V½ dö 2.3.1. Gi£ sû ð tuêi 25 b¤n l¶n k¸ ho¤ch ti¸t ki»m ti·n cho con cõa b¤n, méi n«m b¤n gði k tri»u çng v b¤n gði ti¸t ki»m ng¥n h ng vîi l¢i su§t 5%/n«m (khæng thay êi), b¤n v· h÷u ð tuêi 65. Häi k b¬ng bao nhi¶u º b¤n câ t çng ti¸t ki»m cho con khi v· h÷u?
Líi gi£i.
K½ hi»u S(t) l÷ñng ti·n b¤n câ ð thíi iºm t(n«m). Khi â:
S(t+ ∆t) =S(t) +r∆tS(t) + k∆t,
trong â r∆tS(t) sè ti·n l¢i sinh ra sau kho£ng thíi gian ∆t,
k∆t sè ti·n b¤n nëp th¶m v o. Ph÷ìng tr¼nh tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi:
S(t+ ∆t)−S(t)
∆t = r.S(t) +k.
Cho ∆t →0 ta ÷ñc: S0(t) = rS(t) +k.
Gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n vîi i·u ki»n ban ¦u S(0) = 0 ta ÷ñc:
S(t) = k re rt− k r. Suy ra: k = 5%. 10 9 e5%.(65−25)−1 ≈7825883(çng). 2.4. Mæ h¼nh qu¦n thº
V½ dö 2.4.1. Mët mæ h¼nh cho sü ph¡t triºn cõa mët d¥n sè ÷ñc düa tr¶n gi£ ành r¬ng d¥n sè ph¡t triºn vîi tèc ë t l» thuªn vîi sè l÷ñng d¥n sè. â l mët gi£ ành hñp lþ cho mët qu¦n thº vi khu©n ho°c ëng vªt trong i·u ki»n lþ t÷ðng (khæng giîi h¤n mæi tr÷íng, dinh d÷ïng ¦y õ, khæng câ k´ thò, kh£ n«ng mi¹n dàch b»nh).
X¥y düng mæ h¼nh qu¦n thº sè d¥n P(t) phö thuëc theo thíi gian. Bi¸t t¿ l» sinh, t¿ l» tû t÷ìng ùng l a, b. Tèc ë di c÷ l m khæng êi. Ta câ: P(t+ ∆t) =P(t) + aP(t).∆t−bP(t).∆t+m∆t. Suy ra: P(t+ ∆t)−P(t) ∆t = (a−b).P(t) +m. Cho ∆t−→ 0 ta ÷ñc:P0(t) = (a−b)P(t) +m ⇒P0(t)−(a−b)P(t) = m ⇒P(t) = m b−a + C.e (b−a)t Vîi t= 0 ta câ: P(0) = m b−a +C ⇒C = P(0) + m a−b Tø â, ta rót ra k¸t luªn: º d¥n sè t«ng th¼ C > 0 ⇔P(0) + am−b > 0 ⇔P(0) > bm−a. º d¥n sè khæng êi th¼ C = 0 ⇔ P(0) = bm−a. º d¥n sè gi£m th¼ C < 0⇔ P(0) < bm−a.
2.5. Mæ h¼nh æ nhi¹m mæi tr÷íng(xem [4])
Ng÷íi ta cho r¬ng h m l÷ñng CO2 trong kh½ quyºn l m t«ng nhi»t ë tr¡i §t. H m l÷ñng â ng y mët t«ng còng vîi sü ph¡t triºn cõa cæng nghi»p, do ch§t èt v kh½ th£i ÷ñc th£i v o kh½ quyºn, çng thíi mët ph¦n trong sè â ÷ñc h§p thö tü nhi¶n bði n÷îc biºn v sinh vªt. Gåi y
l h m l÷ñng CO2. H m l÷ñng â t«ng theo quy luªt:
dy
dt = x−αy, (2.15)
trong â x l h m l÷ñng CO2 do c¡c x½ nghi»p cæng nghi»p th£i v o khæng kh½ v α > 0 l tham sè biºu di¹n t¿ ph¦n CO2 h§p thu bði tü nhi¶n. Gi£ sû l÷ñng kh½ tr¶n ÷ñc th£i v o kh½ quyºn l t«ng theo thíi gian theo quy luªt:
dx
dt = ae
trong â β, a, b l c¡c h¬ng sè d÷ìng. H» sè β biºu di¹n t¿ ph¦n CO2 bà h¤n ch¸ bît do c¡c ho¤t ëng chèng æ nhi¹m cõa c¡c quèc gia.
Mæ h¼nh l mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët gçm 2 ph÷ìng tr¼nh nh÷ng ta câ thº biºu di¹n chóng d÷îi d¤ng mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p hai. L§y ¤o h m c£ 2 v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh (2.15) v th¸ ¤o h m cõa x
tø (2.16) v o v¸ ph£i ta câ:
d2y dt2 = aebt−βy −α · dy dt. Suy ra: d2y dt2 +αdy dt +βy = ae bt . (2.17)
B¬ng ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành ta t¼m ÷ñc nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh (2.17):
y(t) = ae
bt
b2 +αb+β.
Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (2.17) nh÷ sau: - N¸u α2 −4β > 0 : y = C1ek1t +C2ek2t+ ae bt b2 + αb+β, trong â k1,2 = −α2 ± √ α2−4β 2 . - N¸u α2 −4β = 0 : y = (C1 + C2t)e−α2 + ae bt b2 +αb+β. - N¸u α2 −4β < 0 : y = (C1cosθt+ C2sinθt)e−α2 + ae bt b2 +αb+ β, trong â θ = √ 4β−α2 2 . Do α, β > 0 n¶n k1, k2,−α 2 l c¡c sè ¥m. Trong c£ 3 tr÷íng hñp nâi tr¶n ta ·u câ : y(t)− ae bt b2 + αb+β →0 khi t → +∞.
Nh÷ vªy quÿ ¤o d i h¤n cõa h m l÷ñng CO2 trong kh½ quyºn l :
y = ae
bt
KT LUN
Sau mët thíi gian nghi¶n cùu, luªn v«n "Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh h» sè h¬ng v mët v i ùng döng" ¢ ¤t ÷ñc mët sè k¸t qu£ nh÷ sau:
1) H» thèng l¤i c¡c ki¸n thùc cì sð trong l½ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n nh÷: Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p mët; Ph÷ìng tr¼nh Bernoulli; Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n to n ph¦n; Thøa sè t½ch ph¥n; Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p n vîi h» sè h¬ng; Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p n vîi h» sè bi¸n thi¶n; Cæng thùc Ostragradxki- Louiville; Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t; Ph÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sè.
2) ÷a ra mët sè v§n · ÷ñc ùng döng trong thüc t¸ b¬ng ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh nh÷: Ùng döng trong vªt lþ; trong ho¡ håc; mæ h¼nh t«ng tr÷ðng, ùng döng trong kinh t¸; ...
3) Sû döng c¡c ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh º gi£i quy¸t c¡c mæ h¼nh ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng 2, tø â câ nhúng k¸t luªn v dü o¡n phò hñp
Trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n v ho n th nh luªn v«n t¡c gi£ ¢ r§t né lüc v ho n thi»n luªn v«n óng h¤n. Tuy vªy trong luªn v«n v¨n khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, t¡c gi£ r§t mong muèn nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u cõa quþ th¦y cæ, b¤n b± v c¡c ëc gi£ quan t¥m ¸n nëi dung cõa luªn v«n.
TI LIU THAM KHO Ti¸ng Vi»t
[1] Ho ng Húu ÷íng (1975), Lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, Nh xu§t b£n ¤i håc v Trung håc chuy¶n nghi»p H Nëi.
[2] Nguy¹n Th¸ Ho n Tr¦n V«n Nhung (2005), B i tªp ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, Nh xu§t b£n Gi¡o döc.
[3] Nguy¹n Th¸ Ho n Ph¤m Phu (2007), Cì sð ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v l½ thuy¸t ên ành, Nh xu§t b£n Gi¡o döc H Nëi.
[4] L¶ ¼nh Thuþ (2018), To¡n cao c§p cho c¡c nh kinh t¸, Nh xu§t b£n ¤i håc Kinh t¸ Quèc d¥n.
[5] L¶ H£i Trung (2019), Gi¡o tr¼nh ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n sai ph¥n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m N®ng, Nh xu§t b£n Thæng tin v Truy·n thæng.
