.19 Mô tả một kênh MIMO với Nt anten phát và Nr anten thu

𝑦1 ⋮ 𝑦𝑁𝑟 = 𝑕11 … 𝑕1𝑁𝑡 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑕𝑁𝑟1 … 𝑕𝑁𝑟𝑁𝑡 . 𝑥1 ⋮ 𝑥𝑁𝑟 + 𝑛1 ⋮ 𝑛𝑁𝑟 (2.8) = y = H = x = n y = H . x + n

Trong đó: x là vector tín hiệu truyền cấp Nt x 1, y là vector tín hiệu nhận, n là nhiễu Gauss phức trung bình zero cấp Nr x 1; H là ma trận phức Nr x Nt của độ lợi kênh hij biểu diễn độ lợi từ anten phát thứ j đến anten thu thứ i. Theo định lý phân tách giá trị (SVD), ma trận kênh H có thể đƣợc phân tách nhƣ sau:

H = UDVH (2.9)

Trong đó: U là ma trận không phân chia, V là ma trận không phân chia, D là ma trận đƣờng chéo không âm cấp Nr x Nt, và ()H là một hoạt động Hermitian (chuyển liên hợp). Thực thể đƣờng chéo của D là các root vuông góc không âm của giá trị riêng

HHH, các cột của U là các vector riêng của HHH, và các cột của V là các vector riêng của HHH.

Từ (5.1) và (5.2), có viết lại nhƣ sau:

Y = UDVH x + n (2.10)

Nhân UH cho cả hai bên của (5.3), nó trở thành:

UH y = UH U DVH x + UH n (2.11) = 1

UH y = DVH x + UH n Lấy: 𝑦 = UH y , 𝑥 = VH x và 𝑛 = UH n thì

𝑦 = D𝑥 + 𝑛 (2.12)

Trong đó 𝑛 có cùng các thuộc tính thống kê nhƣ n vì U là ma trận không phân chia. Vì thế 𝑛 nhiễu Gaussian phức trung bình zero.

Chúng ta có thể thấy từ (2.12), việc truyền MIMO có thể đƣợc phân tách ra thành m đƣờng truyền song song độc lập với m = min(Nt, Nr), mà đó là cơ sở cho độ lợi ghép kênh không gian.

Cho một kênh MIMO băng thông rộng, toàn bộ băng có thể đƣợc chia nhỏ thành các băng con hoặc các sóng mang con. Sau đó, kênh MIMO cho mỗi sóng mang con trở thành một kênh MIMO băng thông hẹp. Lấy toàn bộ băng đƣợc chia nhỏ thành M sóng mang con, sau đó cho sóng mang con.

(0  k  M -1) 𝑌1,𝑘 ⋮ 𝑌𝑁𝑟,𝑘 = 𝐻11,𝑘 … 𝐻1𝑁𝑡,𝑘 ⋮ ⋱ ⋮ 𝐻𝑁𝑟1,𝑘 … 𝐻𝑁𝑟𝑁𝑡,𝑘 . 𝑋1 ⋮ 𝑋𝑁𝑟 + 𝑁1,𝑘 ⋮ 𝑁𝑁𝑟,𝑘 (2.13) = Yk = Hk = Xk = Nk Y= Hk . Xk + Nk

Trong đó: Xk là vector tín hiệu truyền cấp Nt x 1, Yk là vector tín hiệu nhận cấp

Nr x 1, Nk là nhiễu Gauss phức trung bình Zero cấp Nr x 1, và Hk là ma trận phức cấp Nr x Nt của độ lợi kênh Hij,k biểu diễn độ lợi từ anten truyền thứ j đến an ten thu thứ i. Tƣơng tự với kênh MIMO băng thông hẹp, Hk có thể đƣợc phân chia thành UkDkVHk

và (2.13) có thể đƣợc giải thích là:

𝑌 k = Dk𝑋 k + 𝑁 k (2.14) Trong đó: 𝑌 k = UkH Yk , 𝑋 k = VkH Xk và 𝑁 = UkH Nk

Chúng ta có thể ghép các kỹ thuật MIMO vào trong SC-FDMA cũng tƣơng tự nhƣ MIMO-OFDM, sơ đồ hệ thống ghép kênh MIMO SC-FDMA đƣợc thể hiện nhƣ hình 2.20 ở dƣới.

Hình 2.20 - Hệ thống phát và thu của MIMO SC-FDMA[8] ... . ……… . ... . ……… . ... . ……… . Kênh MIMO ... . ……… . ... . ……… . ... . ……… . N- điểm DFT Ánh xạ sóng mang con M- điểm IDFT P/ S Chèn CP Bộ chuyển đổi D/A S/P N- điểm DFT Ánh xạ sóng mang con M- điểm IDFT P/ S Chèn CP Bộ chuyển đổi D/A S/P Loại bỏ CP Bộ chuyển đổi A/D S/ P M- điểm DFT Giải ánh xạ sóng mang con N- điểm IDFT P/S Phát hiện Loại bỏ CP Bộ chuyển đổi A/D S/ P M- điểm DFT Giải ánh xạ sóng mang con N- điểm IDFT P/S Phát hiện

2.2. Đánh giá chất lƣợng hệ thống thông tin động trong kênh nhiễu cộng Gauss 2.2.1 Đối với phƣơng pháp SC-FDMA

Phƣơng pháp tính xác suất lỗi đối với điều chế MQAM[4]:

 Trƣờng hợp MPAM:

MPAM có biên độ Ai = (2i -1 – M)d; i = 1, 2, . . ., M; d là khoảng cách giữa hai điểm tín hiệu kề cận. Cứ mỗi M – 2 điểm của chùm sao có hai điểm kề cận gần nhất có khoảng cách 2d. Xác suất phạm phải một lỗi khi gửi một điểm nằm phía trong của chùm sao là xác suất để nhiễu lớn hơn d, nghĩa là Ps (si) = P(|M| > d), i = 2, …, M – 1. Đối với các điểm nằm phía ngoài của chùm sao chỉ có một điểm kế cận gần nhất, nhƣ vậy xuất hiện một lỗi nếu nhiễu lớn hơn d chỉ theo một hƣớng sao cho Ps(si) = P(M > d) = 0.5P(|M| > d), i = 1, M. Nhƣ vậy xác suất lỗi trung bình của một ký hiệu là:

Ps = 𝑀1 𝑀 𝑃𝑠 𝑠𝑖 = 𝑖=1 𝑀−2𝑀 2𝑄 2𝑑𝑁2 0 +𝑀2Q 2𝑑𝑁2 0 =2(𝑀−1)𝑀 𝑄 2𝑑𝑁2 0 (2.15)

Với năng lƣợng trung bình cho một ký hiệu trong trƣờng hợp chùm sao MPAM là: 𝐸 s = 𝑀1 𝐴𝑖2 = 1 𝑀 (2𝑖 − 1 − 𝑀)2𝑑2 =1 3 𝑀2− 1 𝑑2 𝑀 𝑖=1 𝑀 𝑖=1 (2.16)

Nhƣ vậy, ta có thể biết Ps theo năng lƣợng trung bình 𝐸 s:

Ps = 2(𝑀−1)

𝑀 𝑄 6 𝑠

𝑀2−1 (2.17)

 Trƣờng hợp điều chế MQAM:

Giả sử trong trƣờng hợp MQAM này có chùm sao tín hiệu hình vuông cở M = 22. Hệ thống này có thể coi là hai hệ thống MPAM có các chùm sao tín hiệu cở L phát qua các thành phần tín hiệu trùng pha và vuông pha, mỗi thành phần có 1/2 năng lƣợng của hệ thống MQAM ban đầu. Các điểm của chùm sao trong các nhánh trùng pha và vuông pha lấy các giá trị Ai = (2i – 1 – L)d, i = 1, 2, . . M. Xác suất lỗi ký hiệu đối với mỗi nhánh của hệ thống MQAM thõa mãn biểu thức (2.17). Bằng cách thay L = 𝑀 và s bằng năng lƣợng trung bình trên một ký hiệu trong chùm sao MQAM:

Ps = 2 𝑀−1

𝑀 𝑄 3𝑠

𝑀−1 (2.18)

Lƣu ý rằng 𝑠 trong (2.18) đƣợc nhận với hệ số 6 vì chùm sao MQAM chia tổng năng lƣợng trung bình của nó cho các nhánh trùng pha và vuông pha. Xác suất lỗi ký

hiệu đối với hệ thống MQAM là: Ps = 1 – 1 − 2 𝑀−1 𝑀 𝑄 3𝑠 𝑀−1 2 (2.19)

Xác suất lỗi ký hiệu gần đúng phụ thuộc vào điểm của chùm sao là ở bên trong hay bên ngoài. Nếu chúng ta lấy tất cả trung bình trên tất cả các điểm bên trong hay bên ngoài, chúng ta thu đƣợc xác suất lỗi MPAM cho mỗi nhánh là:

Ps2 𝑀−1

𝑀 𝑄 3𝑠

𝑀−1 (2.20)

Đối với chùm sao không phải hình chữ nhật thì giới hạn trên của xác suất lỗi ký hiệu là: Ps ≤ 1 – 1 − 2𝑄 3𝑠 𝑀−1 2 ≤ 4Q 3𝛾 𝑠 𝑀−1 (2.21) Và xác suất lỗi gần đúng trong trƣờng hợp chùm sao không phải hình chữ nhật là:

Ps𝑀𝑑𝑚𝑖𝑛 𝑄 𝑑𝑚𝑖𝑛

2𝑁0 (2.22) Ở đây: Mdmin là số lớn nhất các điểm kề cận gần nhất đối với bất kỳ điểm chùm sao nào trong chùm sao.

dmin là khoảng cách bé nhất trong chùm sao.

Từ công thức tổng quát tính xác suất lỗi trong hệ thống điều chế MQAM ta có thể tính xác suất lỗi đối với từng trƣờng hợp cụ thể:

 Với điều chế 4QAM:

- Xác suất lỗi kí hiệu: Ps  2Q 𝛾𝑠 (2.23) - Xác suất lỗi bit: Pb  Q 2𝛾𝑏 (2.24)

 Với điều chế 16QAM:

- Xác suất lỗi kí hiệu: Ps4 16−1

16 𝑄 3𝛾𝑠

16−1 (2.25) - Xác suất lỗi bit: Pb 4 16−1

16 log216𝑄 3𝛾𝑠∗log216

16−1 (2.26)

 Với điều chế 64QAM:

- Xác suất lỗi kí hiệu: Ps4 64−1

64 𝑄 3𝛾𝑠

64−1 (2.27) - Xác suất lỗi bit: Pb 4 64−1

64 log264𝑄 3𝛾𝑠∗log264

Trong đó: hàm Q(z) = f(x ≥ z) = 1 2𝜋 ∞

𝑧 𝑒−𝑥22 𝑑𝑥

s* là tổng số tín hiệu trên nhiễu ở đầu vào máy thu.

2.2.2 Đối với phƣơng pháp MC-MC-CDMA:

Xác suất lỗi bit đối với MQAM đƣợc cho bởi [9]: Pb = 4 1 − 1

𝑀 1

2𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐸𝑏

𝑁0 (2.29) Với M = 4 thì xác suất lỗi bit với hệ 4QAM:

Pb = 4 1 − 1

4 1

2𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐸𝑏

𝑁0 (2.30) Với M = 16 thì xác suất lỗi bit với hệ 16QAM:

Pb = 4 1 − 1

16 1

2𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐸𝑏

𝑁0 (2.31) Với M = 64 thì xác suất lỗi bit với hệ 64QAM:

Pb = 4 1 − 1 64 1 2𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐸𝑏 𝑁0 (2.32) Trong đó: hàm erfc 𝑥 2 = 2Q(x)

