Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu đề xuất các đặc trưng điện não của bệnh
nhân tâm thần phân liệt gồm các bước được thể hiện qua sơ đồ khối hình 3-3. Tín
hiệu điện não của các đối tượng khỏe mạnh và bệnh nhân sau khi tiền xử lý loại bỏ nhiễu sẽ được tính tốn các đặc trưng để xây dựng bộ đặc trưng cho bộ phân loại dựa trên machine learning. Các đặc trưng cho kết quả độ chính xác phân loại cao được lựa chọn để xây dựng bộ đặc trưng tốt nhất.
Hình 3. 3.Sơ đồ khối các bước lựa chọn đặc trưng cho hệ thống phát hiện bệnh tâm thần phân liệt
Các nội dung dưới đây liên quan đến cách thức tính tốn và ý nghĩa các đặc trưng điện não là kết quả nghiên cứu của nhĩm nghiên cứu EEG & Rehabilitation Lab, đã được trích dẫn trong đề tài “Phát hiện chứng tâm thần phân liệt dựa trên tín hiệu điện não sử dụng Support Vector Machine”.
3.1 Tiền xử lý tín hiệu điện não
Tín hiệu điện não cần được tiền xử lý trước khi tiến hành trích chọn đặc trưng và đưa vào mơ hình phân loại để dự đốn tín hiệu điện não của bệnh nhân tâm thần
24
phân liệt. Việc tiền xử lý nhằm tách tín hiệu cĩ ích (EEG) ra khỏi các tín hiệu gây
nhiễu khác (nhiễu trắng, tín hiệu điện tim, tín hiệu điện mắt, tín hiệu điện cơ, …). Việc tách các tín hiệu này khơng thể sử dụng các bộ lọc số, do các tín hiệu trên cĩ phổ tần trùng nhau. Vì thế cần sử dụng các phương pháp thống kê nhằm tách các nguồn tín hiệu ban đầu ra khỏi nhau.
Khi tín hiệu quan sát được là tổng các nguồn tín hiệu ở các khoảng tần số khác nhau, bằng việc sử dụng các bộ lọc số ta cĩ thể tách các nguồn ban đầu riêng biệt. Tuy nhiên, với các tín hiệu là tổng hợp của nhiều nguồn cĩ phổ tần trùng nhau, việc tách các nguồn tín hiệu ban đầu gặp nhiều khĩ khăn. Khi đĩ phân tách các nguồn tín hiệu dựa trên phương pháp thống kê như phân tích thành phần độc lập cho thấy kết quả phân tách đạt hiệu quả.
Tín hiệu điện não thu được cĩ đặc điểm làphổ tần trùng với một số tín hiệu
nội sinh khác như tín hiệu điện mắt, tín hiệu điện tim, tín hiệu điện cơ. Vì thế, khơng thể áp dụng các bộ lọc số để loại bỏ các tín hiệu gây nhiễu. Việc áp dụng
phương pháp phân tích thành phần độc lập để loại bỏ các tínhiệu nhiễu trên là cần
thiết.
Hình 3. 4.Phổ tần các tín hiệu y sinh [45]
ICA là thuật tốn giúp phân tách tín hiệu đa biến (multivariate signal) thành
các thành phần con dựa trên giả sử độc lập thống kê lẫn nhau của các nguồn tín
hiệu non-Gauss. Phân tích thành phần độc lập (ICA) của một vectơ ngẫu nhiên là
25 Phân tích thành phần độc lập được sử dụng cho mục đích đánh giá các nguồn
tín hiệu ban đầu chỉ thơng qua các tín hiệu thu được mà khơng biết đặc tính hàm
truyền đạt của hệ thống. Mơ hình tốn học của bài tốn phân tách thành phần độc lập được trình bày trong nội dung dưới đây.
