V½ dö 2.1.1. (ành luªt Newton v· to£ nhi»t, h§p thu nhi»t) Mët vªt ÷ñc °t trong mët mæi tr÷íng duy tr¼ ð nhi»t ë Ta. ành luªt Newton nâi r¬ng tèc ë bi¸n êi cõa nhi»t ë T(t) cõa vªt t¿ l» vîi ë ch¶nh nhi»t giúa vªt â vîi mæi tr÷íng.
ành luªt Newton ÷ñc di¹n t£ b¬ng ph÷ìng tr¼nh:
T0(t) = r(T(t)−Ta), (2.1)
ð â r l h» sè t¿ l». Ph÷ìng tr¼nh (2.1) chùa h m ©n T(t) v ¤o h m
T0(t). ¥y l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët.
Gi£ sû r l mët h¬ng sè. Khi â (2.1)l mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh h» sè h¬ng. Gi£ sû t¤i thíi iºm ban ¦u t0 = 0, nhi»t ë cõa vªt l
T0. Khi â, tø (2.1) ta câ:
T0(t)−rT(t) = −rTa
⇒ T(t) = ert[
Z
−rTa.e−rtdt+C]
⇒T(t) = Ta + (T0 −Ta)ert. (2.2)
Trong thüc t¸, h» sè t¿ l» r phö thuëc c£ v o thíi gian v ë ch¶nh nhi»t ë T(t)−Ta. Tùc l :
r = r(t, T(t)−Ta).
Khi â, ph÷ìng tr¼nh (2.1) trð th nh ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n c§p mët. Vi»c t¼m nghi»m ch½nh x¡c T(t) b¥y gií trð n¶n khâ kh«n hìn, thªm ch½ "khæng thº". V¼ vªy, c¡c ph÷ìng ph¡p ành t½nh (nghi¶n cùu t½nh ch§t nghi»m) ÷ñc ph¡t triºn º ph¥n t½ch d¡ng i»u cõa nghi»m c¡c ph÷ìng
tr¼nh câ c§u tróc phùc t¤p n£y sinh tø c¡c mæ h¼nh thüc ti¹n.
V½ dö 2.1.2. Mët nhi»t k¸ ch¿ 700F ð trong nh . °t ð b¶n ngo i nìi câ nhi»t ë khæng kh½ l 100F, ba phót sau nhi»t ë ch¿ 250F. H¢y dü o¡n nhi»t ë ð nhúng thíi iºm kh¡c nhau.
Líi gi£i.
Gi£ sû T(t) l nhi»t ë cõa nhi»t k¸ ð thíi iºm t (phót). Theo · ta câ: T(0) = 700F, T(3) = 250F, Ta = 100F. p döng cæng thùc (2.2) ta câ: T(3) = 10 + (70−10)er.3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n, ta ÷ñc: r = −1 3 .ln 4.
Vªy nhi»t ë ÷ñc x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh:
T(t) = 10 + 60.e−31.t.ln 4
.
V½ dö 2.1.3. un sæi n÷îc rçi º nguëi trong pháng câ nhi»t ë ên ành
250C. Sau 12 phót nhi»t ë cõa n÷îc o ÷ñc 800C. Häi sau bao nhi¶u phót nhi»t ë cõa n÷îc l 700C?
Líi gi£i. p döng cæng thùc (2.2) vîi:
Ta = 250C l nhi»t ë cõa mæi tr÷íng xung quanh, tùc l nhi»t ë cõa pháng.
T0 = 1000C l thíi iºm m n÷îc sæi bt ¦u nguëi.
r l h» sè t¿ l», t= 12 phót. Ta câ:
Ph÷ìng tr¼nh trð th nh: 80 = 25 + 75e12r. Ti¸n h nh gi£i ph÷ìng tr¼nh ta nhªn ÷ñc: r = 1 12ln 55 75. Vîi Ta = 700C ta câ ph÷ìng tr¼nh: 70 = 25 + 75ert. Gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n, ta câ: t ≈ 19,76 (phót).
Vªy sau kho£ng 19,76 phót th¼ nhi»t ë cõa n÷îc l 700C.