Eb là năng lƣợng của một bit N0 là mật độ công suất nhiễu

2.3. Đánh giá chất lƣợng hệ thống thông tin di động trong kênh có fading và nhiễu cộng Gauss bằng phƣơng pháp truyền thống nhiễu cộng Gauss bằng phƣơng pháp truyền thống

Trong mục trƣớc (mục 2.2) luận văn đã giới thiệu phƣơng pháp đánh giá chất lƣợng hệ thống trong kênh có nhiễu cộng Gauss sử dụng điều chế số MQAM. Tuy vậy khi kênh có fading thì ngoài tác động của nhiễu cộng Gauss, còn có fading tác dụng làm cho xác suất lỗi tăng lên ứng với một giá trị tỷ số tín hiệu trên nhiễu cho trƣớc và lúc đó cách tính xác suất lỗi cũng có nhiều điểm khác biệt.

Sau đây luận văn sẽ giới thiệu cách tính xác suất lỗi thông dụng đã đƣợc nhiều tác giả sử dụng [3].

Ký hiệu A là một mẫu tín hiệu lớn hơn một mức  nào đó. Lúc đó xác suất thu sai ký hiệu sẽ là:

P(symbol error) = P(symbol error | A) P(A) + P(symbol error| 𝐴 ) P(𝐴 ) (2.33) Giả sử xác suất nhiễu của mẫu ký hiệu trong khoảng thời gian T là  và khoảng thời gian dành cho mẫu ký hiệu  là ngắn hơn so với khoảng ký hiệu OFDM. Phổ của tín hiệu OFDM có dạng gần giống hình chữ nhật nếu tăng số sóng mang.

Ngƣời ta [4] cũng chỉ ra rằng  có phân bố Poisson:

 = 𝑓0

3𝑒−

2

ở đây f0 = Nf đối với tín hiệu băng gốc. Vậy giá trị trung bình độ rộng mẫu tín hiệu là:

𝜏 = 2 1

𝜋𝑚2 =21𝑓

0

3

𝜋 (2.35)

Chúng ta sử dụng mô hình tuyến tính để chỉ ra ảnh hƣởng của méo mẫu tín hiệu đã phát đi. Giả sử tín hiệu có dạng x(t) + CM(t), trong đó thành phần CM(t) là thành phần tín hiệu trên mức . Trong mức đó, theo [8] thì CM(t) tƣơng quan với x(t). Sử dụng phƣơng pháp Gram-Schmidt để tách sự tƣơng quan giữa tín hiệu và thành phần méo và thành phần méo mới bây giờ là

𝐶𝑀(𝑡) −𝐸 𝐶𝑀𝑥 𝑡 𝐸 𝑥 𝑡 2 𝑥(𝑡)

Nhƣ vậy tín hiệu và các thành phần méo mới bây giờ sẽ không tƣơng quan. Tuy vậy, công suất của thành phần thứ hai có thể bỏ qua so với thành phần thứ nhất. Giả sử một hệ thống không nhớ thực hiện một ánh xạ f(.) giữa đầu vào x(t) và đầu ra y(t),

x(t) y(t)

và đƣợc biểu diễn bằng quan hệ:

y(t) = hx(t) + CM(t) (2.36) Đối với tín hiệu OFDM, thì biến đổi Fourier của các mẫu tín hiệu sẽ là: g() = 2𝜋 2𝑚22 𝜏

𝜔2 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝜔𝜏

2 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝜏

2 (2.37) Hình 2.21 biểu thị g().

Toàn phân bố xác suất của  là

f() = (2m2)2 exp − 2𝜋𝑚2𝜏 2

8 (2.38) Ảnh hƣởng của thành phần nhiễu đối với mỗi mẫu là:

𝑔−∞∞ 𝜏 𝜔 2𝑠𝑖𝑛𝑐2 𝜔 − 𝜔𝑘 𝑑𝜔 (2.39)

Hình 2.21 – Đáp ứng tần số của mẫu tín hiệu[3]

Giả thiết  << T – độ rộng ký hiệu OFDM;  << T/N; N là số sóng mang con trong OFDM.

