Giả sử với khâu phi tuyến affine con bên trong nó là:
trong đó , , (2.2) ta đã có hàm điều khiển Lyapunov () cũng như bộ điều khiển tương ứng. Vấn đề đặt ra ở đây là từ () và () đó ta phải tìm hàm điều khiển Lyapunov cũng như bộ điều khiển (,) cho đối tượng truyền thẳng (2.1) ban đầu.
Định lý 2.1: Xét đối tượng truyền thẳng (2.1). Nếu khâu phi tuyến con (2.2)
bên trong nó có hàm điều khiển Lyapunov () và bộ điều khiển ổn định, khả vi tương ứng thỏa mãn () = 0 thì một trong các hàm điều khiển Lyapunov có thể có đối tượng (2.1) ban đầu là:
(2.3) Tương ứng với nó là bộ điều khiển phản hồi trạng thái: (2.4)
trong đó là một hằng số tùy ý.
Chứng minh:
Nếu là hàm điều khiển Lyapunov và là tín hiệu điều khiển tương ứng của hệ con (2.2) thì sẽ có:
khi Tiếp theo, đặt thì do:
Và: ta sẽ có với (2.3) khi : < 0 υ V
Như vậy, để chỉ là hàm điều khiển Lyapunov cho đối tượng (2.1) ban đầu, ta chỉ cần chỉ rằng tồn tại ít nhất một tín hiệu làm cho và đó chính là xác định theo (2.4).
Khi đó:
khi (đ.p.c.m) < 0
Ví dụ 2.1: Minh họa phương pháp cuốn chiếu qua khâu tích phân Xét đối tượng truyền thẳng bao gồm một khâu phi tuyến affine con:
và một khâu tích phân mắc nối tiếp.
Lấy hàm điều khiển Lyapunov có dạng:
và tương ứng với nó là bộ điều khiển phản hồi trạng thái:
Vậy theo nội dung định lý 3.6, đối tượng truyền thẳng đã cho sẽ có hàm điều khiển Lyapunov:
và tương ứng với nó là bộ điều khiển phản hồi trạng thái:
2.1.2 Cuốn chiếu hệ truyên thẳng qua khâu tuyến tính
Tiếp theo và cũng tổng quát hơn, ta sẽ xét một đối tượng truyền thẳng khác mà ở đó thay cho khâu tích phân là một khâu tuyến tính có một tín hiệu vào và một tín hiệu ra (khâu SISO). Nói cách khác, đối tượng được xét bao gồm một khâu phi tuyến affine:
trong đó , , (2.5) và một khâu tuyến tính SISO, hợp thức chặt:
trong đó , u R (2.6) mắc nối tiếp như hình 2.2.
Hình 2.2 Đối tượng phi tuyến truyền thẳng với một khâu tuyến tính và một khâu phi tuyến affine mắc nối tiếp
Giả sử khâu phi tuyến ổn định tại . Bài toán đặt ra là xác định hàm điều khiển Lyapunov cho đối tượng truyền thẳng từ hàm Lyapunov của khâu phi tuyến con (2.5) bên trong nó.
Bài toán nêu trên, có tên gọi là bài toán cuốn chiếu qua khâu tuyến tính (2.6), hiện mới chỉ có lời giải cho trường hợp khâu tuyến tính là thụ động (passive) và ổn định.
Nếu khâu tuyến tính hợp thức chặt với mô hình (2.6) là thụ động thì: 1) Hàm truyền đạt của nó:
trong đó , là hai đa thức theo biến , phải là hàm thực – dương ( positive real), tức là khi có thì cũng có .
2) Hàm truyền đạt của nó phải có bậc tương đối bằng 1 (vì là hàm thực dương và hợp thức chặt). Điều này tương đương với .
3) Đa thức là Hurwitz và với mọi .
4) Các điểm không và điểm cực của phải nằm bên trái hoặc nằm trên trục ảo. Những điểm 0 và điểm cực nằm trên trục ảo phải là nghiệm đơn.
5)
.
