ành ngh¾a 1.12.4. (xem [5]) K½ hi»u d¤ng a + ib, ð ¥y a, b ∈ R, i− ìn và £o, ÷ñc gåi l sè phùc.
Sè phùc ÷ñc k½ hi»u mët c¡ch ngn gån l c : c = a +ib, trong â a
÷ñc gåi l ph¦n thüc, v k½ hi»u l Rec (Real),b ÷ñc gåi l ph¦n £o v k½ hi»u l Imc (Imaginary). Tªp hñp sè phùc ÷ñc k½ hi»u l C.
ành ngh¾a 1.12.5. Hai sè phùc c1 = a1 +ib1, c2 = a2 +ib2 ÷ñc gåi l b¬ng nhau n¸u a1 = a2, b1 = b2.
ành ngh¾a 1.12.6. Sè phùcc¯= a−ib÷ñc gåi l li¶n hñp vîi c = a+ib. Ta câ mët v i t½nh ch§t sau ¥y:
1. c1 +c2 = c1 +c2. 2. c1c2 = c1 ·c2. 3. c1 c2 = c1 c2.
N¸u r = a+ib l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh r2+pr+q = 0 th¼ sè phùc li¶n hñp cõa nâ r¯ = a−ib công l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n. Thªt vªy:
0 = 0 = r2 +pr +q = r2 +p¯r +q.
ành ngh¾a 1.12.7. Gi£ sûX ⊂ R. Mët luªt x¡c ành mët sè thücx ∈ R t÷ìng ùng vîi sè phùc w = u+ iv ∈ C, ÷ñc gåi l h m phùc bi¸n thüc ÷ñc cho tr¶n tªp X. Nâ ÷ñc k½ hi»u f : X → C;f(x) = u(x) + iv(x), ð ¥y u(x), v(x) l c¡c h m thüc, ÷ñc cho tr¶n tªp X .u(x) ÷ñc gåi l ph¦n thüc cõa f(x), cán v(x) ÷ñc gåi l ph¦n £o cõa f(x). ¤o h m cõa
f(x) ÷ñc x¡c ành bði biºu thùc:
f0(x) =u0(x) +iv0(x).
ành ngh¾a 1.12.8. H m w = ez, z = x+ iy, w = u+iv ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc:
ez = ex(cosy +isiny), (1.53)
÷ñc gåi l h m mô trong mi·n phùc. Hiºn nhi¶nu = excosy, v = exsiny. Tø (1.53) ta câ: e−ix = cosx−isinx, eix = cosx+isinx. Do â: sinx = 1 2i e ix−e−ix,cosx= 1 2 e ix+e−ix.
C¡c cæng thùc tr¶n câ t¶n gåi l cæng thùc Euler. Ta ph¡t biºu m»nh · sau ¥y:
M»nh · 1.12.9. N¸u y = u+iv = u(x) +iv(x) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.53) hay L[y] = 0 th¼ ph¦n thüc u(x) v ph¦n £o v(x) công l nghi»m cõa (1.53).
Chùng minh. Ta câ:
0 = L[y] = L[u(x)+iv(x)] = L[u(x)]+iL[v(x)] = L[u(x)] = L[v(x)] = 0.
i·u n y chùng tä u(x), v(x) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh L[y] = 0.
B¥y gií ta nghi¶n cùu tr÷íng hñp thù 3 , khi m c¡c nghi»m r1 = a+
ib, r2 = a − ib, b 6= 0 cõa ph÷ìng tr¼nh (1.52) câ d¤ng sè phùc. Khæng khâ º chùng minh h m y = erx = eax(cosbx + isinbx) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.51). Khi â c¡c h m u = eaxcosbx v v = erxsinbx s³ l c¡c nghi»m thüc cõa (1.51). Chóng ëc lªp tuy¸n t½nh v¼:
u
v = cotbx 6= const,
do â:
l nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (1.51).
V½ dö 1.12.10. T¼m nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh:
y00 + 4y0+ 9y = 0.