Để tính xác suất lỗi của một mẫu ký hiệu, trƣớc hết chúng ta tính ảnh hƣởng của một mẫu đến mỗi kênh con.

Ảnh hƣởng của một mẫu ký hiệu trong khoảng  xuất hiện tại thời điểm t0 đối với kênh con thứ k là:

Fk = 1

𝑁 𝑁−1𝑓𝑛𝑒−𝑗2𝜋𝑛𝑘 /𝑁

𝑛=0 (2.40) ở đây fn là các mẫu của một xung P(t), 1

𝑁 hệ số bảo tồn năng lƣợng [4] P(t) = (-22m2t2 + 22m2t +1) (2.41a) fn = P(n𝑁𝑇 − 𝑡0) (2.41b) Thay biến đổi Fourier rời rạc bằng đánh giá:

xn = 1∆ (2.42) ở đây  = 𝑁1 và Fk = 𝑁𝑇 1 𝑁 𝑡0− 𝜏/2𝑃 𝑡 − 𝑡0 𝑡0− 𝜏/2 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡 /𝑇𝑑𝑡 (2.43) Thay biến u = t – t0 thì (2.43) có dạng: Fk = 𝑁𝑇 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡0/𝑇 − 𝜏/2 𝜏/2 𝑃 𝑢 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑢 /𝑇𝑑𝑢 (2.44) Fk = 𝑁𝑇 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡0/𝑇𝑔𝜏 2𝜋𝑘𝑇 (2.45) ở đây g() là phổ của xung cho bởi (2.37). Vậy:

Fk = 𝑁𝑇𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡0/𝑇𝑚2 𝜏

𝑘2 𝑠𝑖𝑛𝑐𝜋𝑘𝜏

𝑇 − 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑘𝜏

𝑇 (2.46) Lấy xấp xỉ:

sinc(x) – cos(x) 𝑥32 cho x << 1 (2.47) Với k bé, đáp ứng của một mẫu ký hiệu trong khoảng , trong mỗi sóng mang con sẽ là:

Fk = 3𝑇𝜋2 𝑁𝑚2𝜏3𝑒𝑗𝜃 (2.48a) ở đây  có phân bố đều trong [0, 2], ta có phân bố Rayleigh:

P() = 2(m2)2𝑒− 𝜋𝑚 2 2𝜏2 (2.48b) Nhƣ vậy ta có thể viết (2.48a) dƣới dạng:

Fk = r ej (2.49) Tìm hàm phân bố xác suất của r:

Pr[r > R] = Pr 𝜏 > 𝜋23𝑅𝑇 𝑁𝑚2 1/3 (2.50) Sử dụng phân bố  ở (2.48b). Pr[r > R] = exp − 3𝑅𝑇 𝜋2 𝑁𝑚2 2/3 𝜋22𝑚2

= exp − 𝑁9𝑅2𝑇2𝜋24𝑚2 1/3 (2.51) Thay:

m2 = 3𝑇𝑁22 , (2.52) Pr[r > R] = exp{-[3R2 2 N 4]1/3 } (2.53)

Nếu biến đổi mặt phẳng phức bằng ánh xạ aeja1/3ej, thì công thức (2.53) là phân bố Rayleigh trong mặt phẳng biến đổi đó. Do đó phần thực hoặc ảo của Fk có phân bố chuẩn: Pr[r cos > x] = Q 𝑥1/3 𝜎 (2.54) Ở đây Q(x) = 1 2𝜋 𝑒𝑥∞ −𝑢2/2𝑑𝑢 và 𝜎 = 24𝑁𝜋2 −1/3 (2.55)

Chúng ta giả thiết các sóng mang con mang một chùm sao không có M2 điểm. Mỗi thành phần có M mức, có khoảng cách nhƣ nhau và cách nhau 2d. Công suất của một thành phần là 2𝑁1. Để dễ tính, chúng ta chuẩn hóa tổng công suất bằng 1. Vậy:

d = 2𝑁(𝑀32− 1) (2.56) Vậy xác suất của một sóng mang:

