Mặc dù các ánh xạ tuyến tính liên tục từng phần liên tục tại biên giữa các hàm kề nhau nhưng nó không tạo được sự trơn nhẵn khi chuyển tiếp qua các mặt. Để có kết quả trơn nhẵn hơn, các mặt phải ít nhất phải sử dụng nội suy C1. Người ta sẽ phù hợp mặt bằng đa thức hai biến bậc cao.
Chủ đề này đã gây được sự chú ý trong lĩnh vực thiết kế hình học nhờ máy tính (Computer-aided geometric design). Người ta đã đưa ra rất nhiều đa thức bậc N, N=2, 3, 4, 5. Trong phần này, sẽ kiểm tra trường hợp phù hợp mặt tam giác bằng các mặt bậc ba (N = 3). Mặt bậc ba f là một đa thức hai biến bậc ba có công thức như sau:
f(x,y) = a1 + a2x + a3y + a4x2 + a5xy + a6y2 + a7x3 + a8x2y + a9xy2 + a10y3.
Mười hệ số này được xác định bằng mười ràng buộc giữa chúng. Ba mối quan hệ xác định từ các toạ độ của ba đỉnh. Sáu quan hệ dựa trên đạo hàm từng phần của các mặt theo từng biến x và y tại ba đỉnh. Sự chuyển tiếp trơn nhẵn của một mặt với mặt lân cận của nó đòi hỏi đạo hàm từng phần của hai mặt có cùng hướng pháp tuyến với cạnh chung. Như vậy lại có thêm ba ràng buộc và tổng số ràng buộc lên tới mười hai. Khi có mười hệ số nhưng có mười hai phương trình thì sẽ có hệ quá xác định.
Giải pháp là sử dụng tam giác Clough-Tocher, nội suy tam giác C1. Nội suy bằng tam giác Clough-Tocher đòi hỏi các vùng tam giác được chia thành ba tam giác con. Phù hợp mặt cho mỗi tam giác này dẫn tới chúng ta có ba mươi tham số chưa biết. Khi có ba mươi ràng buộc thì có hệ ba mươi phương trình và phải giải để tính toán mặt cho mỗi vùng trong tam giác hoá.
Akima đưa ra cách tiếp cận khác đó là sử dụng P và m điểm gần nhất P1, P2,…., Pm để tạo thành vector tích Vij = (P - Pi)(P - Pj), trong đó Pi và Pj là các khả năng kết hợp của các điểm. Sau đó tính vector tổng V của tất cả các vector Vij. Cuối cùng đạo hàm từng phần được tính từ độ dốc của mặt phẳng là pháp tuyến với vector tổng.
Người ta đưa ra thủ tục phân cấp phù hợp với bề mặt đa thức với các điểm dữ liệu trong số các điểm dữ liệu lân cận của mỗi điểm mẫu. Thủ tục phân cấp đa thức dẫn tới nhiều tập các ảnh lọc ở mức thấp. Cuối cùng, tập các ảnh mờ kết hợp qua nội suy nhiều cách giải này để tạo thành bề mặt trơn nhẵn qua các điểm dữ liệu gốc.
2.9. Kết luận về các phép chuyển đổi
Chuyển đổi không gian xác định qua các hàm ánh xạ có liên quan tới toạ độ của hai ảnh: ảnh vào và ảnh sau khi chuyển đổi. Tuỳ thuộc vào các ứng dụng,
các hàm ánh xạ có thể có các công thức khác nhau. Các phép chuyển đổi đơn giản gồm có tuyến tính, chiếu, song tuyến và chuyển đổi đa thức. Các phép chuyển đổi tuyến tính giới hạn trong tập các ánh xạ mặt phẳng. Nó có thể ánh xạ tam giác thành tam giác. Với các biến dạng phức tạp thì không thể dùng phép chuyển đổi tuyến tính mà phải dùng phối cảnh, song tuyến hoặc những phép chuyển đổi phức tạp hơn. Phép chuyển đổi song tuyến sử dụng ánh xạ bốn góc cho các tứ giác không đồng phẳng. Chuyển đổi song tuyến được áp dụng qua hàm liên tục từng đoạn và phải nội suy toạ độ ở các đỉnh. Nó thường dùng trong hàm ánh xạ xuôi khi hình chữ nhật được ánh xạ thành hình bốn cạnh không đồng phẳng. Trong đồ hoạ máy tính, nó cũng được áp dụng trong hàm ánh xạ xuôi cho ánh xạ kết cấu bề mặt.
