Đặt bài toán:
- Khi nghiên cứu quá trình truyền tín hiệu số trên các kênh nhiễu cộng Gauss, ngƣời ta đã chỉ ra xác suất lỗi bit Pb() là hàm của tỷ số tín hiệu trên nhiễu. - Mở rộng trƣờng hợp truyền tín hiệu số trên kênh có nhiễu cộng Gauss và fading
tác động đồng thời thì lúc này là biến ngẫu nhiên có phân bố tùy thuộc vào từng loại fading.
- Vậy bài toán đặt ra: cần tính Pb() trong hoàn cảnh Pb() là hàm ngẫu nhiên?.
Giải quyết bài toán:
Trong mục 2.2 ta đã biết rằng khi truyền tín hiệu điều chế MQAM qua môi trƣờng nhiễu cộng Gauss thì xác suất lỗi ở đầu thu đƣợc xác định bằng:
- Xác suất lỗi ký hiệu: Ps4 𝑀−1
𝑀 𝑄 3𝛾𝑠
𝑀−1 (2.60) - Xác suất lỗi bit:
Pb 4 𝑀−1
𝑀 log2𝑀𝑄 3𝛾𝑏log2𝑀
(𝑀−1) (2.61) Hoặc có thể viết dƣới dạng tổng quát
PsMQ 𝛽𝑀𝛾𝑠 (2.62) Pb 𝛼𝑀′ 𝑄 𝛽𝑀′ 𝛾𝑏 (2.63) Trong đó M, 𝛼𝑀′ , 𝛽𝑀, 𝛽𝑀′ là những hằng số phụ thuộc vào bậc điều chế M.
s = 𝐴𝑠
𝑁0 (2.64)
b = 𝐴𝑏
𝑁0 (2.65)
Trong đó As. Ab là tín hiệu tại đầu thu. Trong trƣờng hợp không có fading mà chỉ có nhiễu cộng thì s, b coi là không đổi theo thời gian.
Trong môi trƣờng có fading tác động, thì coi đó là nhiễu nhân với hàm tác động đó là g(t), lúc đó biên độ tín hiệu thu đƣợc là A.g(t) và
s = 𝐴𝑠2𝑔2(𝑡) 𝑁0 = 𝐴𝑠2(𝑡) 𝑁0 (2.66) b = 𝐴𝑏2𝑔2(𝑡) = 𝐴2𝑏(𝑡) (2.67)
Trong đó: h(t) = g2(t) (2.68)
Là các biến ngẫu nhiên. Từ đó suy ra s, b cũng là các biến ngẫu nhiên. Để đơn giản cách viết, về sau này ta chỉ xét đối với lỗi bit, còn lỗi ký hiệu xét tƣơng tự.
Với điều kiện đó ta có:
𝑓𝛾𝑏 𝛾 𝑑𝛾 = 𝑓 𝑟 𝑑𝑟 (2.69) Và theo giả thiết tín hiệu thu đƣợc có phân bố Rayleigh, nên:
𝑓 𝑟 = 𝑟
𝜎2𝑒−𝑟2/2𝜎2
(2.70) Trong đó 2 là phƣơng sai của tín hiệu. Vậy:
= 𝑟2𝑇𝑠
2𝜎𝑛2 (2.71) Trong đó: 𝜎𝑛2 =𝑁0
2
Lấy vi phân hai phía (2.71) ta có:
𝑑𝛾 = 𝑟𝑇𝑏
2𝜎𝑛2𝑑𝑟 (2.72) Thay (2.71) và (2.72) vào (2.70), sau đó lại thay vào (2.69), ta có:
𝑓𝛾𝑏(𝛾) = 𝜎𝑛2 𝜎2𝑇𝑏𝑒−𝛾𝜎𝑛2/𝜎2𝑇𝑏 (2.73) Kí hiệu: 𝜎2𝑇𝑏 𝜎𝑛2 =𝛾𝑠 (2.74) Thay (2.74) vào (2.73), ta có: 𝑓𝛾𝑏(𝛾) =𝛾1 𝑏 𝑒−𝛾 𝑏 𝛾 (2.75)
Rõ ràng là xác suất lỗi bit ở (2.63) bây giờ cũng là đại lƣợng ngẫu nhiên và là hàm của biến ngẫu nhiên b. Vậy xác suất lỗi bit bây giờ phải đƣợc tính theo giá trị trung bình của nó:
Kí hiệu xác suất lỗi bit trung bình khi kênh có phân bố fading 𝑓𝛾𝑏(𝛾)là:
𝑃 𝑏 = 𝛼𝑀𝑄 𝛽𝑀𝛾 1 𝛾 ∞ 0 𝑒−𝛾/ 𝛾 𝑏𝑑𝛾 𝛼𝑀 𝛼𝑀 2𝛽𝑀𝛾 𝑏 (2.76) Xác suất lỗi bit trung bình đƣợc biểu thị bằng đồ thị trên hình 2.23 ở dƣới.
b(dB)
Hình 2.23 – Pb trung bình trong kênh fading rayleigh và nhiễu AWGN[4]
Nhận xét:
- Kết quả tính toán ở (2.76) có biểu thức đơn giản hơn so với (2.59 )
- Kết quả biểu diễn có dạng xác suất lỗi giống với dạng xác xuất lỗi đã đƣợc các tác giả khác đƣa ra ở mục trƣớc (mục 2.3) trong cùng hoàn cảnh kênh có nhiễu cộng Gauss và fading.