Xột tay mỏy cú n bậc tự do như hỡnh 2.2. Mỗi bậc tự do của tay mỏy được cung cấp bởi 1 mụ men (hoặc lực) độc lập. Để xõy dựng phương trỡnh động lực học cho robot n DOF ta thực hiện theo 4 bước sau: Tớnh động năng, tớnh thế năng, tớnh hàm Lagrange, tớnh mụ men hoặc lực tỏc động lờn cỏc khớp.
Thể hiện quan hệ giữa mụmen (hoặc lực) với cỏc biến khớp như phương trỡnh sau:
25
Hàm Lagrange của một hệ thống được định nghĩa: L= K – P (2.4) Trong đú:
K: là tổng động năng của hệ thống
P: tổng động năng
K, P là những đại lượng vụ hướng nờn cú thể thớch hợp với bất kỳ hệ trục tọa độ nào được lựa chọn để biểu diễn mụ hỡnh động lực học của robot.
Đối với một robot n khõu ta cú:
K=∑ ; P=∑ (2.5)
Ở đõy, và là động năng và thế năng của khõu thứ i xột trong hệ tọa độ đó chọn. Ta biết mỗi đại lượng và là một hàm số phụ thuộc vào nhiều biến số:
Ki = K(qi, ̇i), Pi = P(qi, ̇i) (2.6)
Với qi là biến vị trớ khớp thứ i. Nếu khớp thứ i là khớp quay thỡ qi là gúc quay . Nếu
qi là khớp tịnh tiến thỡ qi là độ dài tịnh tiến di. Vậy lực tỏc dụng lờn khõu thứ i;
(i=1,2,3,…,n) với quan niệm là lực tổng quỏt, nú cú thể là một lực hoặc một mụ men (phụ thuộc vào biến khớp qi là tịnh tiến hay quay) được xỏc định bởi:
̇ (2.7)
Theo [29], [34],[36] ỏp dụng phương trỡnh Euler-Lagrange cho robot n bậc tự do ta cú: ̈ ̇ ̇ ̇ (2.8)
Trong đú: -Cỏc biến ̇ ̈ lần lượt là vị trớ, vận tốc, gia tốc gúc của cỏc khớp -Vộc tơ là vộc tơ mụ men (lực) tỏc động lờn cỏc khớp;
-Ma trận là ma trận quỏn tớnh;
26
-Vộc tơ ̇ ; với ̇ là thành phần ma sỏt khụ và ̇ là thành phần ma sỏt nhớt; , là hệ số ma sỏt;
- Vộc tơ là vộc tơ nhiễu.
Từ (1.8) ta cú cỏc phương trỡnh mụ phỏng động lực học của robot như sau:
̈ ̇ ̇ ̇ ̇ ∫ ̈ ∫ ̇ (2.9) Cấu trỳc mụ phỏng động lực học của robot thể hiện qua biểu thức (2.9) như hỡnh sau: