Chương 2 : Xây dựng mô hình mơ phỏng khí động lực họ cƠ tơ
2.1. Cơ sở lí thuyết khí động học
Để mơ tả dịng chảy của môi chất bất kỳ một cách đầy đủ người ta thường sử dụng phương trình Navier-Stokes, được viết dưới dạng một hệ gồm 3 phương trình: phương trình bảo tồn khối lượng (cịn gọi là phương trình liên tục), phương trình bảo tồn động lượng và phương trình bảo tồn năng lượng.
Các nghiên cứu về khí động học ơ tơ đã chỉ ra rằng, dịng khí bao quanh ơ tơ là dòng chảy dưới âm với M < 0.3, nên có thể chấp nhận giả thiết là chất khí khơng chịu nén. Khi đó, bài tốn khí động học chỉ cịn lại hai phương trình: phương trình liên tục và phương trình bảo tồn động lượng. Các phương trình này có thể được viết dưới nhiều dạng khác nhau. Dưới dạng véc tơ, các phương trình mơ tả khí động học ơ tơ dưới dạng véc tơ được viết như sau:
Phương trình liên tục:
¿u=0⃗ (2.1)
Phương trình bảo tồn động lượng:
du⃗
dt =⃗F−
1
ρgradp+vΔu⃗ (2.2) Trong đó : u⃗ là vận tốc
ρ là khối lượng riêng của khơng khí p là áp suất
⃗F là thể tích đàn hồi
ν là độ nhớt động học của khơng khí
2.2. Mơ phỏng dịng chảy khơng khí
2.2.1. Các cơng cụ tốn học và ký hiệu quy ước
Các phương trình vi phân mơ tả dịng chảy khơng khí dưới dạng khai triển thường rất cồng kềnh, nên người ta thường sử dụng các cách viết khác nhau nhằm rút gọn nó.
a) Các tốn tử
Gradient của áp suất p: grandp=▽p=⃗i∂ p ∂ x+ ⃗j
∂ p ∂ y+ ⃗k
∂ p
∂ z (2.3) Trong đó i ,⃗ ⃗j,k⃗ là các véc tơ đơn vị.
Đối với véc tơ vận tốc u trong hệ tọa độ Đề Các (x, y, z) với các thành phần theo các phương tương ứng là u, v, w ta sử dụng ký hiệu u (hoặc u⃗):
u=⃗u=ui⃗+v⃗j+w⃗k Diverget:÷⃗u=▽.u=⃗ ∂ u ∂ x+ ∂ v ∂ y+ ∂ w ∂ z (2.4) Rotor:rot⃗u=| ∂i⃗ ∂ x u + ⃗j ∂ ∂ y v + ⃗ k ∂ ∂ z w| (2.5) Toán tử Laplace: Δ=▽2 = ∂2 ∂ x2+ ∂2 ∂ y2+ ∂2 ∂ z2 (2.6)
Đạo hàm toàn phần tử của hàm u (x, y, z, t):
du dt = ∂ u ∂ t+ ∂ u ∂ x dx dt+ ∂u ∂ y dy dt+ ∂ u ∂ z dz dt (2.7)
b) Các kí hiệu quy ước:
Các phương trình đạo hàm riêng viết dưới dạng khai triển thường rất dài, nên trong Đồ án sẽ sử dụng cách viết gọn với các ký hiệu quy ước sau :
∂j∂i- đạo hàm riêng của thành phần thứ i của u theo tọa độ j;
∂tp- đạo hàm riêng theo thời gian của p;
∂jui=∂ u1 ∂ x1+ ∂u2 ∂ x2+ ∂ u3 ∂ x3 (2.8) 2.2.2. Các phương trình mơ phỏng
a) Phương trình bảo tồn khối lượng
Với các ký hiệu quy ước trên đây, phương trình 2.1 được viết lại dưới dạng khai triển trong hệ tọa độ Đề Các như sau:
∂ u ∂ x+ ∂ v ∂ y+ ∂ w ∂ z =0 (2.9) Hoặc dưới dạng: ∂iui=0 (2.10)
b) Phương trình bảo tồn động lượng
Bằng cách chiếu phương trình 2.2 xuống các trục của hệ tọa độ (x, y, z) người ta thu được 3 phương trình:
∂u ∂ t +u ∂ u ∂ x+v ∂u ∂ y+w ∂ u ∂ z=Fx−1 ρ ∂ p ∂ x+v(∂∂ x2u2+ ∂2u ∂ y2+ ∂2u ∂ z2) ∂ v ∂ t+u ∂ v ∂ x+v ∂ v ∂ y+w ∂ v ∂ z=Fy−1 ρ ∂ p ∂ y+v(∂∂ x2v2+ ∂2v ∂ y2+ ∂2v ∂ z2) (2.11) ∂ w ∂ t +u ∂ w ∂ x+v ∂ w ∂ y+w ∂ w ∂ z =Fy−1 ρ ∂ ∂ z+v(∂∂ x2w2+ ∂2w ∂ y2+ ∂2w ∂ z2) Trong đó: Fx, Fy, Fzlà các thành phần của lực thể tích.