≥ 0 6) Tồn tại ma trận xác định dương để có:
7) Luôn tồn tại ma trận xác định dương, đối xứng và ma trận để có (định lý Kalman – Popov – Yakubovish):
(2.7 )
Định lý 2.2: Cho đối tượng truyền thẳng, bao gồm một khâu phi tuyến (2.5)
ổn định và khâu phi tuyến thụ động và cũng ổn định (2.6) mắc nối tiếp như hình 2.2. Gọi là hàm Lyapunov (LF) của khâu phi tuyến thì một trong các hàm điều khiển Lyapunov có thể có của đối tượng truyền thẳng ban đầu sẽ là:
(2.8) trong đó là ma trận xác định dương thỏa mãn (2.7) của khâu tuyến tính.
Một trong các bộ điều khiển phản hồi trạng thái làm nó ổn định là: (2.9)
Chứng minh:
Vì khâu tuyến tính là ổn định và là hàm Lyapunov của nó nên xác định dương và xác định âm. Ngoài ra, vì ma trận xác định dương nên hàm tính theo (2.8) cũng xác định dương. Tính đạo hàm dọc theo quỹ đạo trạng thái của đối tượng truyền thẳng khi :
(vì đối xứng)
+ + (+ 2u) (vì ) (2.10) <0 ≤0
ta thấy, do tồn tại tín hiệu làm cho , nên là hàm điều khiển Lyapunov của đối tượng cascade đã cho.
Định lý 2.2 cho thấy, khác với bài toán cuốn chiếu qua khâu tích phân, ở đây phải có giả thiết rằng khâu phi tuyến là ổn định. Nhờ đó, thêm giả thiết thụ động và ổn định của khâu tuyến tính, ta luôn tìm được một bộ điều khiển phản hồi trạng thái không sử dụng các biến trạng thái của khâu tuyến tính (phản hồi trạng thái không hoàn toàn) nhưng vẫn làm ổn định được đối tượng truyền thẳng đã cho.
Ví dụ 2.2: Minh họa phương pháp cuốn chiếu qua khâu tuyến tính thụ động,
ổn định. Xét đối tượng truyền thẳng gồm một khâu phi tuyến:
và một khâu tuyến tính:
, mắc nối tiếp.
Từ hàm truyền đạt của khâu tuyến tính:
ta thấy, nó là một khâu tuyến tính ổn định và thụ động (hàm truyền đạt là hàm thực – dương ). Công thức (2.7) của khâu tuyến tính này có , tức là:
ứng với , và ứng với , , .
Ngoài ra, ta có thể dễ dàng kiểm tra được rằng khâu phi tuyến con là ổn định với hàm LF:
Do vậy, khi áp dụng định lý 2.2, ta đến được hàm điều khiển Lyapunov của đối tượng truyền thẳng đã cho:
cũng như bộ điều khiển phản hồi trạng thái là ổn định đối tượng:
Mở rộng ra, ta thấy chất lượng ổn định (tại gốc tọa độ ) của một hệ thống sẽ được gọi là tốt nếu quỹ đạo trạng thái hệ thống có tốc độ tiến về cao. Theo nội dung tiêu chuẩn Lyapunov, thước đo cho tốc độ tiến về của các quỹ đạo trạng thái hệ thống chính là . Giá trị tại một điểm trạng thái cố định càng lớn, tốc độ tiến về của quỹ đạo trạng thái tại đó càng cao.
Mặt khác, từ một hàm điều khiển Lyapunov có thể có rất nhiều bộ điều khiển tương ứng làm cho hàm xác định âm, tức là làm cho hệ kín ổn định (tại gốc tọa độ ). Bộ điều khiển được tính theo (2.9) chỉ là một trong số đó.
Hai nhận xét trên cho thấy khả năng tồn tại một bộ điều khiển khác có chất lượng ổn định tốt hơn bộ điều khiển (2.9).