Các phép chuyển đổi đa thức đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực nắn chỉnh hình học, chẳng hạn như nắn chỉnh ảnh viễn thám. Trong những ứng dụng này chúng ta không đưa ngay ra các hệ số của đa thức sử dụng trong mô hình chuyển đổi. Do đó, người ta dùng phương pháp số để giải hệ các phương trình quá xác định liên quan tới tập các điểm trong ảnh tham chiếu với tập các điểm tương ứng trong ảnh quan sát (ảnh đã biến đổi) để giải ra các hệ số. Trong phần này, đã điểm qua một vài phương pháp như giả nghịch đảo, bình phương cực tiểu và bình phương cực tiểu trọng số với đa thức trực giao.
Một cách tiếp cận liên quan tới phép chuyển đổi đa thức toàn cục gồm các phép chuyển đổi đa thức liên tục từng đoạn. Nó không xác định các hàm U và V qua các hàm toàn cục mà biểu diễn chúng như là tập các hàm cục bộ. Trong phương pháp này, bề mặt nội suy bao gồm lưới các bề mặt cục bộ xây dựng bởi các điểm điều khiển lân cận. Phương pháp này làm việc tốt với biến dạng cục bộ hơn là phương pháp toàn cục mô tả trước đó.
Phần lớn trong phần này đề cập tới việc kết luận các hàm ánh xạ từ tập các điểm điều khiển tương ứng. Với rất nhiều thuật toán như vậy, câu hỏi đặt ra là: thuật toán nào phù hợp nhất với bài toán đưa ra? Câu trả lời là còn phù hợp vào nhiều yếu tố. Nếu phép chuyển đổi đưa ra phù hợp với mô hình chuyển đổi đa thức bậc thấp thì chỉ cần kết luận các hệ số chưa biết của đa thức. Trong trường hợp khác, chúng ta phải xét tới số lượng các điểm điều khiển tương ứng và sự phân bố của chúng.
Một lớp các cách giải quyết khác cho việc kết luận các hàm ánh xạ đi từ các splines toàn cục. Splines xác định qua các hàm cơ bản là một trong các phương pháp nội suy cổ điển nhất. Trong phương pháp này ta phải chọn lựa các hàm cơ bản một cách khéo léo.
Nói chung, nội suy bề mặt đòi hỏi các thông tin mà nó thường rất khó xác định số lượng. Sẽ không có được lời giải nếu không có thông tin hoàn chỉnh về các điểm tương ứng và điều kiện nội suy hàm ánh xạ “trơn nhẵn”.
Mặc dù phần lớn của chương này để cập tới chuyển đổi đa thức nhưng cũng có các phép chuyển đổi không gian khác được áp dụng rộng rãi trong nhận dạng mẫu và trong các ứng dụng y tế. Trong những năm gần đây, người ta rất quan tâm tới phép chuyển đổi log-spiral ( hoặc polar exponential) trong các phép quay và co dãn nhận dạng mẫu bất biến. Phép chuyển đổi này ánh xạ hệ toạ độ Decard C sang hệ toạ độ L (logr, θ) mà centered scale thay đổi và quay quanh C bây giờ sẽ trở thành tịnh tiến riêng biệt theo hướng thẳng đứng và hướng nằm ngang trong L.
Chương 3 –
MỘT SỐ KỸ THUẬT GHÉP ẢNH
Chương này trình bày một số kỹ thuật ghép ảnh như: Kỹ thuật ghép ảnh bằng cách trộn các điểm ảnh của các ảnh ghép, kỹ thuật ghép ảnh dựa vào nắn chỉnh hình dạng và kỹ thuật ghép ảnh theo phương pháp khám (Mosaicing).