V½ dö 2.1.4. (Chuyºn ëng cõa ch§t iºm)(xem [7])
Mët vªt khèi l÷ñng m ÷ñc bn l¶n theo ph÷ìng ùng vîi vªn tèc ban ¦u (t0 = 0) v0. Gi£ thi¸t lüc c£n trung b¼nh cõa mæi tr÷íng t¿ l» thuªn vîi vªn tèc (R = βv). X¡c ành ë cao cüc ¤i cõa vªt?
T¤i thíi iºm t, lüc t¡c döng l¶n vªt m gçm trång lüc mg v lüc c£n trung b¼nh (R = βv). Vªn tèc v = x0, gia tèc a = v0 = x00.
Theo ành luªt II Newton ta câ:
mdv
dt = −R−mg. (2.3)
Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2.3) d÷îi d¤ng:
dv dt +
β
mv = −g.
Khi â, ph÷ìng tr¼nh tr¶n l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p mët.Ti¸n h nh gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta ÷ñc: v(t) =e−mβt. −gm β.e β mt +C . (2.4) Vîi t= 0, ta câ: v0 = −gmβ +C. Suy ra: C = v0 + gmβ.
0 = e−mβt(−gm β .e
β
m.tmax+v0 +gm β).
Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh, ta câ:
tmax = m β ln(1 + v0β mg). Tø (2.4)ta câ: x(t) =−gm β t+ (v0 +g m β )e −mβt. Vîi tmax = mβln(1 + v0β
mg), th¼ ë cao cüc ¤i cõa vªt ÷ñc x¡c ành bði:
xmax = m 2g β2 [βv0 mg −ln(βv0 mg + 1)]. V½ dö 2.1.5. (Vªt thº rìi)
Mët vªt thº rìi tø mët ë cao ð thíi iºm t = 0. N¸u h(t) l ë cao cõa vªt ð thíi iºm t, gia tèc a(t) v vªn tèc v(t) th¼ ta câ mèi li¶n h» giúa a, v, h:
a(t) = dv
dt v v(t) = dh dt.
èi vîi mët vªt thº rìi th¼ a(t) l h¬ng sè v b¬ng vîig = −9,8( m/s). K¸t hñp c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tr¶n ta ÷ñc: d2h dt2 = g. Tø â ta câ: dh dt = gt+v0. Do â: h(t) = 1 2gt 2 +v0t+h0.
Ph÷ìng tr¼nh tr¶n biºu di¹n ë cao cõa mët vªt rìi tø ë cao ban ¦u
h0 vîi vªn tèc ban ¦u v0.
V½ dö 2.1.6. (Dao ëng cõa lá xo)(xem [7])
Chóng ta xem x²t chuyºn ëng cõa mët vªt câ khèi l÷ñng m t¤i mët ¦u cõa mët c¡i lá xo ho°c l th¯ng ùng (nh÷ trong H¼nh 1) ho°c n¬m ngang tr¶n mët b· m°t b¬ng ph¯ng (nh÷ trong H¼nh 2).
Theo ành luªt Hooke, n¸u lá xo ÷ñc k²o gi¢n (ho°c n²n) x ìn và chi·u d i tü nhi¶n cõa nâ, th¼ nâ t¤o n¶n mët lüc t l» thuªn vîi x:
F n hçi = kx,
trong â k l h¬ng sè d÷ìng (÷ñc gåi l h» sè co gi¢n).
N¸u chóng ta bä qua måi lüc c£n (sùc c£n khæng kh½ ho°c ma s¡t), th¼ theo ành luªt thù hai cõa Newton (F = ma), ta câ:
md
2x
dt2 = −kx hay md
2x
dt2 +kx = 0. (2.5)
¥y l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh h» sè h¬ng c§p hai.
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng l mr2+k = 0 vîi c¡c nghi»m r = ±iω, trong
â ω =
q
k m.
V¼ vªy nghi»m têng qu¡t l :
x(t) = C1cosωt+C2sinωt,
câ thº vi¸t l¤i l :
x(t) = Acos(ωt+δ), trong â: ω = q k m (t¦n sè), A= pC12 +C22 (bi¶n ë), cosδ = c1 A, sinδ = −C2 A(δ l gâc pha).