Nếu bỏ qua lực thể tích (do khối lượng riêng của khơng khí rất nhỏ), phương trình trên có thể được viết gọn lại dưới dạng như sau:
∂tui+uj∂jui=−1
ρ ∂ip+v ∂jui (2.12) Số hạng cuối cùng của phương trình trên đặc trưng cho lực cản nhớt. Nếu gọi ứng suất nhớt trên một thể tích ngun tố của chất khí là τij (hình 2.1), thì phương trình
2.12 có thể viết dưới dạng:
∂tui+uj∂jui=−1
ρ ∂ip+1
ρ∂jτij (2.13)
Hình 2.30 Các thành phần ứng suất trên khối chất lỏng
Như vậy, để mơ tả dịng chảy khơng khí bao quanh vỏ xe ơ tơ, ta có hệ phương trình:
{ ∂iui=0
∂tui+uj∂jui=−1
ρ ∂ip+v ∂jui (2.14) Về nguyên tắc, đây là bài tốn khép kín. Tuy nhiên, cho tới nay hệ phương trình này vẫn chưa có lời giải lý thuyết đầy đủ và các nhà nghiên cứu vẫn phải sử dụng các phương pháp và cơng cụ gần đúng để tính tốn dịng chảy khí động học ơ tơ.
Khó khăn lớn nhất trong việc giải bài tốn khí động học nằm ở mức độ phức tạp của các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Vì vậy, để giải bài toán này, trong đại đa số các trường hợp các nhà nghiên cứu buộc phải chấp nhận các giả thiết đơn giản hóa. Điều này ít nhiều ảnh hưởng đến tính xác thực và độ chính xác của kết quả. Mặc dù
vậy, tùy theo mục đích nghiên cứu và yêu cầu về cấp độ chính xác của bài tốn mà người ta có thể chấp nhận các giả thiết khác nhau để giảm bớt mức độ phức tạp của nó mà vẫn đạt được các kết quả mong muốn.
2.2.3. Các thơng số đặc trưng
Như đã trình bày trong Chương 1, các thơng số thường dùng để đánh giá dịng chảy khí động học là số Reynolds và số Mach. Số Reynolds thường được dùng để xác định trạng thái dòng chảy và được định nghĩa theo cơng thức 1.3:
Re=ρ∞u∞L µ∞
Có thể thấy rằng số Re chứa 3 thơng số có ảnh hưởng quyết định đến dịng chảy khơng khí: vận tốc u, kích thước L và độ nhớt µ. Vì vậy, ngồi việc được sử dụng để xác định trạng thái của dòng chảy, số Re cịn được sử dụng để đánh giá tính tương tự giữa hai dịng chảy trong nghiên cứu khí động lực học.
Số Mach được định nghĩa theo cơng thức 1.4:
M=u∞ a∞
Trong đó: L- thơng số hình học đặc trưng (m); µ- hệ số độ nhớt động lực (N.s/m2);
a- vận tốc truyền âm trong khơng khí (~ 330 m/s)
Các tính chất của dịng chảy phụ thuộc mạnh vào số Mach nên phương pháp mô tả và nghiên cứu nó cũng được lựa chọn tùy theo M. Người ta thường phân loại dòng chảy theo Mach như sau:
M < 0,3: dịng chảy khơng nén. M < 1: dòng chảy dưới âm. M ≈ 1: dòng chảy cận âm. M > 1: dịng chảy siêu âm.
Đối với dịng chảy khơng khí bao quanh vỏ xe ô tô, vận tốc thường không lớn nên số M cũng rất nhỏ. Chẳng hạn, với vận tốc 300 km/h (chỉ một số xe đua mới đạt được vận tốc này) thì M ≈ 0,25, nên khi nghiên cứu khí động học ơ tơ người ta thường sử dụng các mơ hình dịng chảy khơng nén. Giả thiết chất khí là mơi chất khơng chịu nén giúp cho các nhà nghiên cứu đơn giản hóa được phương trình Navier - Stokes, đưa nó trở thành bài tốn có mức độ phức tạp thấp hơn rất nhiều.
