Dạng tổng quát của phương trình truyền nhiệt và các giả thuyết tương ứng

CHƯƠNG 1 : NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN

2.1. Phương trình truyền nhiệt trong mặt đường BTXM

2.1.1. Dạng tổng quát của phương trình truyền nhiệt và các giả thuyết tương ứng

ứng a. Dạng tổng quát

Nhiều nghiên cứu khác nhau đã đưa ra các dạng phương trình truyền nhiệt ứng với từng điều kiện biên cụ thể khác nhau, nhưng hiện đều cĩ điểm chung là sự phân bố nhiệt độ theo chiều sâu của tấm BTXM khơng tuân theo quy luật tuyến tính

[71][40][57] (hình 2.1).

Hình 2.1. Kết quả nghiên cứu về quy luật phân bố nhiệt độ theo chiều sâu tấm BTXM tại Mĩ [71][75][57] (h.S: giờ sáng, h.C: giờ chiều).

Tồn tại các thời điểm khác nhau mà nhiệt độ bề mặt tấm hoặc cao hơn, hoặc thấp hơn nhiệt độ ở đáy tấm BTXM. Qua đĩ, thể hiện sự truyền nhiệt khơng phải là một chiều.

Để thể hiện quy luật phân bố nhiệt độ trong tấm BTXM, phương trình tổng quát trình cĩ dạng tổng quát theo Fourier hiện vẫn đang dược sử dụng tại Việt Nam và trên thế giới (Mĩ, Brazin, Trung Quốc, Nhật Bản) [1], [26], [40], [41], [82]: ¶t = a ¶2 t (2.1) ¶T ¶z2

Trong đĩ: t là nhiệt độ; T là thời gian; z là toạ độ theo phương thẳng đứng; a là hệ số truyền dẫn nhiệt độ của vật liệu (m2/h).

b. Các giả thuyết cho phương trình truyền nhiệt

Theo [16][39][40], cĩ một số giả thiết sau đây đã được đưa ra khi nghiên cứu về phân bố nhiệt độ trong tấm BTXM mặt đường ơ tơ và sân bay:

- Nhiệt độ trên bề mặt tấm thay đổi theo quy luật điều hịa; - Nhiệt được truyền một chiều;

- Mơi trường truyền nhiệt là bán khơng gian vơ hạn (theo lời giải của Goreski); - Giả thiết nhiệt độ suy giảm tuyến tính theo chiều sâu tấm bê tơng: Tz=A.htb với A là hệ số, lấy trung bình theo từng địa phương.

Thực tế, chiều dày kết cấu áo đường là hữu hạn. Trong phạm vi nghiên cứu, chúng ta chỉ quan tâm tới nhiệt độ trong tấm BTXM. Do vậy, nhiều tác giả như V.M. Xidenko, V.L. Zakharov, K.F. Sumtsik, E.S. Barber… đã xem xét và chấp nhận giả thiết về truyền nhiệt 1 chiều trong tấm bán khơng gian đồng nhất [26][27], đi kèm với giả thiết nhiệt độ bề mặt tấm BTXM biến động theo dạng giao động điều hịa.

c. Lựa chọn dạng phương trình tổng quát

Với tính phổ biến, thực tiễn và khoa học vừa nêu, dạng phương trình tổng quát theo Fourier này được lựa chọn trong phạm vi nghiên cứu của luận án về phân bố nhiệt độ trong tấm BTXM mặt đường sân bay, kèm theo các giả thiết về mơi trường bán khơng gian đồng nhất và sự giao động điều hịa của nhiệt độ bề mặt.

2.1.2. Một số phương pháp xác định phân bố nhiệt trong tấm BTXM

Xuất phát từ phương trình tổng quát theo Fourier ở trên, hiện cĩ các phương pháp, phương trình phổ biến để xác định phân bố nhiệt độ trong tấm BTXM như sau [40][41]:

a. Phương pháp giải bài tốn phân bố nhiệt độ theo chiều sâu

Theo phương pháp này, nhiệt độ bề mặt của hệ được xem là giao động điều hồ theo quy luật hàm cos, tức là tuân theo điều kiện biên [1][25]:

Trong đĩ: ttb.mặt là nhiệt độ trung bình ngày đêm ở bề mặt; tn.max là biên độ dao

động lớn nhất trong ngày tại bề mặt;w = 2

Tp (với T=24h) là tần số dao động nhiệt độ

bề mặt.

Khi giải phương trình (2.1) với điều kiện biên (2.2) nhiệt độ tại độ sâu z(m), tại thời điểm T được xác định theo cơng thức (1.8) [25] [24].

b. Phương pháp giải bài tốn phân bố nhiệt độ theo chiều sâu của L. Goreski [40][41]

Phương pháp này khá tương đồng với nội dung vừa trình bày ở mục trên. Sự khác nhau đến ở chi tiết của các phương trình và một số hệ số, giá trị.

Theo tác giả L. Goreski nhiệt độ khơng khí tại thời điểm bất kỳ:

Tkk .ng =Ttb +Acos(wt ) (2.3) Trong đĩ: w là tần số vịng dao động nhiệt, w = 2.π/24; Ttb là nhiệt độ trung bình bằng một nửa tổng nhiệt độ cao nhất và thấp nhất trong ngày; A là biên độ dao động nhiệt của khơng khí bằng một nửa hiệu nhiệt độ cao nhất và thấp nhất trong vịng ngày đêm; t là biến thời gian (được tính bằng giờ), t = t -14; t là thời điểm tính tốn; 14 là giờ khi nhiệt độ khơng khí đạt giá trị lớn nhất.

Tương tự nhiệt độ trung bình tháng của khơng khí được tính như sau:

Tkk.ng =Ttbth +At cos(wtT ) (2.4) Trong đĩ Ttbth, At tương tự như cơng thức (2.3) song áp dụng cho chu kỳ năm, với T = 12 tháng; tần số vịng giao động nhiệt, w = 2.π/12; tT là biến thời gian (tháng), tT = tT – 7; tT là tháng tính tốn; 7 là tháng nĩng nhất trong năm.

Bề mặt trái đất và trong đĩ cĩ bề mặt mặt đường bê tơng xi măng được đốt nĩng bởi do hấp thụ bức xạ mặt trời:

T

bx = r.I.kb (2.5)

a dn

T bm = T kk ,ng + T bx = T kk ,ng + r.I.kb =Ttbbm +Ao cos(wt ) (2.6) a dn

Trong đĩ: Tbm là nhiệt độ bề mặt đường; Tbx là nhiệt độ tương đương được đốt nĩng do bức xạ mặt trời; r là hệ số hấp thụ nhiệt, phụ thuộc màu sắc và trạng thái bề mặt đường; I là cường độ tia bức xạ, phụ thuộc vĩ độ Bắc, tháng và giờ trong ngày; kb là hệ số kể đến việc bức xạ mặt trời bị yếu đi do bầu khí quyển, trên các sân bay và đường ơ tơ, cĩ thể lấy bằng 0.5 – 0.65; and là hệ số dẫn nhiệt, cĩ thể lấy trung bình 20Kcal/(m2.h.oC); Ttbbm là nhiệt độ trung bình bề mặt tấm bê tơng, bằng nửa tổng nhiệt độ cao nhất và thấp nhất trong ngày; Ao là biên độ nhiệt, bằng nửa hiệu nhiệt độ bề mặt nĩng nhất và lạnh nhất trong ngày.

Giá trị hệ số nhiệt độ r đối với một số bề mặt khác nhau cĩ thể lấy như sau [22][24]:

Tầng phủ BTXM khơ ráo, cũ: r = 0.65

Tầng phủ BTXM khơ ráo, mới: r = 0.76

Tầng phủ BTXM ướt, cũ: r = 0.73

Tầng phủ BT asphal màu xám: r = 0.82

Tầng phủ BT asphal màu xám, tối: r = 0.89

Bề mặt đất màu xám, tối: r = 0.63

Số liệu về bức xạ mặt trời (I, kcal/m2.h) và nhiệt độ trung bình tháng nĩng nhất của khơng khí và tháng lạnh nhất trong năm của một số địa phương ở Việt Nam được nêu trong (TCVN 4088-85).

