là hàm Q chưa cần xác định dương. Sự thay đổi này là để phù hợp với bản chất thụ động của hệ. Một hệ thụ động chưa chắc đã ổn định tiệm cận – theo nghĩa Lyapunov. Chẳng hạn ở hệ tuyến tính , nếu nó là thụ động thì ma trận truyền đạt của nó là thực – dương (positive real ) nên nó vẫn có thể có các điểm cực nằm trên trục ảo (hệ ở biên giới ổn định ).
Tuy nhiên, nếu hệ phi tuyến thụ động, có hàm không những không âm mà còn xác định dương, thì hệ đó sẽ ổn định tại gốc tọa độ theo nghĩa Lyapunov, vì khi không bị kích thích () bất đẳng thức (2.17) trở thành:
Cũng như vậy nếu nó là thụ động chặt và hàm xác định dương thì nó ổn định tiệm cận tại gốc , vì từ (2.18) có:
khi
Bây giờ xét hệ gồm hai khâu phi tuyến và mắc hồi tiếp như hình 2.3:
Hình 2.3 Hệ gồm hai khâu phi tuyến mắc hồi tiếp: :
Khi đó với = - ta có:
Định lý 2.5: Hệ phi tuyến gồm hai khâu phi tuyến con và mắc hồi tiếp âm
như hình 2.3 sẽ:
a) Thụ động, nếu cả hai khâu và đều thụ động.
b) Thụ động chặt, nếu cả hai khâu và đều thụ động chặt.
Chứng minh:
Giả sử và đều là thụ động. Gọi và ) là những hàm không âm xác định tính thụ động của chúng theo định nghĩa 2.1. Vậy thì:
và
Do đó nếu cộng hai bất đẳng thức đó lại với nhau theo từng vế sẽ được:
Vì hàm không âm giống như () và () nên ta có được đ.p.c.m a) Kết luận b) cũng được chứng minh tương tự.
Hệ phi tuyến thụ đông được
Cho khâu phi tuyến SISO mô tả bởi:
(2.19) với . Gọi:
(2.20) là bộ điều khiển phản hồi trạng thái. Khi đó hệ kín sẽ có mô hình:
Định nghĩa 2.2: Hệ phi tuyến (2.19) được gọi là thụ động được (FP –
feedback passive) bằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái (2.20) nếu hệ kín (2.21) là một hệ thụ động. Nếu hệ kín (2.21) còn là thụ động chặt thì hệ ban đầu (2.19) được gọi là thụ động chặt được (FSP – feedback strickly passive) .