Giả sử ta quan sát n tổ hợp tuyến tính 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, …, 𝑥𝑥𝑛𝑛của n thành phần độc 𝑠𝑠1,
𝑠𝑠2, …, 𝑠𝑠𝑛𝑛, chẳng hạn như các tín hiệu thu được từ micro trong một hội thảo. Bỏ tham số thời gian ta cĩ:
𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖1𝑠𝑠1 + 𝑎𝑎𝑖𝑖2𝑠𝑠2 + 𝑎𝑎𝑖𝑖3𝑠𝑠3+ … +𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝑠𝑠𝑛𝑛
Với 𝑥𝑥𝑖𝑖, 𝑠𝑠1, 𝑠𝑠2, … đều là hàm của tham số thời gian t và𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖, i, j = 1, …, n là các
hệ số thực. Định nghĩa x = (𝑥𝑥1,𝑥𝑥2, … ,𝑥𝑥𝑛𝑛)𝑇𝑇 là véc tơ ngẫu nhiên chứa các phần tử
𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, …, 𝑥𝑥𝑛𝑛 (các tín hiệu thu được/ tín hiệu quan sát được) và s =
(𝑠𝑠1,𝑠𝑠2, … ,𝑠𝑠𝑛𝑛)𝑇𝑇là véc tơ ngẫu nhiên với các phần tử 𝑠𝑠1, 𝑠𝑠2, …, 𝑠𝑠𝑛𝑛(được gọi là tín
hiệu nguồn). Ma trận A gồm các phần tử 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 được gọi là ma trận trộn, đặc trưng
cho đặc tính truyền đạt của kênh truyền. Tất cả các vectơ đều được viết dưới dạng vectơ cột. Ta cĩ mơ hình trộn:
x=As
Mơ hình trên được gọi là mơ hình ICA. Mơ hình ICA là một mơ hình sinh (generative model) mơ tả quá trình dữ liệu quan sát được tạo ra bởi một quá trình
tổ hợp các phần tử độc lập 𝑠𝑠𝑖𝑖. Chúng ta chỉ quan sát được véc tơ ngẫu nhiên x,cần
phải ước lượng cả ma trận trộn Avà các thành phần độc lập sbằng việc phân tích
các vectơ ngẫu nhiên x.
Mơ hình ICA giải bài tốn x=Asbằng phương pháp thống kê thơng qua việc
ước lượng vectơ y = Wx (đặt W = 𝐴𝐴−1), W gọi là ma trận tách, y gọi là tín hiệu
khơi phục. Phương pháp ICA dựa trên giả thiết các nguồn tín hiệu gốc là độc lập thống kê với nhau.
Để mơ hình ICA bớt phức tạp và cĩ thể tính được, cần chấp nhận một số giả sử và giới hạn sau:
- Các nguồn tín hiệu là độc lập thống kê
- Các thành phần độc lập là non-Gaussian
- Để đơn giản, ta giả sử ma trận trộn là ma trận vuơng (số nguồn tín hiệu độc
lập bằng số tín hiệu quan sát được)
Để đo lường tính độc lập giữa các tín hiệu khơi phục 𝑦𝑦𝑖𝑖 cĩ thể sử dụng các
phương pháp khác nhau: sử dụng tính non-Gauss, sử dụng thơng tin hỗ tương
(mutual information), sử dụng tính phi tương quan phi tuyến (nonlinear decorrelation).
26 Trước khi áp dụng thuật tốn ICA cần thực hiện một số bước tiền xử lý:
- Quy tâm (Centering):
Tín hiệu thực tế thu được luơn cĩ thành phần nhiễu n, đa số là nhiễu trắng cĩ phân bố Gauss:
x=∑𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖 + n
Quy tâm là một cách loại bỏ nhiễu trắng cũng như giúp bài tốn trở nên đơn
giản hơn. Quy tâm được thực hiện bằng cách lấy tín hiệu thu được trừđi trị trung
bình của vector dữ liệu E{𝑥𝑥}:
𝑥𝑥′= x - E{𝑥𝑥}
Tín hiệu 𝑥𝑥′ thu được đã quan tâm, E{x} là trị trung bình của vectơ dữ liệu x.
Vectơ xđược gọi là đã quy tâm khi cĩ trị trung bình bằng khơng.