Cũng từ giả thiết nhiệt độ bề mặt tấm bê tơng cũng theo quy luật hàm điều hịa,

E. Leviski nhận được hàm thay đfổi nhiệt độ bề mặt tấm như sau:

Ttb =Ttbbm +Ao cos(wt -jo ) (2.7) Với jo là pha ban đầu, biểu thị độ lệch của nhiệt độ ở thời điểm tính tốn so với vị trí cân bằng jo =(2π.to/To); to là sự trượt pha thời gian từ khi nhiệt độ bề mặt

đạt giá trị lớn nhất về thời điểm đầu khi trong tấm chưa xuất hiện Gradien nhiệt; To=24 giờ; t là thời điểm tính tốn (giờ).

Số liệu về bức xạ mặt trời và nhiệt độ trung bình tháng nĩng nhất, lạnh nhất của khơng khí trong năm tại một số địa phương ở Việt Nam (QCVN 2:2009) được đưa ra trong bảng 2.1.

Bảng 2.1. Số liệu về bức xạ mặt trời và nhiệt độ khơng khí [39][40][11] Nhiệt độ trung Nhiệt độ trung Imax, Địa phương bình tháng nĩng bình tháng lạnh kcal/m2.h nhất, oC nhất,oC Lai Châu 32.2 13.2 789 Sa Pa 23.2 6.7 855 Cao Bằng 32.0 10.5 810 Hà Nội 32.8 13.8 798 Vinh 33.9 15.5 810 Đà Nẵng 34.2 18.8 - Nha Trang 33.0 20.7 - Tp. Hồ Chí Minh 34.6 21.0 -

Khi đã biết quy luật thay đổi nhiệt độ trên bề mặt tấm (theo 2.6 hoặc 2.7), sử dụng lời giải của bài tốn truyền nhiệt trong bán khơng gia vơ hạn theo quy luật Fourie để tính trường nhiệt độ theo chiều sâu tấm (2.1).

Với 0 ≤ z ≤ ∞, điều kiện biên: At,z=0 = Aocos(wt); a là hệ số truyền nhiệt độ của bê tơng.

Giải phương trình trên nhận được sự thay đổi biên độ nhiệt độ so với nhiệt độ trung bình theo chiêu sâu tấm vào thời điểm bất kỳ trong ngày tại độ sâu z được biểu thị bằng quan hệ sau:

-z w At,z =Aoe 2a ỉ w ư ç ÷ (2.8) cosçwt -z ÷ è 2a ø

Trong đĩ: đại lượnge-z 2wa là hệ số thể hiện sự giảm biên độ theo chiều sâu z; đại

ỉ ư

lượng cosçwt -z w ÷thể hiện sự thay đổi biên độ theo thời gian với sự trượt pha

ç ÷

è 2a ø

z w

2a

Trường nhiệt độ theo chiều sâu của tấm BT khi xét thời điểm trong tấm BT chưa xuất hiện gradien nhiệt làm thời điểm tính tốn với quy luật biến thiên nhiệt độ bề mặt, thí dụ theo cơng thức (2.6) cĩ dạng: =bm - z + -zw Tt,z Ttb (1 b ) Aoe2a o ỉ w ư ç ÷ (2.9) cosçwt -z 2a -jo÷ è ø

Trong đĩ: Ao là biên độ dao động nhiệt, AO = T max -Tmin

;w = 2p

; jo là sự trượt

2 24

pha tần số nhiệt độ từ nhiệt độ Tmax về T tính tốn thời điểm đầu khi trong tấm bắt đầu xuất hiện gradien nhiệt độ (khi Tmax vào lúc 14 giờ, thời điểm đầu lấy vào lúc 7h sáng, khi đĩ ta cĩ to = 7, jo = 2

p

t

o = 7p

; t là biến thời gian (giờ); tham số bo tính đến To 12

sự thay đổi nhiệt độ trung bình theo chiều sâu tấm bê tơng sẽ được tính từ điều kiện T0,0=T0,z: Tbm +A cos(-j o) =T bm (1- z ) +A e-z 2wa tb o tb o b o ỉ w ư ç ÷ (2.10) cosçwt -z 2a -j o÷ è ø Từ đĩ, cĩ thể suy ra liên hệ: bo = hTbm tb é w w ù (2.11)

