Minh họa định lý 2.6

Chứng minh:

Đặt:

thì bộ điều khiển (2.26) trở về dạng (2.24). Do đó hệ kín ở hình 2.6 có mô hình:

Hệ kín trên có thể được xem như mạch hồi tiếp âm ở hình 2.6 của hai khâu: :

: trong đó

Do có giả thiết rằng khâu phi tuyến (2.22) là thụ động được bằng bộ điều khiển (2.24) nên khâu là thụ động.

Ngoài ra, từ (2.25) còn có:

nên khâu cũng thụ động.

Từ đây suy ra, theo định lý 2.5, hệ kín ở hình 2.6 là thụ động cùng hàm xác định dương:

Hơn nữa, vì xác định dương nên hệ kín là ổn định.

Ví dụ 2.3: Minh họa định lý 2.6

Cho đối tượng gồm hai khâu và mắc nối tiếp theo sơ đồ cho ở hình 2.5. Hai khâu đó có mô hình như sau:

và

Khâu là thụ động được, vì theo định nghĩa 2.1, ở đây tồn tại bộ điều khiển phản hồi trạng thái (2.20): để biến nó thành (2.21): có hàm xác định dương thỏa mãn: ≤ =

Khâu là ổn định tiệm cận tại vì nó có hàm Lyapunov:

Vậy, theo định lý 2.6, đối tượng được ổn định tiệm cận tại bằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái (2.26):

2.2 Phương pháp backstepping cho hệ truyên ngược

2.2.1 Phương pháp thiết kế chung

Hệ truyền ngược được là hệ có mô hình:

trong đó = ; = = ;

() =

Như vậy, ở hệ truyền ngược, trạng thái có vai trò như tín hiệu đầu vào ảo của hệ con (2.27) bên trong nó và hệ con này có các biến trạng thái là .

Định lý 2.7: Gọi () là hàm CLF của hệ con (2.27), thỏa mãn là bộ điều khiển phản hồi trạng thái làm nó ổn định tiệm cận toàn cục tại gốc (bộ điều khiển GAS – global asymptotic stable). Khi đó:

= = + (2.29) với là hàm không âm thỏa mãn :

, ⇔

sẽ là hàm CLF của hệ chung gồm (2.27) và (2.28), đồng thời: (2.30)

trong đó:

và là hàm được chọn tùy ý, miễn là không âm và thỏa mãn:

là một bộ điều khiển phản hồi trạng thái GAS tương ứng của nó.

Chứng minh:

Trước tiên có thể thấy được ngay rằng hàm ) xác định theo (2.29) là xác định dương.

Theo giả thiết có () là hàm CLF của (2.27) và là bộ điều khiển khả vi tương ứng, nên cũng phải có:

( trong đó là hàm xác định dương.

Khi thì do có (2.29) nên cũng có ) = , hay: với mọi .

Dấu bằng của bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi và lúc đó cũng có Vậy hệ truyền ngược (2.27), (2.28) là ổn định tiệm cận tại gốc . Với , do 0, ta được:

Bởi vậy cùng với bộ điều khiển (2.30) cũng như hàm � được chọn thỏa mãn điều kiện đã nêu trong định lý, thì sẽ được tính xác định âm của:

� 0

Điều này chứng tỏ rằng ) là hàm CLF của hệ truyền ngược đã cho.

2.2.2 Thiết kế bô điêu khiên cuốn chiếu nhờ phép biến đổi vi phôi

Mô hình (2.27), (2.28) của hệ truyền ngược, khi viết ra một cách chi tiết cho từng hệ con bên trong (2.27) cũng có dạng truyền ngược, sẽ là:

(2.31)

Như vậy, ta có thể thấy là từng biến trạng thái , k = 2,3,…., n của nó giữ vai trò như một tín hiệu đầu vào ảo của những hệ con bên trong nó.