𝑃𝑏′ =2(𝑀 − 1)

𝑀 𝑄

𝑑1/3

𝜎

= 2(𝑀−1)𝑀 𝑄 𝑀6𝜋2−12 1/3 (2.57) Xác suất lỗi bit gắn với xác suất xuất hiện bit. Nếu xác suất xuất hiện bit là:

Pb = 2T = 2 𝑚2𝑇𝑒−2/2 (2.58) Thì xác suất lỗi bit là:

𝑃𝑏 =4 3(𝑀−1)

𝑀 𝑁𝑒−𝛾2/2𝑄 6𝜋𝛾2

𝑀2−1 1/3



Hình 2.22 – Kết quả tính xác suất lỗi[3]

Nhận xét:

1- Phƣơng pháp nói ở trên [3] là phƣơng pháp đã sử dụng khá thông dụng trong các tài liệu khi tính toán hiệu năng của các hệ thống OFDM với dạng điều chế MQAM, còn tính riêng cho hệ thống DPSK [5].

2- Nhƣợc điểm của phƣơng pháp trên là phải đặt nhiều giả thiết phụ, khá phức tạp trong tính toán.

3- Việc mở rộng phƣơng pháp tính xác suất lỗi này cho các trƣờng hợp fading khác là không khả thi vì đã ràng buộc bởi phân bố Rayliegh (2.48b).

4- Hạn chế cho trƣờng hợp MQAM

Để góp phần giải quyết một số khó khăn trên, dƣới đây luận văn đƣa ra giải pháp tính toán khác mà tƣ tƣởng của nó là:

- Chấp thuận cách tính và kết quả tính xác suất lỗi thu đƣợc đối với các trƣờng hợp điều chế khác nhau trong môi trƣờng nhiễu cộng Gauss. Vì bản chất của thu sai là vectơ tín hiệu đƣợc tổng gồm tín hiệu có ích và nhiễu làm cho nó vƣợt ra ngoài vùng quyết định. Ở đây luận văn sẽ coi nhiễu không chỉ có nhiễu cộng mà còn có can nhiễu giữa các kí hiệu do fading gây ra. Các loại nhiễu đó tổng cộng dƣới dạng vectơ và nếu cộng với vectơ tín hiệu hữu ích làm cho chúng vƣợt ra khỏi vùng quyết định thì đều là gây lỗi. Xét dƣới dạng công suất thì sự biến dạng của fading làm cho tỷ số tín hiệu trên nhiễu ở đầu thu  sẽ biến đổi ngẫu nhiên theo quy luật của fading tác dụng vào tín hiệu. Xác su ất lỗ i M = 2

- Với quan niệm đó thì xác suất lỗi sẽ có dạng nhƣ xác suất lỗi trong kênh nhiễu cộng Gauss là hàm của , nhƣng  lại là biến ngẫu nhiên có phân bố bất kỳ.

- Với  là biến ngẫu nhiên nên ta sẽ tính đƣợc xác suất lỗi trung bình nếu biết hàm phân bố xác suất của , nghĩa là có phân bố xác suất của fading và không bị giới hạn chỉ đúng với một dạng điều chế MQAM nhƣ[ 4] hoặc đúng với DPSK, QPSK[5].

Sau đây luận văn xin trình bày giải pháp đó.

2.4. Đánh giá chất lƣợng của hệ thống

Đặt bài toán:

- Khi nghiên cứu quá trình truyền tín hiệu số trên các kênh nhiễu cộng Gauss, ngƣời ta đã chỉ ra xác suất lỗi bit Pb() là hàm của tỷ số tín hiệu trên nhiễu. - Mở rộng trƣờng hợp truyền tín hiệu số trên kênh có nhiễu cộng Gauss và fading

tác động đồng thời thì  lúc này là biến ngẫu nhiên có phân bố tùy thuộc vào từng loại fading.

- Vậy bài toán đặt ra: cần tính Pb() trong hoàn cảnh Pb() là hàm ngẫu nhiên?.