Aoêexp(-h ) cos(-h - jo ) - cos(jo )ú

2a 2a

ë û

Trong cơng thức (2.10) và (2.11): Ao là biên độ nhiệt độ trên bề mặt tấm so với giá trị trung bình, oC; z là độ sâu xem xét, m; a là hệ số truyền nhiệt độ trong bê

Khi đĩ, gradien nhiệt lớn nhất, cĩ nghĩa là hiệu nhiệt độ lớp mặt và lớp đáy mặt đường lúc 14 giờ sẽ là: DT = T 14,0 - T 14,h (2.12) Với h là chiều dày tấm bê tơng;

Hình 2.2 trình bày sự trượt pha nhiệt độ theo các chiều sâu trong tấm bê tơng (nhiệt độ lớn nhất ở các độ sâu khác nhau khơng cùng một thời điểm). Thí dụ được tính cho tấm BT sân bay quốc tế Nội Bài cĩ chiều dày 40cm, nhiệt độ bề mặt lúc nĩng nhất là 55oC, lúc thấp nhất là 27 oC.

Hình 2.2. Sự thay đổi nhiệt độ trong tấm BT ở các độ sâu khác nhau

(các số trên đường cong chỉ độ sâu cm)

c. Tính tốn trường nhiệt độ trong tấm theo phương pháp phân tích điều hịa

Khi đã biết số liệu nhiệt độ bề mặt tấm vào các thời điểm khác nhau trong ngày,

cĩ thể sử dụng phương pháp phân tích điều hịa để xác định được quy luật biến thiên của chuỗi số liệu nhiệt độ này.

Dưới đây trình bày phương pháp phân tích điều hịa xác định hàm phân bố nhiệt độ theo thời gian, trong đĩ các hệ số trong dãy Fourier được xác định bằng các cơng thức Bessel:

¥

Tt,z =Ao + åAn sin(nx + jn ) (2.13)

n =1

¥

Tt,z =ao + å(an cos nx +bn cos nx) =ao +a1 cos x +a2 cos 2x +a3 cos3x +

n=1

+a4 cos4x +a5 cos5x + +a6 cos6x +b1 sin x +b2 sin 2x +b3 sin3x + (2.14)

2p +b4 sin 4x +b5 sin 5x

Với x=wt = t ; To là chu kỳ thời gian lấy bằng 24 giờ.

T o

Các đại lượng ai, bi được xác định theo cơng thức Bessel tùy thuộc nhiệt độ thực tế tại các thời điểm khác nhau trong ngày trên bề mặt tấm BT (số liệu cách đều nhau sau mỗi 1 hoặc 2 giờ).

d. Phương pháp sai phân hữu hạn

Theo phương pháp này, nhiệt độ tại chiều sâu bất kỳ trong tấm và ở thời điểm bất kỳ được xác định theo cơng thức: T t , z = T 7,0 ± D t , z (2.15)

Trong đĩ: T7,0 là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu trong ngày khi trong tấm BT chưa xuất hiện gradien nhiệt độ, lấy theo số liệu thực nghiệm của E.Leviski là T7,0 bằng nhiệt độ bề mặt tấm lúc 7 giờ sáng. Dt,z được xác định từ việc giải phương trình

vi phân (1.15) bằng phương pháp sai phân hữu hạn với các điều kiện biên tương ứng: nhiệt độ được tính tốn cho 1 chu kỳ ngày đêm là 24 giờ (T0,z = T24,z), nhiệt độ bề mặt tấm vào các thời điểm trong ngày lấy theo số liệu khảo sát hiện trường, nhiệt độ đáy áo đường lấy theo nhiệt độ bề mặt đất.