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng r2 + 2r + 3 = 0 câ nghi»m r1,2 = −2±i√
5, do â nghi»m têng qu¡t t¼m ÷ñc:
y = e−2xC1cos√ 5x+C2sin√ 5x. 1.12.3. Ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p cao h» sè h¬ng ành ngh¾a 1.12.11. (xem [5]) Ph÷ìng tr¼nh d¤ng: A0d ny dxn +A1d n−1y dxn−1 + . . .+An−1dy dx +Any = 0, (1.54) vîi Ai, i = 0, n l h¬ng sè, A0 6= 0, ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p n thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng, t÷ìng ùng vîi nâ, ph÷ìng tr¼nh: A0d ny dxn +A1d n−1y dxn−1 +. . .+An−1dy dx +Any = f(x), (1.55) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p n khæng thu¦n nh§t. Ph÷ìng tr¼nh (1.54) câ thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng to¡n tû nh÷ sau:
F(D)y = A0Dn +A1Dn−1 +. . .+An−1D +Any = 0,
ð ¥y D = dxd . Nh÷ vªy biºu thùc ð trong d§u ngo°c ÷ñc xem nh÷ mët a thùc bªc n theo D. Ta vi¸t l¤i F(D) d÷îi d¤ng:
F(D) =A0(D −λ1) (D −λ2). . .(D −λn), (1.56) trong â λi, i = 1, n ch½nh l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng:
A0λn +A1λn−1 +. . .+ An−1λ+ An = 0. (1.57) Rã r ng (1.56) thäa m¢n b¬ng 0 vîi méi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n thu¦n nh§t (D −λ1)y = 0,(D −λ2)y = 0, . . . ,(D−λn)y = 0. Gi£ sû c¡c gi¡ trà λi l thüc v kh¡c nhau. X²t t¤i λk,0≤ k ≤n :
(D −λk)y = 0,
khi â:
Nh÷ vªy nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (1.54) t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
y = C1eλ1x
+C2eλ2x
+. . .+Cneλnx
.
N¸u nh÷ trong c¡c nghi»m λi câ nghi»m phùc λs = a+ib n o â, suy ra λr = a−ib công l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng (1.57), khi â:
Cse(a+ib)x+Cre(a−ib)x = eax[(Cs +Cr) cosbx+i(Cs −Cr) sinbx].
Biºu thùc cuèi ch½nh l ph¦n nghi»m t÷ìng ùng vîi λs v li¶n hi»p phùc vîi nâ λr. V½ dö 1.12.12. Gi£i ph÷ìng tr¼nh: d3y dx3 + d 2y dx2 −7dy dx −15y = 0. Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng: λ3 +λ2 −7λ−15 = 0. Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng câ c¡c nghi»m l λ1 = 3, λ2 = −2 + i, λ3 =
−2−i. Tø ¥y ta nhªn ÷ñc nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho:
y = C1e3x +e−2x(C2cosx+C3sinx).
Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng câ nghi»m thüc λ bëi m. Khi â (1.56) câ chùa nh¥n tû d¤ng (D −λ)m. X²t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p m t÷ìng ùng:
(D −λ)my = 0.
Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
y = eλxV(x),
trong â V(x) l h m c¦n x¡c ành. Ta câ:
(D −λ)meλxV(x) = (D −λ)m−1eλxDV(x) = (D −λ)m−2eλxD2V(x) = . . . = eλxDmV(x) = 0.
Tø ¥y ta nhªn ÷ñc: DmV(x) = 0, hay V(x) ch½nh l a thùc bªc m−1
theo x. Gåi V(x) =C1 + C2x+. . .+Cmxm−1. Khi â:
y = eλx C1 +C2x+. . .+ Cmxm−1,
l nghi»m c¦n t¼m.
Trong tr÷íng hñp nghi»m bëi λ = a+ib phùc th¼ khi â ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng công câ nghi»m bëi a−ib. Khi â trong (1.56) câ chùa nh¥n tû d¤ng (D −a−ib)m(D −a+ib)m. Lªp luªn t÷ìng tü ta công nhªn ÷ñc
nghi»m l :
y = C1 +C2x+. . .+Cmxm−1eaxcosbx+ B1 +B2x+ . . .+Bmxm−1eaxsinbx.
V½ dö 1.12.13. Gi£i ph÷ìng tr¼nh:
y(4)+ 2y00 +y = 0.
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng λ4+ 2λ2+ 1 = 0 câ c¡c nghi»m l : λ = i, λ = −i.
Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ d¤ng:
y = (C1 +C2x) cosx+ (C3 +C4x) sinx.
1.12.4. Nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§tTa s³ ti¸n h nh xem x²t khi v¸ ph£i cõa (1.55) trong mët v i tr÷íng Ta s³ ti¸n h nh xem x²t khi v¸ ph£i cõa (1.55) trong mët v i tr÷íng hñp °c bi»t.
Tr÷íng hñp 1. f(x) = eαxPm(x), ð ¥y Pm(x) l a thùc bªc m. a. N¸u nh÷ α khæng ph£i l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = eαxQm(x).
b. N¸u α l nghi»m bëi k cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = xkeαxQm(x),
ð ¥y Qm(x) l a thùc bªc m m h» sè cõa nâ ta c¦n ph£i i x¡c ành. V½ dö 1.12.14. T¼m nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh:
y00 −3y0+ 2y = (3−4x)ex.
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng λ2 −3λ+ 2 = 0 câ nghi»m λ1 = 1, λ2 = 2 v câ
α = 1 = λ1, m = 1.
Do â nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = xex(ax+b).
Ta câ: yr0 = ex(1 +x)(ax+b) +axex.
Ta câ: yr00 = ex[(1 +x)(ax+b) + ax+ (ax+b) +a(1 +x) +a].
°t c¡c biºu thùc nhªn ÷ñc èi vîi yr, y0r, yr00 v o trong ph÷ìng tr¼nh ¢ cho v ti¸n h nh çng nh§t thùc hai v¸ ta nhªn ÷ñc a = 2, b = 1. Do â
nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l yr = xex(2x+ 1). Tø ¥y cho ta nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ choy = C1ex+C2e2x+xex(2x+1).
Tr÷íng hñp 2. f(x) = eαx[P(x) cosβx+Q(x) sinβx].
a. N¸u α + iβ khæng ph£i l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = eαx[R(x) cosβx+S(x) sinβx].
b. N¸u α+iβ l nghi»m bëi k cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng th¼ nghi»m ri¶ng câ thº t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = xkeαx[R(x) cosβx+S(x) sinβx] ,
ð ¥y R(x), Q(x) l c¡c a thùc câ bªc b¬ng max{degQ(x),degP(x)} v h» sè cõa chóng x¡c ành ÷ñc b¬ng ph÷ìng ph¡p b§t ành. V½ dö 1.12.15. Gi£i ph÷ìng tr¼nh: y00 +y = 4xsinx. Ta câ: α = 0, β = 1, α+iβ = i. Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t t÷ìng ùng l : λ2 + 1 = 0,
câ nghi»m phùc λ = ±i. Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho rìi v o tr÷íng hñp 2b vîi k = 1.
Do â nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng:
yr = x[(ax+ b) cosx+ (cx+d) sinx] . Ta câ:
yr0 = (ax+b) cosx+(cx+d) sinx+x[acosx−(ax+b) sinx+csinx+(cx+d) cosx]. yr00 = 2acosx−2(ax+b) sinx+2csinx+2(cx+d) cosx+x[−2asinx+
2ccosx−(ax+b) cosx−(cx+d) sinx].
°t c¡c biºu thùc nhªn ÷ñc cõa yr v y00r v o ph÷ìng tr¼nh ¦u v ti¸n h nh çng nh§t thùc hai v¸ ta nhªn ÷ñc a = −1, b = c = 0, d = 1. Tø ¥y ta câ:
v nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l :
y = C1cosx+C2sinx+ x(−xcosx+ sinx).
Chó þ. N¸u f(x) khæng câ d¤ng °c bi»t tr¶n nh÷ng câ thº vi¸t th nh:
f(x) = f1(x) + f2(x) +. . .+fn(x),
trong â méi fi(x), i = 1, n câ d¤ng °c bi»t nh÷ tr¶n th¼ khi â ta t¼m ÷ñc nghi»m ri¶ng yr d÷îi d¤ng:
yr = y1 +y2 +. . .+yn,
trong â yi l nghi»m ri¶ng t÷ìng ùng vîi fi.
V½ dö 1.12.16. T¼m nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh:
y00−5y0 = 3x2 + sin 5x.
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng: λ2 − 5λ = 0 câ nghi»m λ1 = 0, λ2 = 5. Do â nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t l :
ytn = C1 +C2e5x.
Hiºn nhi¶n v¸ ph£i cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ d¤ng f1 +f2 vîi f1 = 3x2
v f2 = sin 5x, do â yr = y1+y2 vîi y1 l nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh
y00 −5y0 = 3x2 v y2 l nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh y00 −5y0 = sin 5x. Tr÷îc ti¶n ta i t¼m y1. V¼ f1 = 3x2 n¶n ta câ
α = 0, β = 0, α+ iβ = 0 + 0i = 0 = λ1,
do â ta câ k = 1.
Nh÷ vªy y1 t¼m ÷ñc d÷îi d¤ng y1 = x(Ax2 +Bx+C)
L§y ¤o h m c§p mët v hai cõa y1 rçi th¸ v o ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ùng, ti¸n h nh thüc hi»n ph²p çng nh§t thùc ta nhªn ÷ñc: y1 = −1 5 x 3 − 3 25x 2 − 6 125x.