- Trắng hĩa (Whitening)
Trong thống kê, Whitening transformation là phép biến đổi tuyến tính nhằm biến đổi một vector ngẫu nhiên với ma trận hiệp phương sai biết trước thành một tập biến ngẫu nhiên mới cĩ ma trận hiệp phương sai là ma trận đơn vị. Nĩi cách khác, trắng hĩa biến đổi một tập biến ngẫu nhiên tương quan thành một tập biến ngẫu nhiên mới bất tương quan và cĩ phương sai là một.
ICA cĩ thể được thực hiện dễ dàng hơn khi tín hiệu quan sát được trắng hĩa.
Một vector ngẫu nhiên z = (𝑧𝑧1,𝑧𝑧2, … ,𝑧𝑧𝑛𝑛) gọi là được trắng hĩa nếu các vectơ phần
tử 𝑧𝑧𝑖𝑖 khơng tương quan nhau và cĩ phương sai đơn vị:
E{𝑧𝑧𝑧𝑧𝑇𝑇} = I
Quá trình trắng hĩa là phép biến đổi tuyến tính:
z = V𝑥𝑥′
Trong đĩ, 𝑥𝑥′ là dữ liệu cần trắng hĩa, V là ma trận trắng hĩa, z là dữ liệu đã
trắng hĩa. Sau khi quy tâm, 𝑥𝑥′cĩ trị trung bình bằng 0.
Gọi D là ma trận đường chéo của các trị riêng, E là ma trận trực giao các vectơ riêng, V là ma trận làm trắng được tính thơng qua triển khai trị riêng EVD (Eigenvalue Decomposition) của ma trận hiệp phương sai:
D = diag (𝑑𝑑1, 𝑑𝑑2, …, 𝑑𝑑𝑛𝑛)
𝑅𝑅𝑥𝑥′𝑥𝑥′ = E{𝑥𝑥′(𝑥𝑥′)𝑇𝑇} = ED𝐸𝐸𝑇𝑇
V = 𝑅𝑅𝑥𝑥′𝑥𝑥′−
1
2𝐸𝐸𝑇𝑇 = 𝐷𝐷−12𝐸𝐸𝑇𝑇
Đặt 𝐴𝐴̃=VA, suy ra z = Vx = VAs = 𝐴𝐴̃s. Cĩ:
E{𝑧𝑧𝑧𝑧𝑇𝑇} = I
27
⬄ E{𝐴𝐴̃s𝑠𝑠𝑇𝑇𝐴𝐴̃𝑇𝑇} = I
⬄𝐴𝐴̃E{ s𝑠𝑠𝑇𝑇 }𝐴𝐴̃𝑇𝑇 = I
⬄𝐴𝐴̃𝐴𝐴̃𝑇𝑇 = I
Như vậy, 𝐴𝐴̃là một ma trận trực giao.
Trắng hĩa khơng thể là lời giải cho bài tốn ICA mặc dù độ trắng (hay độ bất
tương quan) liên quan đến tính độc lập. Các biến ngẫu nhiên độc lập thì bất tương
quan nhưng điều ngược lại khơng đúng. Tuy vậy, trắng hĩa giúp làm giảm số lượng
tham số cần phải ước lượng. Thay vì phải ước lượngma trận gốc A gồm 𝑛𝑛2 tham
số, ta chỉ cầnước lượng 𝑛𝑛(𝑛𝑛−12 ) tham số của ma trận 𝐴𝐴̃ (ma trận trực giao chỉ cĩ
𝑛𝑛(𝑛𝑛−1)
2 bậc tự do).
3.2 Các đặc trưng điện não
3.2.1Đặc trưng Entropy hốn vị
3.2.1.1. Entropy
Entropy (Shannon entropy) mơ tả mức độ hỗn loạn trong một tín hiệu của một sự kiện ngẫu nhiên. Nĩi cách khác, entropy cũng chỉ ra cĩ bao nhiêu thơng tin trong tín hiệu, với thơng tin là các phần khơng hỗn loạn ngẫu nhiên của tín hiệu.
