạt của nó là thực – dương (positive real ) nên nó vẫn có thể có các điểm cực nằm trên trục ảo (hệ ở biên giới ổn định ).
Tuy nhiên, nếu hệ phi tuyến thụ động, có hàm không những không âm mà còn xác định dương, thì hệ đó sẽ ổn định tại gốc tọa độ theo nghĩa Lyapunov, vì khi không bị kích thích () bất đẳng thức (2.17) trở thành:
Cũng như vậy nếu nó là thụ động chặt và hàm xác định dương thì nó ổn định tiệm cận tại gốc , vì từ (2.18) có:
khi
Bây giờ xét hệ gồm hai khâu phi tuyến và mắc hồi tiếp như hình 2.3: