Ta s³ ti¸n h nh xem x²t khi v¸ ph£i cõa (1.55) trong mët v i tr÷íng hñp °c bi»t.
Tr÷íng hñp 1. f(x) = eαxPm(x), ð ¥y Pm(x) l a thùc bªc m. a. N¸u nh÷ α khæng ph£i l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = eαxQm(x).
b. N¸u α l nghi»m bëi k cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = xkeαxQm(x),
ð ¥y Qm(x) l a thùc bªc m m h» sè cõa nâ ta c¦n ph£i i x¡c ành. V½ dö 1.12.14. T¼m nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh:
y00 −3y0+ 2y = (3−4x)ex.
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng λ2 −3λ+ 2 = 0 câ nghi»m λ1 = 1, λ2 = 2 v câ
α = 1 = λ1, m = 1.
Do â nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = xex(ax+b).
Ta câ: yr0 = ex(1 +x)(ax+b) +axex.
Ta câ: yr00 = ex[(1 +x)(ax+b) + ax+ (ax+b) +a(1 +x) +a].
°t c¡c biºu thùc nhªn ÷ñc èi vîi yr, y0r, yr00 v o trong ph÷ìng tr¼nh ¢ cho v ti¸n h nh çng nh§t thùc hai v¸ ta nhªn ÷ñc a = 2, b = 1. Do â
nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l yr = xex(2x+ 1). Tø ¥y cho ta nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ choy = C1ex+C2e2x+xex(2x+1).
Tr÷íng hñp 2. f(x) = eαx[P(x) cosβx+Q(x) sinβx].
a. N¸u α + iβ khæng ph£i l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = eαx[R(x) cosβx+S(x) sinβx].
b. N¸u α+iβ l nghi»m bëi k cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = xkeαx[R(x) cosβx+S(x) sinβx] ,
ð ¥y R(x), Q(x) l c¡c a thùc câ bªc b¬ng max{degQ(x),degP(x)} v h» sè cõa chóng x¡c ành ÷ñc b¬ng ph÷ìng ph¡p b§t ành. V½ dö 1.12.15. Gi£i ph÷ìng tr¼nh: y00 +y = 4xsinx. Ta câ: α = 0, β = 1, α+iβ = i. Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t t÷ìng ùng l : λ2 + 1 = 0,
câ nghi»m phùc λ = ±i. Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho rìi v o tr÷íng hñp 2b vîi k = 1.
Do â nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = x[(ax+ b) cosx+ (cx+d) sinx] . Ta câ:
yr0 = (ax+b) cosx+(cx+d) sinx+x[acosx−(ax+b) sinx+csinx+(cx+d) cosx]. yr00 = 2acosx−2(ax+b) sinx+2csinx+2(cx+d) cosx+x[−2asinx+
2ccosx−(ax+b) cosx−(cx+d) sinx].
°t c¡c biºu thùc nhªn ÷ñc cõa yr v y00r v o ph÷ìng tr¼nh ¦u v ti¸n h nh çng nh§t thùc hai v¸ ta nhªn ÷ñc a = −1, b = c = 0, d = 1. Tø ¥y ta câ:
v nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l :
y = C1cosx+C2sinx+ x(−xcosx+ sinx).
Chó þ. N¸u f(x) khæng câ d¤ng °c bi»t tr¶n nh÷ng câ thº vi¸t th nh:
f(x) = f1(x) + f2(x) +. . .+fn(x),
trong â méi fi(x), i = 1, n câ d¤ng °c bi»t nh÷ tr¶n th¼ khi â ta t¼m ÷ñc nghi»m ri¶ng yr d÷îi d¤ng:
yr = y1 +y2 +. . .+yn,
trong â yi l nghi»m ri¶ng t÷ìng ùng vîi fi.
V½ dö 1.12.16. T¼m nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh:
y00−5y0 = 3x2 + sin 5x.
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng: λ2 − 5λ = 0 câ nghi»m λ1 = 0, λ2 = 5. Do â nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t l :
ytn = C1 +C2e5x.
Hiºn nhi¶n v¸ ph£i cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ d¤ng f1 +f2 vîi f1 = 3x2
v f2 = sin 5x, do â yr = y1+y2 vîi y1 l nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh
y00 −5y0 = 3x2 v y2 l nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh y00 −5y0 = sin 5x. Tr÷îc ti¶n ta i t¼m y1. V¼ f1 = 3x2 n¶n ta câ
α = 0, β = 0, α+ iβ = 0 + 0i = 0 = λ1,
do â ta câ k = 1.
Nh÷ vªy y1 t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng y1 = x(Ax2 +Bx+C)
L§y ¤o h m c§p mët v hai cõa y1 rçi th¸ v o ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ùng, ti¸n h nh thüc hi»n ph²p çng nh§t thùc ta nhªn ÷ñc: y1 = −1 5 x 3 − 3 25x 2 − 6 125x.
èi vîi f2 ta câ α = 0, β = 5, α+iβ = 0 + 5i = 5i 6= λ1, λ2. Do â y2 = Dcos 5x+Esin 5x.
L§y ¤o h m c§p mët v hai cõa y2 rçi th¸ v o ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ùng, ti¸n h nh thüc hi»n ph²p çng nh§t thùc ta nhªn ÷ñc:
y2 = −1
50 sin 5x+ 1
Cuèi còng nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho nhªn ÷ñc l : y = C1 +C2e5x− 1 5x 3 − 3 25x 2 − 6 125x− 1 50sin 5x+ 1 50cos 5x.
CH×ÌNG2
MËT SÈ ÙNG DÖNG CÕA PH×ÌNG TRNH VI PH N TUYN TNH H SÈ HNG