Giả sử biến ngẫu nhiên X cĩ một tập các giá trị mẫu x(i), khi đĩ, Shannon entropy của biến ngẫu nhiên trên được tính theo cơng thức:
H= -∑𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑝𝑝𝑖𝑖.𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑝𝑝𝑖𝑖) (1) Trong đĩ:
n là tổng số các giá trị cĩ thể nhận của tín hiệu.
i là giá trị rời rạc thứ i
p(i) là xác suất xuất hiện của giá trị i
Entropy biểu thị cho sự hỗn độn, độ bất định, độ phức tạp của thơng tin. Thơng tin càng phức tạp càng entropy càng cao. Entropy nhạy với thay đổi xác
suất nhỏ, khihai phân bố càng giống nhau thì entropy càng giống nhau và ngược
lại.
3.2.1.2. Entropy hốn vị
Giả sử biến ngẫu nhiên S cĩ một tập các giá trị mẫu s(t), để đơn giản giả sử các giá trị s(t) cĩ phân phối liên tục để các giá trị bằng nhau 𝑠𝑠𝑡𝑡= 𝑠𝑠𝑡𝑡∗ (t ≠ 𝑡𝑡∗) là rất hiếm. Việc tính tốn Entropy hốn vị của chuỗi bắt đầu bằng việc lựa chọn số chiều D và độ trễ τ, thơng thường D và τ rất nhỏ so với T (số mẫu). Theo Amigĩ và cộng sự (2007), với chuỗi dữ liệu bình thường, D thường nhận các giá trị 3,4,5,6,7. Với
28
số chiều là D, cĩ tất cả D! hốn vị cĩ thể cĩ. Các hốn vị này được ký hiệu là 𝜋𝜋𝑖𝑖,
i= 1, 2, ..., D! [48]
Tại vị trí m bất kỳ của chuỗi S với 1≤ 𝑚𝑚 ≤ 𝑇𝑇 −(𝐷𝐷 −1)𝜏𝜏, chọn ra một bộ gồm m phần tử với khoảng cách giữa các phần tử là τ:
𝑆𝑆𝑚𝑚= �𝑠𝑠𝑚𝑚,𝑠𝑠𝑚𝑚+1, . . . ,𝑠𝑠𝑚𝑚+(𝐷𝐷−1)𝜏𝜏�
Tùy theo trật tự sắp xếp của các phần tử trong 𝑆𝑆𝑚𝑚để xác định 𝑆𝑆𝑚𝑚sẽ là hốn vị
nào trong chuỗi hốn vị 𝜋𝜋𝑖𝑖, i = 1, 2, …, D! Sau khi duyệt từđầu chuỗi đến cuối
chuỗi, tương ứng với việc m nhận giá trị lần lượt từ1 đến T–(D–1)𝜏𝜏, từng hốn vị
𝜋𝜋𝑖𝑖, i = 1, 2, …, D! sẽ được đếm số lần xuất hiện.
Xác suất xuất hiện hốn vị 𝜋𝜋𝑖𝑖, i = 1, 2, …, D! ký hiệu p(𝜋𝜋𝑖𝑖) là tỷ lệ số lần
hốn vị 𝜋𝜋𝑖𝑖xuất hiện trên tổng số lần xuất hiện của các hốn vị, chính là T – D +1.
Khi đĩ, entropy hốn vị được tính như sau:
𝑃𝑃𝐸𝐸𝐷𝐷= -∑𝐷𝐷!
𝑖𝑖=1 𝑝𝑝(𝜋𝜋𝑖𝑖)𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2𝑝𝑝(𝜋𝜋𝑖𝑖)
Entropy hốn vị chuẩn hĩa được bằng cách chia entropy hốn vị vừa tính cho giá trị lớn nhất, 𝑃𝑃𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 =𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2𝐷𝐷!. Khi đĩ, Entropy chuẩn hĩa là:
𝑃𝑃𝐸𝐸𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚= 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑙𝑙𝑃𝑃𝑃𝑃2𝐷𝐷!