Trên hình 2.3 trình bày sơ đồ nút lưới sai phân, theo trục hồnh là trục thời gian chia theo thời gian một ngày 24 giờ; theo trục tung chia lưới theo chiều sâu tấm BT.

Ở mỗi điểm trên lưới, sẽ lập được phương trình sai phân về chênh lệch nhiệt độ. Ví dụ cho điểm 1,1 (hình 2.3) như sau:

DT - DT =aDT1,0 - 2DT1,1 + DT1,2 (2.16)

t+Dt t-Dt

2Dt 2z2

Trong đĩ DTt+Dt , DTt-Dt tương ứng là nhiệt độ tại điểm 1,1 vào thời điểm t+Dt và t- Dt; Dt là bước thời gian; Dz là bước lưới chi theo chiều dày tấm BT; DT1,0, DT1,1, DT1,2 tương ứng là nhiệt độ vào thời điểm t tại các điểm 1,0, 1,1 và 1,2.

Sau khi tính được các giá trị Dt,z , thay vào cơng thức (2.15) sẽ tính được nhiệt độ tại độ sâu z bất kỳ và vào thời điểm t bất kỳ trong ngày.

Kết quả phân tích theo phương pháp này cho phép xác định được trường nhiệt độ phân bố theo chiều sâu tấm BT theo các giờ trong ngày, từ đĩ lập được biểu đồ như ví dụ trong hình 2.4.

Hình 2.4. Thay đổi nhiệt ngày đêm theo chiều sâu lớp bê tơng

2.1.3. Lựa chọn phương pháp xác định biến thiên nhiệt độ trong tấm BTXM và các tham số cần hiệu chỉnh

a. Lựa chọn phương pháp

Phương pháp giải bài tốn phân bố nhiệt theo chiều sâu (trình bày ở tiểu mục 2.1.1a ở trên) được nghiên cứu sinh lựa chọn vì cĩ các ưu điểm sau:

- Phương pháp cĩ tính phổ biến cao tại Việt Nam: Phương pháp này đã và đang được các nhà khoa học trong nước tại Đại học Xây dựng Hà Nội, Đại học Giao thơng Vận tải, Học viện Kỹ thuật Quân sự nghiên cứu, phát triển (như trình bày ở mục 1.4.1.1);

- Phương pháp đã được kiểm nghiệm qua một số dữ liệu đo đạc thực tế: Các nghiên cứu trong nước [21][22][23][39][40][42] đã cĩ đánh giá sự đúng đắn và phù hợp của phương pháp này đối với điều kiện Việt Nam thơng qua một số dữ liệu đo đạc thực tế. Do vậy, phương pháp cĩ sự tin cậy và phù hợp cao cho mục đích nghiên cứu của luận án;

- Các số liệu để hiệu chỉnh và áp dụng phương trình chi tiết cĩ thể đo đạc trực tiếp, đơn giản hơn các phương pháp cịn lại: Cĩ thể kết hợp đo đạc nhiệt độ theo chiều sâu của tấm với một số tham số đã được chuẩn hĩa (xin xem chi tiết trong chương 3) để hiệu chỉnh được các tham số của phương trình truyền nhiệt, cho phép áp dụng ở từng điều kiện cụ thể.

b. Các thơng số của phương trình cần phải hiệu chỉnh

Theo phương pháp đã lựa chọn, để tiện theo dõi, phương trình truyền nhiệt được nhắc lại như sau:

ỉ w ư ỉ w ư

ç-z. ÷ ç ÷ (1.8)

t(z,T ) = ttb.mat + K.z + tn.max .expç ÷.cosçwT - z. ÷

è 2a ø è 2a ø

Để cĩ thể áp dụng được phương trình này vào xác định nhiệt độ cụ thể trong chiều sâu tấm BTXM ứng với nhiệt độ bề mặt cho trước, cần phải xác định được các thơng số sau:

- Điều kiện biên của phương trình

Phương pháp xác định các thơng số này dựa vào một số nội dung lý thuyết cơ bản dưới đây và số liệu khảo sát thực tế (xin xem ở chương 3).