Lớp mạng phủ có dạng một đồ thị với G(V,E) với tập đỉnh V tƣơng ứng với các nút mạng, tập cạnh E tƣơng ứng với các kết nối giữa các nút. Ở phần tiếp theo ta sẽ nghiên cứu các dạng tồn tại của đồ thị lớp mạng phủ. Để thuận tiện ta sẽ đồng nhất tên gọi của lớp mạng phủ với tên gọi của dạng đồ thị tƣơng ứng với mạng lớp mạng phủ đó.
2.2.2. Mạng ngẫu nhiên - Random graphs
Đồ thị ngẫu nhiên là đồ thị đƣợc sinh ra bởi một quá trình ngẫu nhiên. Các mô hình đồ thị ngẫu nhiên khác nhau tạo ra những phân bố ngẫu nhiên khác nhau trên tập các đồ thị. Mô hình phổ biến nhất là mô hình Erdös và Rényi (ER) nghiên cứu và đƣa ra trong các bài báo vào khoảng năm 1959 [12]. Mô hình này đƣợc sử dụng rộng rãi trong toán học cũng nhƣ tin học.
2.2.2.1. Định Nghĩa
Theo mô hình ER, đồ thị ngẫu nhiên đƣợc xây dựng theo cách: ký hiệu Gn,p Với n là số đỉnh đồ thị, p là xác suất tồn tại cạnh giữa hai nút bất kỳ của đồ thị. Đồ thị đƣợc xây dựng với tập đỉnh n, và tập cạnh đƣợc xây dựng trên xác suất p nhƣ trên là đồ thị ngẫu nhiên. Dễ thấy số cạnh của đồ thị: m = p* n(n-1)/2. Khi p tiến đến 1 thì tấc cả các đỉnh đƣợc nối với nhau, p tiến đến 0 thì tất cả các đỉnh đồ thị là độc lập không liên kết với nhau.
2.2.2.2. Tính chất
a) Tính liên thông
Các lý thuyết về mạng ngẫu nhiên đã chỉ ra rằng nếu p đủ lớn: p~(lnN)/N, thì xác suất để đồ thị là đồ thị liên thông tiến đến 1. Với tính chất trên ta thấy rằng, nếu lớp mạng phủ xây dựng là đồ thị ngẫu nhiên với p lớn, thì tất cả các nút mạng là liên thông với nhau hay nói cách khác là tất cả các nút mạng kết nối với nhau.