Để tìm bộ điều khiển đó, ta bắt đầu từ (2.10):
với là số nguyên lẻ và
sẽ có
= + +
<0 ≤0 <0
Rõ ràng giá trị này lớn hơn là khi sử dụng bộ điều khiển (2.9). Ta đi đến kết luận:
Định lý 2.3: Nếu khâu phi tuyến (2.5) của đối tượng truyền thẳng ở hình 2.2
là ổn định với hàm Lyapunov và khâu tuyến tính (2.6) là thụ động, ổn định thì hàm điều khiển Lyapunov của đối tượng truyền thẳng đó sẽ là:
(2.11)
trong đó là ma trận xác định dương thỏa mãn (2.7) của khâu tuyến tính. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái tương ứng là:
(2.12)
với là số nguyên lẻ () và là hằng số chọn tùy ý. Hằng số càng lớn, chất lượng ổn định càng cao.
Tiếp theo, ta sẽ mở rộng nội dung định lý 2.2 và 2.3 cho trường hợp khâu tuyến tính (2.6) chưa ổn định và cũng chưa thụ động. Tổng quát thì phương pháp cuốn chiếu không áp dụng được cho mọi khâu tuyến tính bất kỳ mà chỉ được giới hạn cho những khâu có thể thụ động được bằng một bộ điều khiển phản hồi R (khâu FPR – feedback positive real), tức là nó tạo ra hệ kín:
là một hệ tuyến tính ổn định và thụ động.
Khi đó, theo tính chất (2.7) của hệ thụ động, ổn định thì:
Định lý 2.4: Nếu khâu tuyến tính (2.6) có khả năng thụ động, ổn định được
bằng điều khiển phản hồi trạng thái R ( khâu FPR), tức là tồn tại R để có (2.13), và khâu phi tuyến (2.5) là ổn định với hàm Lyapunov thì hàm điều khiển Lyapunov của đối tượng truyền thẳng ở hình 2.2 sẽ là:
(2.14) với là ma trận xác định dương thỏa mãn (2.13).
Bộ điều khiển tương ứng là:
(2.15)
trong đó là số nguyên lẻ () và là hằng số chọn tùy ý.
Chứng minh:
Trước hết phải là một vector hàng vì khâu tuyến tính chỉ có một tín hiệu vào. Bây giờ ta tính đạo hàm dọc theo quỹ đạo trạng thái của đối tượng.
Ta có:
Do đó nếu chọn: sẽ được: = + + <0 ≤0 <0 và đó chính là điều phải chứng minh.
2.1.3 Cuốn chiếu hệ truyên thẳng qua khâu phi tuyến
Khái niệm hệ phi tuyến thụ động
Khái niệm hệ phi tuyến thụ động (passive) được lấy từ tính chất bản chất của hệ tuyến tính với định nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.1: Cho hệ tuyến tính affine, cân bằng tại mô tả bởi:
(2.16)
Gọi là hàm không âm thỏa mãn . Khi đó hệ (2.16) sẽ được gọi là: a) Thụ động (passive), nếu:
(2.17) b) Thụ động chặt (strickly passive), nếu: khi ≠ (2.18)
So sánh với tính chất của hệ tuyến tính thì ở định nghĩa trên có một thay đổi là hàm Q chưa cần xác định dương. Sự thay đổi này là để phù hợp với bản chất thụ động của hệ. Một hệ thụ động chưa chắc đã ổn định tiệm cận – theo nghĩa Lyapunov. Chẳng hạn ở hệ tuyến tính , nếu nó là thụ động thì ma trận truyền đạt của nó là thực – dương (positive real ) nên nó vẫn có thể có các điểm cực nằm trên trục ảo (hệ ở biên giới ổn định ).
Tuy nhiên, nếu hệ phi tuyến thụ động, có hàm không những không âm mà còn xác định dương, thì hệ đó sẽ ổn định tại gốc tọa độ theo nghĩa Lyapunov, vì khi không bị kích thích () bất đẳng thức (2.17) trở thành:
Cũng như vậy nếu nó là thụ động chặt và hàm xác định dương thì nó ổn định tiệm cận tại gốc , vì từ (2.18) có:
khi
Bây giờ xét hệ gồm hai khâu phi tuyến và mắc hồi tiếp như hình 2.3:
Hình 2.3 Hệ gồm hai khâu phi tuyến mắc hồi tiếp: :
Khi đó với = - ta có:
Định lý 2.5: Hệ phi tuyến gồm hai khâu phi tuyến con và mắc hồi tiếp âm
như hình 2.3 sẽ:
a) Thụ động, nếu cả hai khâu và đều thụ động.
b) Thụ động chặt, nếu cả hai khâu và đều thụ động chặt.
