.21 – Đáp ứng tần số của mẫu tín hiệu

Giả thiết  << T – độ rộng ký hiệu OFDM;  << T/N; N là số sóng mang con trong OFDM.

Để tính xác suất lỗi của một mẫu ký hiệu, trƣớc hết chúng ta tính ảnh hƣởng của một mẫu đến mỗi kênh con.

Ảnh hƣởng của một mẫu ký hiệu trong khoảng  xuất hiện tại thời điểm t0 đối với kênh con thứ k là:

Fk = 1

𝑁 𝑁−1𝑓𝑛𝑒−𝑗2𝜋𝑛𝑘 /𝑁

𝑛=0 (2.40) ở đây fn là các mẫu của một xung P(t), 1

𝑁 hệ số bảo tồn năng lƣợng [4] P(t) = (-22m2t2 + 22m2t +1) (2.41a) fn = P(n𝑁𝑇 − 𝑡0) (2.41b) Thay biến đổi Fourier rời rạc bằng đánh giá:

xn = 1∆ (2.42) ở đây  = 𝑁1 và Fk = 𝑁𝑇 1 𝑁 𝑡0− 𝜏/2𝑃 𝑡 − 𝑡0 𝑡0− 𝜏/2 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡 /𝑇𝑑𝑡 (2.43) Thay biến u = t – t0 thì (2.43) có dạng: Fk = 𝑁𝑇 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡0/𝑇 − 𝜏/2 𝜏/2 𝑃 𝑢 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑢 /𝑇𝑑𝑢 (2.44) Fk = 𝑁𝑇 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡0/𝑇𝑔𝜏 2𝜋𝑘𝑇 (2.45) ở đây g() là phổ của xung cho bởi (2.37). Vậy:

Fk = 𝑁𝑇𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡0/𝑇𝑚2 𝜏

𝑘2 𝑠𝑖𝑛𝑐𝜋𝑘𝜏

𝑇 − 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑘𝜏

𝑇 (2.46) Lấy xấp xỉ:

sinc(x) – cos(x) 𝑥32 cho x << 1 (2.47) Với k bé, đáp ứng của một mẫu ký hiệu trong khoảng , trong mỗi sóng mang con sẽ là:

Fk = 3𝑇𝜋2 𝑁𝑚2𝜏3𝑒𝑗𝜃 (2.48a) ở đây  có phân bố đều trong [0, 2], ta có phân bố Rayleigh:

P() = 2(m2)2𝑒− 𝜋𝑚 2 2𝜏2 (2.48b) Nhƣ vậy ta có thể viết (2.48a) dƣới dạng:

Fk = r ej (2.49) Tìm hàm phân bố xác suất của r:

Pr[r > R] = Pr 𝜏 > 𝜋23𝑅𝑇 𝑁𝑚2 1/3 (2.50) Sử dụng phân bố  ở (2.48b). Pr[r > R] = exp − 3𝑅𝑇 𝜋2 𝑁𝑚2 2/3 𝜋22𝑚2

= exp − 𝑁9𝑅2𝑇2𝜋24𝑚2 1/3 (2.51) Thay:

m2 = 3𝑇𝑁22 , (2.52) Pr[r > R] = exp{-[3R2 2 N 4]1/3 } (2.53)

Nếu biến đổi mặt phẳng phức bằng ánh xạ aeja1/3ej, thì công thức (2.53) là phân bố Rayleigh trong mặt phẳng biến đổi đó. Do đó phần thực hoặc ảo của Fk có phân bố chuẩn: Pr[r cos > x] = Q 𝑥1/3 𝜎 (2.54) Ở đây Q(x) = 1 2𝜋 𝑒𝑥∞ −𝑢2/2𝑑𝑢 và 𝜎 = 24𝑁𝜋2 −1/3 (2.55)

Chúng ta giả thiết các sóng mang con mang một chùm sao không có M2 điểm. Mỗi thành phần có M mức, có khoảng cách nhƣ nhau và cách nhau 2d. Công suất của một thành phần là 2𝑁1. Để dễ tính, chúng ta chuẩn hóa tổng công suất bằng 1. Vậy:

d = 2𝑁(𝑀32− 1) (2.56) Vậy xác suất của một sóng mang:

𝑃𝑏′ =2(𝑀 − 1)

𝑀 𝑄

𝑑1/3

𝜎

= 2(𝑀−1)𝑀 𝑄 𝑀6𝜋2−12 1/3 (2.57) Xác suất lỗi bit gắn với xác suất xuất hiện bit. Nếu xác suất xuất hiện bit là:

Pb = 2T = 2 𝑚2𝑇𝑒−2/2 (2.58) Thì xác suất lỗi bit là:

𝑃𝑏 =4 3(𝑀−1)

𝑀 𝑁𝑒−𝛾2/2𝑄 6𝜋𝛾2

𝑀2−1 1/3

