Nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t

Một phần của tài liệu Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và một vài ứng dụng (Trang 37 - 41)

Ta s³ ti¸n h nh xem x²t khi v¸ ph£i cõa (1.55) trong mët v i tr÷íng hñp °c bi»t.

Tr÷íng hñp 1. f(x) = eαxPm(x), ð ¥y Pm(x) l  a thùc bªc m. a. N¸u nh÷ α khæng ph£i l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:

yr = eαxQm(x).

b. N¸u α l  nghi»m bëi k cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:

yr = xkeαxQm(x),

ð ¥y Qm(x) l  a thùc bªc m m  h» sè cõa nâ ta c¦n ph£i i x¡c ành. V½ dö 1.12.14. T¼m nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh:

y00 −3y0+ 2y = (3−4x)ex.

Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng λ2 −3λ+ 2 = 0 câ nghi»m λ1 = 1, λ2 = 2 v  câ

α = 1 = λ1, m = 1.

Do â nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:

yr = xex(ax+b).

Ta câ: yr0 = ex(1 +x)(ax+b) +axex.

Ta câ: yr00 = ex[(1 +x)(ax+b) + ax+ (ax+b) +a(1 +x) +a].

°t c¡c biºu thùc nhªn ÷ñc èi vîi yr, y0r, yr00 v o trong ph÷ìng tr¼nh ¢ cho v  ti¸n h nh çng nh§t thùc hai v¸ ta nhªn ÷ñc a = 2, b = 1. Do â

nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  yr = xex(2x+ 1). Tø ¥y cho ta nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ choy = C1ex+C2e2x+xex(2x+1).

Tr÷íng hñp 2. f(x) = eαx[P(x) cosβx+Q(x) sinβx].

a. N¸u α + iβ khæng ph£i l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:

yr = eαx[R(x) cosβx+S(x) sinβx].

b. N¸u α+iβ l  nghi»m bëi k cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:

yr = xkeαx[R(x) cosβx+S(x) sinβx] ,

ð ¥y R(x), Q(x) l  c¡c a thùc câ bªc b¬ng max{degQ(x),degP(x)} v  h» sè cõa chóng x¡c ành ÷ñc b¬ng ph÷ìng ph¡p b§t ành. V½ dö 1.12.15. Gi£i ph÷ìng tr¼nh: y00 +y = 4xsinx. Ta câ: α = 0, β = 1, α+iβ = i. Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t t÷ìng ùng l : λ2 + 1 = 0,

câ nghi»m phùc λ = ±i. Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho rìi v o tr÷íng hñp 2b vîi k = 1.

Do â nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:

yr = x[(ax+ b) cosx+ (cx+d) sinx] . Ta câ:

yr0 = (ax+b) cosx+(cx+d) sinx+x[acosx−(ax+b) sinx+csinx+(cx+d) cosx]. yr00 = 2acosx−2(ax+b) sinx+2csinx+2(cx+d) cosx+x[−2asinx+

2ccosx−(ax+b) cosx−(cx+d) sinx].

°t c¡c biºu thùc nhªn ÷ñc cõa yr v y00r v o ph÷ìng tr¼nh ¦u v  ti¸n h nh çng nh§t thùc hai v¸ ta nhªn ÷ñc a = −1, b = c = 0, d = 1. Tø ¥y ta câ:

v  nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l :

y = C1cosx+C2sinx+ x(−xcosx+ sinx).

Chó þ. N¸u f(x) khæng câ d¤ng °c bi»t tr¶n nh÷ng câ thº vi¸t th nh:

f(x) = f1(x) + f2(x) +. . .+fn(x),

trong â méi fi(x), i = 1, n câ d¤ng °c bi»t nh÷ tr¶n th¼ khi â ta t¼m ÷ñc nghi»m ri¶ng yr d÷îi d¤ng:

yr = y1 +y2 +. . .+yn,

trong â yi l  nghi»m ri¶ng t÷ìng ùng vîi fi.

V½ dö 1.12.16. T¼m nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh:

y00−5y0 = 3x2 + sin 5x.

Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng: λ2 − 5λ = 0 câ nghi»m λ1 = 0, λ2 = 5. Do â nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t l :

ytn = C1 +C2e5x.

Hiºn nhi¶n v¸ ph£i cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ d¤ng f1 +f2 vîi f1 = 3x2

v  f2 = sin 5x, do â yr = y1+y2 vîi y1 l  nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh

y00 −5y0 = 3x2 v  y2 l  nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh y00 −5y0 = sin 5x. Tr÷îc ti¶n ta i t¼m y1. V¼ f1 = 3x2 n¶n ta câ

α = 0, β = 0, α+ iβ = 0 + 0i = 0 = λ1,

do â ta câ k = 1.

Nh÷ vªy y1 t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng y1 = x(Ax2 +Bx+C)

L§y ¤o h m c§p mët v  hai cõa y1 rçi th¸ v o ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ùng, ti¸n h nh thüc hi»n ph²p çng nh§t thùc ta nhªn ÷ñc: y1 = −1 5 x 3 − 3 25x 2 − 6 125x.

èi vîi f2 ta câ α = 0, β = 5, α+iβ = 0 + 5i = 5i 6= λ1, λ2. Do â y2 = Dcos 5x+Esin 5x.

L§y ¤o h m c§p mët v  hai cõa y2 rçi th¸ v o ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ùng, ti¸n h nh thüc hi»n ph²p çng nh§t thùc ta nhªn ÷ñc:

y2 = −1

50 sin 5x+ 1

Cuèi còng nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho nhªn ÷ñc l : y = C1 +C2e5x− 1 5x 3 − 3 25x 2 − 6 125x− 1 50sin 5x+ 1 50cos 5x.

CH×ÌNG2

MËT SÈ ÙNG DÖNG CÕA PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH H› SÈ HŒNG

Một phần của tài liệu Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và một vài ứng dụng (Trang 37 - 41)