Chứng minh:
Giả sử và đều là thụ động. Gọi và ) là những hàm không âm xác định tính thụ động của chúng theo định nghĩa 2.1. Vậy thì:
và
Do đó nếu cộng hai bất đẳng thức đó lại với nhau theo từng vế sẽ được:
Vì hàm không âm giống như () và () nên ta có được đ.p.c.m a) Kết luận b) cũng được chứng minh tương tự.
Hệ phi tuyến thụ đông được
Cho khâu phi tuyến SISO mô tả bởi:
(2.19) với . Gọi:
(2.20) là bộ điều khiển phản hồi trạng thái. Khi đó hệ kín sẽ có mô hình:
Định nghĩa 2.2: Hệ phi tuyến (2.19) được gọi là thụ động được (FP –
feedback passive) bằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái (2.20) nếu hệ kín (2.21) là một hệ thụ động. Nếu hệ kín (2.21) còn là thụ động chặt thì hệ ban đầu (2.19) được gọi là thụ động chặt được (FSP – feedback strickly passive) .
Hình 2.4 Giải thích khái niệm hệ FP và FSP
Cuốn chiếu qua khâu phi tuyến
Ở bài toán sau ta sẽ xét hệ có n biến trạng thái gồm một khâu phi tuyến thụ động được:
: trong đó () = (2.22)
mắc nối tiếp (cả tín hiệu ra và trạng thái) với một khâu phi tuyến ổn định như hình 2.5.
Ta có:
: trong đó = (2.23)
Hình 2.5 Đối tượng nghiên cứu của phương pháp cuốn chiếu qua khâu phi tuyến u
Công cụ để tìm hàm CLF cho đối tượng cũng như bộ điều khiển phản hồi trạng thái tương ứng cho hệ trên là định lý sau:
Định lý 2.6: Xét đối tượng gồm hai khâu và mắc nối tiếp. Gọi:
(2.24)
là bộ điều khiển phản hồi trạng thái là cho khâu phi tuyến thứ nhất (2.22) là trở thành thụ động và ổn định, tức là tồn tại hàm xác định dương thỏa mãn:
Nếu khâu phi tuyến thứ hai (2.23) là ổn định với hàm Lyapunov , tức là xác định dương và:
(2.25)
thì đối tượng gồm hai khâu phi tuyến đó mắc nối tiếp hình 2.6 sẽ được ổn định bằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái:
= () (2.26) và hệ kín ổn định đó có hàm Lyapunov:
= () +
Hệ kín sẽ ổn định tiệm cận nếu hoặc có khâu là thụ động chặt được: khi
hoặc có khâu là ổn định tiệm cận:
Hình 2.6 Minh họa định lý 2.6
Chứng minh:
Đặt:
thì bộ điều khiển (2.26) trở về dạng (2.24). Do đó hệ kín ở hình 2.6 có mô hình:
Hệ kín trên có thể được xem như mạch hồi tiếp âm ở hình 2.6 của hai khâu: :
: trong đó
Do có giả thiết rằng khâu phi tuyến (2.22) là thụ động được bằng bộ điều khiển (2.24) nên khâu là thụ động.
Ngoài ra, từ (2.25) còn có:
nên khâu cũng thụ động.
Từ đây suy ra, theo định lý 2.5, hệ kín ở hình 2.6 là thụ động cùng hàm xác định dương:
Hơn nữa, vì xác định dương nên hệ kín là ổn định.