¥y l lo¤i chuyºn ëng ÷ñc gåi l dao ëng i·u háa .
V½ dö 2.1.7. Mët lá xo khèi l÷ñng 2 kg câ ë d i tü nhi¶n 0,5 m . Mët lüc 25,6 N l c¦n thi¸t º duy tr¼ k²o d i lá xo ¸n ë d i 0,7 m. N¸u lá xo ÷ñc k²o d i tîi ë d i 0,7 m v sau ÷ñc th£ ra vîi vªn tèc ban ¦u 0, t¼m và tr½ cõa vªt thº t¤i thíi iºm t b§t ký.
Líi gi£i.
Tø ành luªt Hooke, lüc c¦n thi¸t · k²o gi¢n lá xo l :
k.(0,7−0,5) = 25,6.
Suy ra k = 128.
Thay k = 128 v m = 2 v o ph÷ìng tr¼nh (2.5) ta câ:
2d
2x
dt2 + 128x = 0. (2.6)
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng: 2r2 + 128 = 0.
Suy ra: r = 8i ho°c r = −8i.
Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.6) l : x(t) = C1cos 8t+C2sin 8t. (2.7) Ta câ: x(0) = 0,2. Tø ph÷ìng tr¼nh (2.7) câ: x(0) = C1. Suy ra: C1 = 0,2. ¤o h m ph÷ìng tr¼nh (2.7) ta ÷ñc: x0(t) =−8C1sin 8t+ 8C2cos 8t.
Theo · vªn tèc ban ¦u l 0 n¶n ta câ: x0(0) = 0.
Suy ra: C2 = 0. Vªy
x(t) = 1
5cos 8t.
V½ dö 2.1.8. Dao ëng tt d¦n
Ti¸p theo ta xem x²t chuyºn ëng cõa mët lá xo chàu mët lüc ma s¡t (trong tr÷íng hñp lá xo n¬m ngang nh÷ H¼nh 2) ho°c lüc gi£m ch§n (trong
tr÷íng hñp mët lá xo dåc di chuyºn thæng qua mët ch§t läng ). Mët v½ dö v· lüc gi£m ch§n l gi£m xâc trong mët chi¸c xe æ tæ ho°c mët chi¸c xe ¤p.
Chóng ta gi£ ành r¬ng lüc gi£m ch§n l t l» thuªn vîi vªn tèc cõa vªt v t¡c ëng ng÷ñc chi·u vîi chuyºn ëng. (i·u n y ¢ ÷ñc kh¯ng ành bði mët sè th½ nghi»m vªt lþ). V¼ vªy:
Fgi£m ch§n = −cdx dt,
trong â c l h¬ng sè d÷ìng, ÷ñc gåi l h» sè gi£m ch§n.
V¼ vªy trong tr÷íng hñp n y, ành lþ thù hai cõa Newton cho ta:
md 2x dt2 = F n hçi +Fgi£m ch§n = −kx−cdx dt, hay md 2x dt2 +cdx dt +kx = 0. (2.8) Ph÷ìng tr¼nh (2.8) l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p hai, ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa nâ l mr2 +cr+k = 0. Nghi»m c£ ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng l : r1 = −c+√ c2 −4mk 2m ; r2 = −c−√c2 −4mk 2m . Tr÷íng hñp 1: c2 −4mk > 0 (gi£m ch§n gi ).
Trong tr÷íng hñp n y, r1 v r2 l nhúng sè thüc kh¡c nhau, v
x = C1er1t +C2er2t.
Bði v¼ c, m v k ·u l c¡c sè d÷ìng, ta câ √c2 −4mk < c, n¶n r1 v
r2 ·u ¥m.
i·u â chùng tä r¬ng x → 0 khi t → ∞. Chó þ r¬ng c¡c dao ëng khæng x£y ra. (Câ thº cho vªt i qua và tr½ c¥n b¬ng mët l¦n, nh÷ng ch¿ mët l¦n.) i·u n y l doc2 > 4mk câ ngh¾a l câ mët lüc gi£m ch§n m¤nh (d¦u ë nhît cao ho°c mï) so vîi mët lá xo y¸u ho°c vªt nhä.
Tr÷íng hñp 2: c2 −4mk = 0 (gi£m ch§n tîi h¤n).