Sau khi chuẩn hĩa, 0< 𝑃𝑃𝐸𝐸𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚 <1. Giá trị nhỏ nhất 𝑃𝑃𝐸𝐸𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚= 0 đạt được khi
chuỗi S(t) cĩ các phần tử biến động theochiều tăng dần đều hoặc giảm dần đều, vì
khi đĩ chỉ cĩ một hốn vị duy nhất cĩ thể xảy ra. Giá trị lớn nhất 𝑃𝑃𝐸𝐸𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚 = 1 xảy
ra khi tất cả các hốn vị cĩ xác suất xảy ra bằng nhau. Điều này này cĩ thể xảy ra khi chuỗi S(t) là chuỗi ngẫu nhiên thuần túy, mọi hình mẫu đều cĩ cơ hội xuất hiện như nhau.
Xét ví dụ minh họa được Bandt and Pompe (2002) đưa ra như sau:
S(t) = {4, 7, 9, 10, 6, 11, 3}
- Bước đầu tiên là phân vùng chuỗi một chiều thành ma trận các vectơ cột
29
Bảng 3.1.Các tham số của entropy hốn vị
Tham số 𝜏𝜏 D
Mơ tả Độ trễ (embedding time
delay): các khoảng giữa các phần tử của mỗi vectơ cột mới
Số chiều (embedding dimension): độ dài của mỗi vectơ cột mới
Phạm vi hợp lệ Số nguyên dương Mọi số lớn hơn 1
Giá trị khuyến nghị 1 3< D< 7∗
(*) Đối với các mục đích thực tế, Band và Pompe (2002) đề xuất 3≤ D ≤7 với τ = 1. Tuy nhiên cĩ thể chọn các giá trị τ khác tùy thuộc vào ứng dụng và biến ngẫu nhiên đang nghiên cứu.
Giả sử chọn D=3, 𝜏𝜏=1 thì mẫu dữ liệu S(t) được phân thành như sau: 4 7 9 10 6
7 9 10 6 11 9 10 6 11 3
Mỗi cột cĩ 3 phần tử vì D được chọn bằng 3. Khoảng cách giữa các vectơ cột là một vì τ được chọn bằng 1.
Số hàng được tạo ra là T - (D-1)𝜏𝜏với T là số phần tử trong chuỗi S(t). Ma trận
trên cĩ 7-1×(3-1) = 5 hàng.
- Tìm các mẫu thứ tự (Ordinal Patterns)
Sau khi phân vùng chuỗi thời gian một chiều, các vectơ D-chiều trong ma trận
được ánh xạ thành các hốn vị duy nhất phù hợp với sắp xếp thứ tự của dữ liệu:
𝜋𝜋 = {𝑟𝑟0, 𝑟𝑟1, . . . ,𝑟𝑟𝐷𝐷−1}= {0, 1, . . . ,𝐷𝐷 −1}
Với ví dụ trên cĩ tổng số 3! = 6 hốn vị cĩ thể cĩ khác nhau (ordinal patterns);
𝜋𝜋1= {0, 1, 2} 𝜋𝜋2= {0, 2, 1} 𝜋𝜋3= {1, 0, 2} 𝜋𝜋4= {1, 2, 0} 𝜋𝜋5= {2, 0, 1} 𝜋𝜋6= {2, 1, 0}
30 Các hốn vị này gán giá trị cho mỗi vectơ đã phân vùng dựa trên thứ tự của các giá trị trong vectơ. Ví dụ, hãy xem xét vectơ 3 chiều đầu tiên trong ma trận trên:
4 7 9
Hốn vị của vectơ này là 𝜋𝜋1= {0, 1, 2}bởi vì 4< 7< 9. Do đĩ, đối với dữ liệu ví
dụ trên, ma trận hốn vị là:
0 0 1 1 1 1 1 2 0 2 2 2 0 2 0
Nếu một vectơ đầu vào chứa hai hoặc nhiều phần tử cĩ cùng giá trị, thứ hạng được xác định theo thứ tự của chúng trong chuỗi S(t).
- Tính tốn tần số tương đối (Relative Frequencies):
Tần số tương đối của mỗi hốn vị được tính bằng cách đếm số lần hốn vị xuất hiện trong chuỗi chia cho tổng số chuỗi.