Ví dụ 2.3: Minh họa định lý 2.6
Cho đối tượng gồm hai khâu và mắc nối tiếp theo sơ đồ cho ở hình 2.5. Hai khâu đó có mô hình như sau:
và
Khâu là thụ động được, vì theo định nghĩa 2.1, ở đây tồn tại bộ điều khiển phản hồi trạng thái (2.20): để biến nó thành (2.21): có hàm xác định dương thỏa mãn: ≤ =
Khâu là ổn định tiệm cận tại vì nó có hàm Lyapunov:
Vậy, theo định lý 2.6, đối tượng được ổn định tiệm cận tại bằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái (2.26):
2.2 Phương pháp backstepping cho hệ truyên ngược
2.2.1 Phương pháp thiết kế chung
Hệ truyền ngược được là hệ có mô hình:
trong đó = ; = = ;
() =
Như vậy, ở hệ truyền ngược, trạng thái có vai trò như tín hiệu đầu vào ảo của hệ con (2.27) bên trong nó và hệ con này có các biến trạng thái là .
Định lý 2.7: Gọi () là hàm CLF của hệ con (2.27), thỏa mãn là bộ điều khiển phản hồi trạng thái làm nó ổn định tiệm cận toàn cục tại gốc (bộ điều khiển GAS – global asymptotic stable). Khi đó:
= = + (2.29) với là hàm không âm thỏa mãn :
, ⇔
sẽ là hàm CLF của hệ chung gồm (2.27) và (2.28), đồng thời: (2.30)
trong đó:
và là hàm được chọn tùy ý, miễn là không âm và thỏa mãn:
là một bộ điều khiển phản hồi trạng thái GAS tương ứng của nó.
Chứng minh:
Trước tiên có thể thấy được ngay rằng hàm ) xác định theo (2.29) là xác định dương.
Theo giả thiết có () là hàm CLF của (2.27) và là bộ điều khiển khả vi tương ứng, nên cũng phải có:
( trong đó là hàm xác định dương.
Khi thì do có (2.29) nên cũng có ) = , hay: với mọi .
Dấu bằng của bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi và lúc đó cũng có Vậy hệ truyền ngược (2.27), (2.28) là ổn định tiệm cận tại gốc . Với , do 0, ta được:
Bởi vậy cùng với bộ điều khiển (2.30) cũng như hàm � được chọn thỏa mãn điều kiện đã nêu trong định lý, thì sẽ được tính xác định âm của:
� 0
Điều này chứng tỏ rằng ) là hàm CLF của hệ truyền ngược đã cho.
2.2.2 Thiết kế bô điêu khiên cuốn chiếu nhờ phép biến đổi vi phôi
Mô hình (2.27), (2.28) của hệ truyền ngược, khi viết ra một cách chi tiết cho từng hệ con bên trong (2.27) cũng có dạng truyền ngược, sẽ là:
(2.31)
Như vậy, ta có thể thấy là từng biến trạng thái , k = 2,3,…., n của nó giữ vai trò như một tín hiệu đầu vào ảo của những hệ con bên trong nó.
Trước tiên, ta xét một hệ truyền ngược đơn giản có mô hình: với (2.32)
Dễ dàng thấy được là hệ truyền ngược này có hàm CLF: ) = + … + +
và bộ điều khiển phản hồi trạng thái làm nó ổn định tiệm cận toàn cục tại gốc: (2.33) vì với nó, ta có tính xác định âm của:
Ngoài ra , ta còn thấy bộ điều khiển (2.33) đã biến đổi đối tượng (2.31) cho ban đầu thành hình 2.7:
(2.34)
và như vậy, nó đã làm hệ kín trở thành tuyến tính. Khi đó, người ta gọi nó là bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác.
Hình 2.7: Bộ điều khiển GAS còn là một bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác Quay lại bài toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái GAS (ổn định tiệm cận toàn cục – golbal asymplotic stable) cho hệ phi tuyến truyền ngược (2.31). Dựa vào kết quả đã có (2.33) cho hệ (2.32) , ta sẽ thực hiện bài toán này qua hai bước:
- Xác định phép biến đổi vi phôi = , tức là một ánh xạ trơn và khả nghịch,