èi vîi f2 ta câ α = 0, β = 5, α+iβ = 0 + 5i = 5i 6= λ1, λ2. Do â y2 = Dcos 5x+Esin 5x.
L§y ¤o h m c§p mët v hai cõa y2 rçi th¸ v o ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ùng, ti¸n h nh thüc hi»n ph²p çng nh§t thùc ta nhªn ÷ñc:
y2 = −1
50 sin 5x+ 1
Cuèi còng nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho nhªn ÷ñc l : y = C1 +C2e5x− 1 5x 3 − 3 25x 2 − 6 125x− 1 50sin 5x+ 1 50cos 5x.
CH×ÌNG2
MËT SÈ ÙNG DÖNG CÕA PH×ÌNG TRNH VI PH N TUYN TNH H SÈ HNG
2.1. Ùng döng trong vªt lþ
V½ dö 2.1.1. (ành luªt Newton v· to£ nhi»t, h§p thu nhi»t) Mët vªt ÷ñc °t trong mët mæi tr÷íng duy tr¼ ð nhi»t ë Ta. ành luªt Newton nâi r¬ng tèc ë bi¸n êi cõa nhi»t ë T(t) cõa vªt t¿ l» vîi ë ch¶nh nhi»t giúa vªt â vîi mæi tr÷íng.
ành luªt Newton ÷ñc di¹n t£ b¬ng ph÷ìng tr¼nh:
T0(t) = r(T(t)−Ta), (2.1)
ð â r l h» sè t¿ l». Ph÷ìng tr¼nh (2.1) chùa h m ©n T(t) v ¤o h m
T0(t). ¥y l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët.
Gi£ sû r l mët h¬ng sè. Khi â (2.1)l mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh h» sè h¬ng. Gi£ sû t¤i thíi iºm ban ¦u t0 = 0, nhi»t ë cõa vªt l
T0. Khi â, tø (2.1) ta câ:
T0(t)−rT(t) = −rTa
⇒ T(t) = ert[
Z
−rTa.e−rtdt+C]
⇒T(t) = Ta + (T0 −Ta)ert. (2.2)
Trong thüc t¸, h» sè t¿ l» r phö thuëc c£ v o thíi gian v ë ch¶nh nhi»t ë T(t)−Ta. Tùc l :
r = r(t, T(t)−Ta).
Khi â, ph÷ìng tr¼nh (2.1) trð th nh ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n c§p mët. Vi»c t¼m nghi»m ch½nh x¡c T(t) b¥y gií trð n¶n khâ kh«n hìn, thªm ch½ "khæng thº". V¼ vªy, c¡c ph÷ìng ph¡p ành t½nh (nghi¶n cùu t½nh ch§t nghi»m) ÷ñc ph¡t triºn º ph¥n t½ch d¡ng i»u cõa nghi»m c¡c ph÷ìng
tr¼nh câ c§u tróc phùc t¤p n£y sinh tø c¡c mæ h¼nh thüc ti¹n.
V½ dö 2.1.2. Mët nhi»t k¸ ch¿ 700F ð trong nh . °t ð b¶n ngo i nìi câ nhi»t ë khæng kh½ l 100F, ba phót sau nhi»t ë ch¿ 250F. H¢y dü o¡n nhi»t ë ð nhúng thíi iºm kh¡c nhau.
Líi gi£i.
Gi£ sû T(t) l nhi»t ë cõa nhi»t k¸ ð thíi iºm t (phót). Theo · ta câ: T(0) = 700F, T(3) = 250F, Ta = 100F. p döng cæng thùc (2.2) ta câ: T(3) = 10 + (70−10)er.3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n, ta ÷ñc: r = −1 3 .ln 4.
Vªy nhi»t ë ÷ñc x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh:
T(t) = 10 + 60.e−31.t.ln 4
.
V½ dö 2.1.3. un sæi n÷îc rçi º nguëi trong pháng câ nhi»t ë ên ành
250C. Sau 12 phót nhi»t ë cõa n÷îc o ÷ñc 800C. Häi sau bao nhi¶u phót nhi»t ë cõa n÷îc l 700C?
Líi gi£i. p döng cæng thùc (2.2) vîi:
Ta = 250C l nhi»t ë cõa mæi tr÷íng xung quanh, tùc l nhi»t ë cõa pháng.
T0 = 1000C l thíi iºm m n÷îc sæi bt ¦u nguëi.
r l h» sè t¿ l», t= 12 phót. Ta câ:
Ph÷ìng tr¼nh trð th nh: 80 = 25 + 75e12r. Ti¸n h nh gi£i ph÷ìng tr¼nh ta nhªn ÷ñc: r = 1 12ln 55 75. Vîi Ta = 700C ta câ ph÷ìng tr¼nh: 70 = 25 + 75ert. Gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n, ta câ: t ≈ 19,76 (phót).