Trước tiên, ta xét một hệ truyền ngược đơn giản có mô hình: với (2.32)

Dễ dàng thấy được là hệ truyền ngược này có hàm CLF: ) = + … + +

và bộ điều khiển phản hồi trạng thái làm nó ổn định tiệm cận toàn cục tại gốc: (2.33) vì với nó, ta có tính xác định âm của:

Ngoài ra , ta còn thấy bộ điều khiển (2.33) đã biến đổi đối tượng (2.31) cho ban đầu thành hình 2.7:

(2.34)

và như vậy, nó đã làm hệ kín trở thành tuyến tính. Khi đó, người ta gọi nó là bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác.

Hình 2.7: Bộ điều khiển GAS còn là một bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác Quay lại bài toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái GAS (ổn định tiệm cận toàn cục – golbal asymplotic stable) cho hệ phi tuyến truyền ngược (2.31). Dựa vào kết quả đã có (2.33) cho hệ (2.32) , ta sẽ thực hiện bài toán này qua hai bước:

- Xác định phép biến đổi vi phôi = , tức là một ánh xạ trơn và khả nghịch, để chuyển hệ truyền ngược (2.31) ban đầu về dạng (2.32).

- Xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái GAS theo cấu trúc (2.33).

Định lý 2.8:

Ký hiệu: =

() = , = 1,2, …. , n-1 Khi đó phép biến đổi :

= = (2.35)

Bôđiêu khiên

với các hàm (, = 1,2, …. , n-1 được xác định truy hồi theo: (2.36)

là khả nghịch và sẽ chuyển hệ truyền ngược (2.31) về dạng (2.32) với: = (2.37) Do đó bộ điều khiển phải hồi trạng thái:

= - (2.38)

sẽ làm hệ (2.31) ổn định tiệm cận toàn cục tại .

Hơn nữa (2.38) còn là bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác đối tượng (2.31) khi được biểu diễn theo biến , mà cụ thể là hệ kín của nó ở hình 2.7 sẽ có mô hình tuyến tính theo công thức (2.34).

Chứng minh:

Bắt đầu từ của phép đổi biến (2.35) ta có: ⇔ Tiếp theo, từ: Ta lại có: = + Và cứ tiếp tục như vậy sẽ đi đến:

⇔

với các hàm ,k = 1, 2, …. , n-1 cho trong (2.36).

Hơn nữa, do ma trận Jacobi của phép biến đổi (2.35) có dạng tam giác: = , là ký hiệu của một hàm nào đó của ,

có định thức bằng 1 (không suy biến), nên phép đổi biến (2.35) là khả nghịch. Ngoài ra, từ:

ta cũng có (2.37). Cuối cùng, theo kết quả (2.33) của hệ (2.32), thì bộ điều khiển GAS cho hệ truyền ngược (2.31) chính là (2.38) và nó làm cho hệ ở hình 2.8 trở thành tuyến tính với mô hình trạng thái (2.34) khi được biểu diễn theo trạng thái .

Hình 2.8 Bộ điều khiển GAS và phép đổi biến tìm được đã tuyến tính hóa chính xác đối tượng phi tuyến truyền ngược

2.2.3 Xây dựng mô hình truyên ngược có tính tác đông nhanh.

Trong tài liệu [30 - 33] trình bày một phương pháp gần đúng tổng hợp luật điều khiển có tính tác động nhanh. Phương pháp này cho phép tính toán đến ảnh hưởng của tính quán giữa các biến trạng thái của hệ thống. Mô hình lựa chọn phổ

Đổibiến

biến cho phương pháp này là hệ phương trình vi phân dạng tam giác. Đồng thời các biến trạng thái phía trước có tính quán tính tác động nhanh lớn hơn đáng kể so với các biến phía sau. Điều này cho phép xây dựng một mô hình hệ thống truyền ngược dạng phi tuyến có tính tác động nhanh để cho một vài hoặc toàn bộ các biến trạng thái mong muốn cần có tính tác động nhanh. Từ những lý do trên trong nghiên cứu [34] [35] đã đưa ra mô hình truyền ngược có tính tác động nhanh bậc k để cho hệ phương trình hệ thống (2.27) có dạng như sau:

(2.39) Lưu ý rằng mô hình (2.39) có tính đến các điều kiện để đảm bảo sự ổn định tiệm cận, thật dễ dàng để thấy rằng: ,

, (2.40)

Do đó, chúng ta đã biết rằng ma trận Jacobi không suy biến, thì mô hình (2.39) có thể được sử dụng làm mô hình truyền ngược để xác định luật điều khiển tương ứng nhờ phép biến đổi vi phôi đã trình bày ở mục trên.