Ngồi 2 thơng số trên, để nghiên cứu sự phân bố áp suất trên vỏ xe, người ta thường sử dụng áp suất không thứ nguyên Cp:
Cp=p−p∞ ρu∞2
2
(2.15)
Trong đó: p là áp suất tại điểm đang xét
p∞ và u∞ là áp suất và vận tốc tại điểm quy chiếu (ở xa vùng nhiễu
động do vật cản nằm trong dòng chảy và khơng chịu ảnh hưởng của nó).
Sự phân bố áp suất trên vỏ xe chỉ rõ vị trí hình thành các vùng xốy thấp áp. Vì vậy, Cp được coi là thơng số rất quan trọng trong việc phân tích, đánh giá và hồn thiện dạng khí động học của vỏ xe. Áp suất trong dịng chảy bao quanh vỏ xe có thể được xác định bằng phương pháp tính tốn mơ phỏng hoặc bằng cách đo đạc thực nghiệm.
2.2.4. Mơ phỏng dịng chảy rối
Như đã trình bày trên đây, khó khăn chính của bài tốn khí động lực học ô tô là việc giải một hệ các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Tuy nhiên, trong thực tế vấn đề cịn phức tạp hơn nữa do dịng chảy khơng khí bao quanh vỏ xe ơ tơ là dịng rối. Trong điều kiện này, các thơng số của dịng chảy (u, v, w và p) tại một điểm bất kỳ trong không gian biến thiên liên tục theo thời gian. Mức độ phức tạp của bài tốn phụ thuộc vào kích thước của dịng rối, thời gian tồn tại và tốc độ biến thiên của các thơng số của nó.
Để giải quyết các vấn đề trên, các nhà nghiên cứu đã phải đưa ra các phương pháp khác nhau để mô tả các thông số của dịng rối. Tùy theo cách mơ tả dịng rối mà các người ta có được các mơ hình khác nhau để giải bài tốn khí động học ơ tơ. Dưới đây là một số mơ hình thơng dụng.
Hiện nay, để giải bài tốn khí động học ơ tơ trong điều kiện dòng chảy rối, người ta sử dụng hai phương pháp sau: giải trực tiếp phương trình Navier - Stokes (Direct Numerical Simulation, viết tắt là DNS) hoặc sử dụng các mơ hình dịng rối.
a) Mơ phỏng trực tiếp (DNS)
Ở đây, người ta sử dụng trực tiếp phương trình Navier - Stokes làm mơ hình tốn học mơ tả dịng chảy rối. Đây là bài tốn mơ tả chính xác nhất dịng chảy khí động học ơ tơ. Tuy nhiên, bài tốn có mức độ phức tạp rất cao, việc tính tốn gặp phải những vấn đề nan giải do kích thước của dịng rối và thời gian tồn tại của chúng rất nhỏ và vì vậy, thường dẫn đến những khó khăn sau:
- Kích thước của lưới và bước chia thời gian quá nhỏ. - Thời gian tính tốn rất lớn.
- Bị giới hạn bởi số Reynolds thấp.
Với những khó khăn trên, phương pháp DNS hiếm khi được sử dụng để nghiên cứu dịng chảy khí động lực học ơ tơ.
b) Các mơ hình dịng rối
Do các thơng số của dịng rối biến thiên liên tục, nên để mơ tả một thơng số a bất kỳ của nó, người ta giả thiết như sau:
ɑ=ɑ+ɑ'
Nghĩa là, thông số bất kỳ a của dịng chảy khơng khí được biểu diễn như tổng của hai thành phần: thành phần không biến động a là giá trị trung bình của ɑ và thành phần biến động ɑ'. Nếu xét trong khoảng thời gian là T, giá trị trung bình của đại lượng
ɑ được tính như sau:
ɑ=1 T∫
0
T
ɑ(t)dt (2.16)
Với giả thiết trên, vận tốc theo 3 phương và áp suất chất lỏng được mô tả bằng các biểu thức sau:
ui=ui+ui'
(2.17)
p=p+p'
(2.18) Nếu thay các thành phần vận tốc và áp suất trên vào phương trình 2.14, người ta thu được các phương trình ở dạng trung bình hóa. Các phương trình này cịn được gọi là phương trình Reynolds Navier - Stokes trung bình hóa (Reynolds Average Navier Stokes, viết tắt là RANS):
∂iui=0
∂tui+uj∂iui=−1
ρ ∂ip+1
ρ∂j(τij−ρ ui'u'j
) (2.19)
Trong phương trình trên, ta thấy xuất hiện thêm một ẩn số là ρui'u'j đặc trưng cho ứng suất của dòng rối và thường được gọi là ứng suất Reynolds. Để tiện cho việc sử dụng, người ta ký hiệu ứng suất của dịng rối là τij
t
, khi đó:
τijt=−ρui'u'j
Việc xuất hiện thêm một ẩn số làm cho bài tốn trở nên khơng khép kín và khơng thể giải được. Có nghĩa là, để giải bài tốn với các phương trình Reynolds trung bình hóa, người ta buộc phải mơ tả mối quan hệ giữa τijt
với các thơng số của dịng chảy. Nếu như τijt được mô tả thông qua các thông số đã có trong hệ phương trình (2.14) thì hệ là khép kín, vì khi đó ứng suất Reynolds khơng cịn là ẩn số. Nhưng nếu mơ tả τij t
thơng qua các thơng số khác của dịng chảy thì các thơng số này sẽ là các ẩn số mới và đòi hỏi phải bổ sung thêm số phương trình tương ứng với số ẩn mới.