Vªy sau kho£ng 19,76 phót th¼ nhi»t ë cõa n÷îc l 700C.
V½ dö 2.1.4. (Chuyºn ëng cõa ch§t iºm)(xem [7])
Mët vªt khèi l÷ñng m ÷ñc bn l¶n theo ph÷ìng ùng vîi vªn tèc ban ¦u (t0 = 0) v0. Gi£ thi¸t lüc c£n trung b¼nh cõa mæi tr÷íng t¿ l» thuªn vîi vªn tèc (R = βv). X¡c ành ë cao cüc ¤i cõa vªt?
T¤i thíi iºm t, lüc t¡c döng l¶n vªt m gçm trång lüc mg v lüc c£n trung b¼nh (R = βv). Vªn tèc v = x0, gia tèc a = v0 = x00.
Theo ành luªt II Newton ta câ:
mdv
dt = −R−mg. (2.3)
Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2.3) d÷îi d¤ng:
dv dt +
β
mv = −g.
Khi â, ph÷ìng tr¼nh tr¶n l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p mët.Ti¸n h nh gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta ÷ñc: v(t) =e−mβt. −gm β.e β mt +C . (2.4) Vîi t= 0, ta câ: v0 = −gmβ +C. Suy ra: C = v0 + gmβ.
0 = e−mβt(−gm β .e
β
m.tmax+v0 +gm β).
Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh, ta câ:
tmax = m β ln(1 + v0β mg). Tø (2.4)ta câ: x(t) =−gm β t+ (v0 +g m β )e −mβt. Vîi tmax = mβln(1 + v0β
mg), th¼ ë cao cüc ¤i cõa vªt ÷ñc x¡c ành bði:
xmax = m 2g β2 [βv0 mg −ln(βv0 mg + 1)]. V½ dö 2.1.5. (Vªt thº rìi)
Mët vªt thº rìi tø mët ë cao ð thíi iºm t = 0. N¸u h(t) l ë cao cõa vªt ð thíi iºm t, gia tèc a(t) v vªn tèc v(t) th¼ ta câ mèi li¶n h» giúa a, v, h:
a(t) = dv
dt v v(t) = dh dt.
èi vîi mët vªt thº rìi th¼ a(t) l h¬ng sè v b¬ng vîig = −9,8( m/s). K¸t hñp c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tr¶n ta ÷ñc: d2h dt2 = g. Tø â ta câ: dh dt = gt+v0. Do â: h(t) = 1 2gt 2 +v0t+h0.
Ph÷ìng tr¼nh tr¶n biºu di¹n ë cao cõa mët vªt rìi tø ë cao ban ¦u
h0 vîi vªn tèc ban ¦u v0.
V½ dö 2.1.6. (Dao ëng cõa lá xo)(xem [7])
Chóng ta xem x²t chuyºn ëng cõa mët vªt câ khèi l÷ñng m t¤i mët ¦u cõa mët c¡i lá xo ho°c l th¯ng ùng (nh÷ trong H¼nh 1) ho°c n¬m ngang tr¶n mët b· m°t b¬ng ph¯ng (nh÷ trong H¼nh 2).
Theo ành luªt Hooke, n¸u lá xo ÷ñc k²o gi¢n (ho°c n²n) x ìn và chi·u d i tü nhi¶n cõa nâ, th¼ nâ t¤o n¶n mët lüc t l» thuªn vîi x:
F n hçi = kx,
trong â k l h¬ng sè d÷ìng (÷ñc gåi l h» sè co gi¢n).
N¸u chóng ta bä qua måi lüc c£n (sùc c£n khæng kh½ ho°c ma s¡t), th¼ theo ành luªt thù hai cõa Newton (F = ma), ta câ:
md
2x
dt2 = −kx hay md
2x
dt2 +kx = 0. (2.5)
¥y l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh h» sè h¬ng c§p hai.
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng l mr2+k = 0 vîi c¡c nghi»m r = ±iω, trong
â ω =
q
k m.
V¼ vªy nghi»m têng qu¡t l :
x(t) = C1cosωt+C2sinωt,
câ thº vi¸t l¤i l :
x(t) = Acos(ωt+δ), trong â: ω = q k m (t¦n sè), A= pC12 +C22 (bi¶n ë), cosδ = c1 A, sinδ = −C2 A(δ l gâc pha).