Ngoài ra, có thể xác định gần đúng về thời gian chênh lệch của các n-k biến cuối cùng với k biến đầu tiên của hệ thống theo công thức:

(2.41)

2.3 Tổng hợp luât điêu khiên cho hệ thống nâng từ sử dụng hệ truyên ngược có tính tác đông nhanh.

2.3.1 Sơ đồ khối điêu khiên hệ nâng từ trường

Bài toán điều khiển là ổn định, cân bằng viên bi tại một vị trí cho trước. Sơ đồ khối điều khiển hệ nâng từ trường được thể hiện trên hình 2.9a. Bộ điều khiển đưa ra điện áp u tác động lên cuộn cảm trong hệ nâng từ nhờ tín hiệu về vị trí, vận tốc viên bi và cường độ dòng điện trong nam châm từ.

Hình 2.9a Sơ đồ khối điều khiển hệ thống nâng từ

Đối với bài toán không có phản hồi dòng điện thì sơ đồ khối điều khiển có dạng:

Hình 2.9b Sơ đồ khối điều khiển hệ thống nâng từ không có phản hồi dòng điện

2.3.2 Luât điêu khiên có tính tác đông nhanh

Mô hình hệ nâng từ (1.17) có dạng điều khiển được Jordan và mang tính phi tuyến cao. Hệ truyền ngược có tính tác động nhanh được lựa chọn có dạng (2.42) khi đó vị trí bóng sẽ được đảm bảo đưa về vị trí đặt trước với thời gian cận tối ưu. Luật điều khiển tác động nhanh theo quãng đường u được tìm khi giải hệ (2.42) với

1 1

  1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 3 sp sp y y y v y y y y y v y y y y                           & & & (2.42) Nhờ phép biến đổi vi phôi ta nhận được luật điều khiển U có dạng như sau: U = (m*x1^2*(L1 + (2*C)/x1) * ((g - (C*x3^2)/(m*x1^2))*(v/((x1 - xs)^2 + f1^2)^(1/2) + 1/f2 - (v*(2*x1 - 2*xs) * (x1 - xs))/(2*((x1 - xs)^2 + f1^2)^(3/2))) + x2 * ((v/((x1 - xs)^2 + f1^2)^(1/2) - (v*(2*x1 - 2*xs)*(x1 - xs)) / (2*((x1 - xs)^2 + f1^2)^(3/2))) / f2 - x2 * ((v*(x1 - xs)) / ((x1 - xs)^2 + f1^2)^(3/2) + (v*(2*x1 - 2*xs)) / ((x1 - xs)^2 + f1^2)^(3/2) - (3*v*(2*x1 - 2*xs)^2 * (x1 - xs)) / (4*((x1 - xs)^2 + f1^2)^(5/2))) + (2*C*x3^2)/(m*x1^3)) + (g + (x2 + (v*(x1 - xs)) / ((x1 - xs)^2 + f1^2)^(1/2)) / f2 + x2*(v/((x1 - xs)^2 + f1^2)^(1/2) - (v*(2*x1 - 2*xs)*(x1 - xs))/(2*((x1 - xs)^2 + f1^2)^(3/2))) - (C*x3^2)/(m*x1^2))/f3 + (2*C*x3*(R*x3 - (2*C*x2*x3)/x1^2))/(m*x1^2*(L1 + (2*C)/x1))))/(2*C*x3)

Đối với mô hình trạng thái (1.18), hệ truyền ngược có tính tác động nhanh được lựa chọn có dạng (2.43):   1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 sp sp y y y v y y y y y                  & & (2.43) Nhờ phép biến đổi vi phôi ta nhận được luật điều khiển U2 có dạng như sau: U2 = (m*x1^2*(g + v2/ε2 + x2*(v1/((x1 - xs)^2 + ε1^2)^(1/2) - (v1*(2*x1 - 2*xs)*(x1 - xs))/(2*((x1 - xs)^2 + ε1^2)^(3/2)))))/C