Tr÷íng hñp n y t÷ìng ùng vîi nghi»m r1 = r2 = −2cm, v nghi»m l :
Tr÷íng hñp n y l gi£m xâc l vøa õ º ng«n ch°n rung ëng. B§t ký gi£m ë nhît cõa ch§t läng d¨n ¸n sü rung ëng cõa c¡c tr÷íng hñp sau ¥y.
Tr÷íng hñp 3: c2 −4mk < 0 (gi£m ch§n non). Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng câ hai nghi»m phùc:
r1,2 = − c
2m ±iω vîi ω =
√
4mk −c2
2m .
Nghi»m ÷ñc cho bði:
x = e−2cmt
(C1cosωt) + C2sinωt.
Chóng ta th§y r¬ng nhúng dao ëng l gi£m d¦n bði nh¥n tè e−(2cm)t. Bði v¼ c > 0 v m > 0 , chóng ta câ −2cm < 0 n¶n e−(2cm)t → 0 khi t → ∞. i·u â bao h m x → 0 khi t → ∞ ngh¾a l chuyºn ëng gi£m d¦n v· 0 khi t t«ng.
V½ dö 2.1.9. (Mæ h¼nh vªn tèc tho¡t ly)(xem [7])
Mët b i to¡n vªt lþ thó và l t¼m vªn tèc ban ¦u nhä nh§t cho mët khèi l÷ñng tr¶n b· m°t tr¡i §t º tho¡t khäi tr÷íng h§p d¨n cõa tr¡i §t, gåi l vªn tèc tho¡t ly. ành luªt v¤n vªt h§p d¨n cõa Newton kh¯ng ành r¬ng lüc h§p d¨n lüc giúa hai vªt câ khèi l÷ñng t¿ l» thuªn vîi t½ch cõa hai vªt câ khèi l÷ñng v t l» nghàch vîi b¼nh ph÷ìng kho£ng c¡ch giúa chóng. èi vîi mët khèi l÷ñng m c¡ch và tr½ x tr¶n b· m°t tr¡i §t, lüc t¡c döng l¶n khèi l÷ñng cho bði:
F = −G M m
(R+ x)2, (2.9)
trong â M v R l khèi l÷ñng v b¡n k½nh cõa tr¡i §t v G l lüc h§p d¨n (h¬ng sè). D§u trø câ ngh¾a l lüc t¡c döng l¶n khèi l÷ñng m câ h÷îng gi£m x. Gia tèc g¦n nh÷ khæng êi g tr¶n b· m°t tr¡i §t t÷ìng ùng vîi gi¡ trà tuy»t èi cõa F
m khi x = 0:
g = GM
R2 ,
v g ≈ 9,8 m/s2.
(2.9) trð th nh:
mdv dt =
mgR2
(x+R)2. (2.10)
Gi£ sû mët t¶n lûa ÷ñc bn theo ph÷ìng th¯ng ùng h÷îng l¶n vîi vªn tèc ban ¦u l v0. Gåi h l ë cao cüc ¤i cõa t¶n lûa so vîi m°t §t. Ta s³ chùng minh ÷ñc: v0 = r 2gRh R+h. (2.11) Thªt vªy,ta câ: dv dt = dv dx. dx dt = dv dx.v. Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (2.10) ta ÷ñc: v.dv = − gR 2 (x+ R)2dx,
l ph÷ìng tr¼nh bi¸n sè ph¥n li. Gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n, ta ÷ñc:
v2 = 2gR 2 x+R +C. (2.12) Vîi t= 0 th¼ v = v0 v x(0) n¶n: C = v20 −2gR. Vªy ph÷ìng tr¼nh (2.12) trð th nh: v2 = 2gR 2 x+ R +v 2 0 −2gR.
Khi t¶n lûa ¤t ë cao cüc ¤i x = h th¼ v = 0, do â:
02 = 2gR 2 x+R +v 2 0 −2gR. Suy ra: v0 = r 2gRh R+h. °t ve = lim h→+∞v0 = lim h→+∞ r 2gRh h+R = limh→+∞ s 2gR 1 + Rh = r 2gR 1 + 0. Hay ve = √ 2gR.