Ti¸ng Anh
[6] J.Banasiak (2013), Difference And Differential Equations In Mathe- matical Modelling.
[7] James Stewart,Calculus: Early Transcendentals 8th Edition. [8] James Stewart,Multivarible Calculus seventh Edition.
[9] David Lomen, David LoveLock NewYork (1999), Differential Equa- tion, John Willey Sons, Inc.
BIÊN BẢN
HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1. Tên đề tài: Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và một vài ứng dụng
2. Ngành: Toán giải tích Lớp K39.TGT
3. Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2037/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021
4. Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021
5. Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG
1. TS. Phạm Quý Mười Chủ tịch
2. TS. Lê Văn Dũng Thư ký
3. TS. Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện 1 4. PGS.TS. Kiều Phương Chi Phản biện 2
5. TS. Nguyễn Đức Hiền Ủy viên
a. Thành viên có mặt: 5 b. Thành viên vắng mặt: 0
6. Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7. Học viên cao học trình bày luận văn
8. Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo) 9. Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng 10. Hội đồng họp riêng để đánh giá
11. Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả 12. Kết luận của Hội đồng
a) Kết luận chung:
Luận văn đạt yêu cầu. Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết quả chấm luận văn của Hội đồng và cấp bằng thạc sĩ cho học viên.
b) Yêu cầu chỉnh, sửa về nội dung:
Bổ sung “tuyến tính” trong “phương trình vi phân”, Bổ sung trích dẫn tài liệu vào luận văn, Các ví dụ cần tách biệt rõ nội dung và lời giải, kiểm tra lại tính chính xác của Định lí 1.7.3, Định nghĩa 1.8.9.
Sửa luận văn theo góp ý của các thành viên trong Hội đồng, đặc biệt là nhận xét góp ý của 2 phản biện.
Học viên chỉnh sửa luận văn, gửi file luận văn (PDF) tới phản biện 1 qua email và luận văn phải được chấp nhận của phản biện 1 đồng qua email.
c) Các ý kiến khác: không
d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8,3 Bằng chữ: Tám ba 13. Tác giả luận văn phát biểu ý kiến
14. Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG
Lê Văn Dũng
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc - - - - - -
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ
(dùng cho thành viên hội đồng là phản biện)
Tên đề tài luận văn: Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và một vài ứng dụng
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ và tên học viên: Ngô Thị Ánh Ly
Người nhận xét: TS. Nguyễn Thị Thùy Dương
Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN
NỘI DUNG NHẬN XÉT
1. Tính cấp thiết của đề tài: Khi nghiên cứu các hiện tượng khoa học kỹ thuật, kinh tế như mô hình cân đối liên ngành động với cầu vượt mức, mô hình kinh tế vĩ mô về lạm phát và thất nghiệp chúng ta thường dùng đến phương trình sai phân để giải quyết các bài toán trong kinh tế. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về một lĩnh vực trong Toán học có ứng dụng trong thực tế tác giả đã chọn đề tài “Phương trình vi phân hệ số hằng và một vài ứng dụng”.
2. Cơ sở khoa học và thực tiễn: Luận văn được tổng hợp từ các tài liệu khoa học đáng tin cậy và có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và những độc giả quan tâm đến lĩnh vực này.
3. Phương pháp nghiện cứu: nghiên cứu lý thuyết.
4. Kết quả nghiên cứu: Tổng quan các kết quả trước đây. Tác giả đã hệ thống lại các kiến thức cơ sở trong lí thuyết phương trình vi phân; đưa ra một số ứng dụng trong vật lí, trong hóa học, ứng dụng trong kinh tế…
gồm 2 chương: Chương I: Kiến thức cơ sở. Chương II: Một số ứng dụng của phương trình vi phân hệ số hằng. Bản tóm tắc phản ánh trung thực nội dung của luận văn. Luận văn còn một số lỗi chế bản và trình bày như: một số công thức toán không đưa vào môi trường equation; Cỡ chữ công thức toán không thống nhất, …. Và các mô hình cần ghi rõ nguồn trích dẫn.
6. Đánh giá chung: Học viên hoàn thành luận văn theo đề cương đã được duyệt. Kết luận: Tôi đồng ý cho bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ.
Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2021
Người nhận xét