2.3.3 Kết quả mô phỏng và đánh giá luât điêu khiên phi tuyến tác đông nhanh cho hệ nâng từ

Mô phỏng được thực hiện trên phần mềm Simulink - Matlab thể hiện trên hình 2.10 đối với mô hình toán học (1.17) và luật điều khiển tác động nhanh U1. Các tham số của mô hình được lấy từ chương 1. Trên hình 2.11, 2.12 thể hiện đáp ứng vị trí và vận tốc của viên bi khi bị dịch chuyển từ vị trí ban đầu =1 (cm) đến vị

trí x=2 (cm) và đứng yên. Từ đồ thị ta thấy với luật điều khiển đề xuất có đáp ứng tốt về mặt thời gian và không có vọt lố trong kênh vị trí, sai số tĩnh về vị trí gần như bằng không.

Hình 2.10 Mô hình mô phỏng luật điều khiển trên Simulink - Matlab

Hình 2.12 Đáp ứng vận tốc của viên bi theo luật điều khiển tác động nhanh Đáp ứng về dòng và điện áp điều khiển thể hiện trên hình 2.13 và 2.14. Trên đồ thị ta thấy đáp ứng về dòng và điện áp có vọt lố nhưng không đáng kể, tín hiệu không có dao động.

Hình 2.13 Đáp ứng cường độ dòng điện qua cuộn dây theo luật điều khiển tác động nhanh

Đối với mô hình toán học (1.12) và luật điều khiển tác động nhanh U được mô phỏng trên hình 2.15.

Hình 2.15 Mô hình mô phỏng luật điều khiển trên Simulink- Matlab

Trên hình 2.16, 2.17 thể hiện đáp ứng vị trí và vận tốc của viên bi khi bị dịch chuyển từ vị trí ban đầu =1 (cm) đến vị trí x=2 (cm) và đứng yên. Từ đồ thị ta thấy với luật điều khiển đề xuất cho hệ rút gọn này vẫn có đáp ứng tốt về mặt thời gian và không có vọt lố trong kênh vị trí, sai số tĩnh về vị trí gần như bằng không.

Hình 2.17 Đáp ứng vận tốc của viên bi theo luật điều khiển tác động nhanh Đáp ứng về lực điều khiển thể hiện trên hình 2.18. Trên đồ thị ta thấy đáp ứng lực có vọt lố nhưng không đáng kể, tín hiệu không có dao động.

Hình 2.18 Lực điều điều khiển theo luật điều khiển tác động nhanh

Kết quả mô phỏng cả hai trường hợp khi điều khiển hệ nâng từ bằng hệ ảo có tính tác động nhanh đã chứng minh hiệu quả của phương pháp. Phương pháp này thể hiện sự ưu việt khi tổng hợp cho đối tượng kỹ thuật có tính phi tuyến cao và tính bất định.

2.4 Kết luân chương 2.

Trong chương này tác giả đã trình bày các nội dung cơ bản của phương pháp lan truyền ngược, các phương pháp để tổng hợp bộ điều khiển luật điều khiển nhờ phương pháp này. Ngoài ra tác giả đã giới thiệu các lựa chọn hệ truyền ngược có tính tác động nhanh cho k biến trạng thái đầu tiên.

Từ kết quả nghiên cứu, mô phỏng tác giả thấy rằng mô hình bộ điều khiển tổng hợp bằng hệ lan truyền ngược có tính tác động nhanh có nhiều ưu điểm về mặt thời gian, tuy luật điều khiển có phức tạp hơn so với luật điều khiển trượt.