Bảng 3.2.Các hốn vị và xác suất tương ứng Hốn vị Số lần xuất hiện 𝑝𝑝𝑖𝑖 Hốn vị Số lần xuất hiện 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝜋𝜋1 2 2/5 𝜋𝜋2 0 0/5 𝜋𝜋3 1 1/5 𝜋𝜋4 2 2/5 𝜋𝜋5 0 0/5 𝜋𝜋6 0 0/5 - Tính tốn Entropy hốn vị (PE):
Cuối cùng, các xác suất trước đĩ được sử dụng để tính entropy hốn vị bậc D của chuỗi, xác định bởi:
𝑃𝑃𝐸𝐸𝐷𝐷= -∑𝐷𝐷!
𝑖𝑖=1 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2𝑝𝑝𝑖𝑖
Tiếp tục với ví dụ trên, D=3:
31 Phép đo entropy hốn vị được chuẩn hĩa theo cơng thức sau:
𝑃𝑃𝐸𝐸𝐷𝐷,𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚 =𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙−1
2𝐷𝐷!�
𝐷𝐷!
𝑖𝑖=1
𝑝𝑝𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2𝑝𝑝𝑖𝑖
Nhận giá trị trong khoảng từ 0 đến 1. Với ví dụ trên:
𝑃𝑃𝐸𝐸𝐷𝐷,𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚 =𝑙𝑙𝑛𝑛𝑙𝑙−1
23!1,5219= 0,5887
𝑃𝑃𝐸𝐸𝐷𝐷,𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚 càng nhỏ thì chuỗi càng đều đặn và xác định. Ngược lại, 𝑃𝑃𝐸𝐸𝐷𝐷,𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚 càng gần 1, chuỗi càng bất thường và ngẫu nhiên.
Ví dụ: giả sử 7 dữ liệu trong chuỗi ví dụ trên rất bất thường và mỗi phân vùng rơi vào một nhĩm hốn vị khác nhau. Trong trường hợp này, PE chuẩn hĩa là:
𝑃𝑃𝐸𝐸3= −1
𝑙𝑙𝑛𝑛𝑙𝑙23!(1/5𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(1/5) + 1/5𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(1/5) + 1/5𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(1/5) +1/5𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(1/ 5) +1/5𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(1/5)) ≈0,898
Ngược lại, nếu các giá trị trong chuỗi hồn tồn giống nhau, mỗi phân vùng thuộc cùng một nhĩm hốn vị. Trong trường hợp này, PE chuẩn hĩa là:
𝑃𝑃𝐸𝐸3= −1
𝑙𝑙𝑛𝑛𝑙𝑙23!(5/5𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(5/5) = 0
3.2.2Các tham số Hjorth
Tham số Hjorth là một trong những phương pháp chỉ ra thuộc tính thống kê của tín hiệu trong miền thời gian, cĩ ba loại tham số: độ hoạt động (Hjorth activity,
tính di động (Hjorth mobility) và độ phức tạp (Hjorth complexity) [49]:
Hjorth activity
Độ hoạt động là phép đo bình phương độ lệch chuẩn của biên độ, cịn gọi là phương sai hoặc cơng suất trung bình. Activity trả về giá trị lớn hay nhỏ tùy thuộc các thành phần tần số cao của tín hiệu tồn tại nhiều hay ít.
Activity = var (y(t)) Với:
Var (Y) = E[(𝑌𝑌 − 𝜇𝜇)2]
Trong đĩ, E[] là hàm tính kỳ vọng, 𝜇𝜇 = E[X] là giá trị kỳ vọng của biến ngẫu
nhiên X. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị 𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2, … cĩ các giá trị
xác suất tương ứng là 𝑝𝑝1, 𝑝𝑝2, … thì hàm kỳvọng cĩ thể được tính bằng tổng sau:
32
Hjorth mobility
Tính di động được định nghĩa là căn bậc hai tỉ số giữa phương sai của đạo hàm bậc nhất của tín hiệu trên phương sai của tín hiệu. Tham số này tỉ lệ với độ lệch