Chương 3

TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN VÀ XÂY DỰNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN NHÚNG CHO HỆ NÂNG TỪ TRƯỜNG

3.1 Thiết kế mô hình hệ thống nâng từ trường.

3.1.1 Mô hình phần cứng hệ thống nâng từ trường

Hoạt động của mô hình: Board điều khiển Arduino nhận tín hiệu khoảng cách phản hồi về từ cảm biến Hall 49e qua ADC; giá trị đặt vị trí của viên bi được cài đặt trong chương trình. Board điều khiển Arduino tạo ra các điện áp điều khiển

nhờ luật điều khiển thông qua mạch công suất để cấp điện áp cho nam châm điện của hệ thống nâng từ trường.

Board điêu khiên

Arduino Chức năng Kết nối Ghi chú

Chân A1 Input Môđun cảm biến Hall 49e

Chân 6 Output Chân EN–XY160V

Bảng 3.1 Bảng đấu nối các chân tín hiệu

Hình 3.1 Sơ đồ kết nối phần cứng hệ thống nâng từ trường Nam châm điện

Hình 3.2 Kích thước thực tế hệ thống nâng từ trường

3.1.2 Cấu trúc điều khiển hệ thống nâng từ trường

Hình 3.4 Sơ đồ cấu trúc điều khiển hệ thống

Ở đây, ta xây dựng 1 bộ điều khiển theo phương pháp Backstepping có tính tác động nhanh điều khiển theo vị trí của viên bi ổn định tại vị trí mong muốn.

3.1.3 Các thành phần chính của mô hình + Nguồn

Hình 3.5 Nguồn tổ ong 12V-5A

Nguồn tổ ong 12V-5A hay còn gọi là bộ nguồn một chiều 12 volt được thiết kế để chuyển đổi điện áp từ nguồn xoay chiều 110/220VAC thành nguồn một chiều 12VDC để cung cấp cho các thiết bị hoạt động.

Nguồn tổ ong 12V-5A được sử dụng rộng rãi trong các mạch điện tử, mạch công suất.

+ Mạch cầu H 7A DC 6.5

XY - 160D là module cầu đôi H, có thể điều khiển 2 động cơ DC cùng một lúc, dòng và công suất cao. Mạch cầu có dải điện áp đầu vào rộng. Sử dụng cách ly quang optocoupler, đảm bảo khả năng tương thích điện từ của thiết bị. Mạch được ứng dụng điều khiển động cơ xe dò line, Robot...

Hình 3.6 Mạch cầu H 7A DC 6.5 Thông số kỹ thuật:

- Điện áp cung cấp : 6.5 - 27V. - Dòng 7A.

- Nhiệt độ làm việc-25 °-80 °C.

- Điều chỉnh tốc độ động cơ PWM: 0-10 KHZ - Công suất : 160W.

+ Bo mạch Arduino Mega 2560

Mạch điện Arduino Mega 2560 R3 Atmega16u2 là phiên bản nâng cấp của Arduino Uno R3 với số chân giao tiếp, ngoại vi và bộ nhớ nhiều hơn, mạch được thiết kế và sử dụng các linh kiện tương đương với phiên bản chính hãng trên Arduino.cc, phù hợp cho các ứng dụng cần nhiều bộ nhớ hoặc nhiều chân, cổng giao tiếp hơn so với Arduino Uno.

Mạch Arduino Mega 2560 Atmega là một board vi điều khiển dựa trên ATmega2560. Board này có 54 chân I/O (14 chân PWM ), 16 analog đầu hàng vào, 4 UARTs (phần cứng cổng tuần tự), sử dụng thạch anh 16 MHz, kết nối cổng USB, một Jack cắm điện, chân ICSP, và một nút reset. Board có tất cả mọi thứ cần thiết để hỗ trợ vi điều khiển.

Hình 3.7 Bo mạch Arduino Thông số kỹ thuật:

- Vi điều khiển chính: ATmega2560

- Nguồn nuôi mạch: 5VDC từ cổng USB hoặc nguồn ngoài cắm từ Jack tròn DC (khuyên dùng 7-9VDC để đảm bảo mạch hoạt động tốt. Nếu bạn cắm 12V thì IC ổn áp rất dễ chết và gây hư hỏng mạch). - Số chân Digital: 54 (15 chân PWM)

- Số chân Analog: 16

- Giao tiếp UART : 4 bộ UART