Như vậy, có thể thấy rằng việc mơ tả ứng suất của dịng rối τijt chính là tâm điểm của việc giải bài tốn RANS. Các nhà nghiên cứu đã tìm ra nhiều cách khác nhau để mơ tả τij
t
và cũng chính vì vậy mà sinh ra các mơ hình tính tốn khác nhau. Dưới đây là hai dạng mơ hình điển hình để giải phương trình RANS: các mơ hình dịng rối nhớt và mơ hình ứng suất Reynolds.
Các mơ hình dịng rối nhớt
Các mơ hình sử dụng giả thiết để mơ tả τijt thông qua một ten sơ biến dạng và độ nhớt dịng rối µt được gọi là mơ hình dịng rối nhớt. Ten sơ ứng suất nhớt được mơ tả như sau:
τij'=µt∂jui (2.21)
Khi đó phương trình động lượng có dạng:
∂tui+uj∂jui=−1
ρ ∂ip+1
ρ∂j((µ+µt)∂jui) (2.22) Về bản chất, độ nhớt dịng rối µt là một ten sơ bậc 4. Tuy nhiên, hầu hết các mơ
hình tính tốn đều giả thiết µt là đại lượng vô hướng nhằm giảm bớt mức độ phức tạp của bài tốn. Mặc dù vậy, việc mơ tả µt theo các đại lượng đặc trưng của dịng chảy
vẫn là khó khăn lớn nhất trong việc giải quyết bài toán này.
Tùy theo cách mơ tả µt mà người ta đưa ra các mơ hình dịng rối khác nhau. Các
mơ hình này thường được phân biệt theo số phương trình cần thiết để mơ tả µt. Dưới
đây là một số mơ hình điển hình.
Mơ hình với 0 phương trình
Độ nhớt dịng rối được mơ tả thơng qua các thơng số của dịng chảy như sau:
µt=ρlm2|∂yu(y)| (2.23) Với lm là độ dài đặc trưng của dịng rối.
Đây là loại mơ hình đơn giản nhất (ví dụ: mơ hình Prandt), nó khơng sử dụng thêm phương trình bổ sung nào để mơ tả µt. Chính vì vậy, mà mơ hình có tên là “mơ
hình với 0 phương trình”.
Mặc dù đơn giản, nhưng mơ hình dịng rối nhớt với 0 phương trình hầu như khơng được sử dụng trong nghiên cứu khí động lực học ơ tơ, do nó giả thiết dịng rối là mơi trường đồng nhất và điều này hồn tồn khơng phù hợp với thực tế dịng chảy bao quanh vỏ xe ơ tơ.
Mơ hình với một phương trình
Đại diện điển hình của mơ hình này là mơ hình Prandt Kolmogorov. Độ nhớt dịng rối được mơ tả thơng qua động năng k của nó:
µt=CµL√k (2.24)
Với: Cµ : là hệ số
L : là độ dài đặc trưng của dịng rối.
Như vậy, trong mơ hình xuất hiện thêm một ẩn số là k. Để giải được hệ phương
trình, người ta buộc phải đưa thêm vào mơ hình một phương trình mơ tả động năng của dịng rối thơng qua các thơng số của dịng chảy. Vì vậy, mơ hình này được gọi là “mơ hình với một phương trình”.
Động năng của dịng rối được mơ tả bằng phương trình sau:
∂tk+uj∂jk=∂i(vt∂ik)−Pt−k3/2
L (2.25)
v ớ i Pt=−ui'u'j(∂jui+∂iuj)
Mơ hình với một phương trình được coi là mơ tả tương đối đầy đủ các đặc trưng của các dịng chảy khí động. Tuy nhiên, các nghiên cứu đã chỉ ra rằng mơ hình này cũng khơng phù hợp với nghiên cứu khí động học ơ tơ do dịng chảy bao quanh vỏ xe có vùng xốy rất rộng và luôn tồn tại sự tương tác rất mạnh giữa các dịng xốy này [44]. Chỉ với một phương trình bổ sung là phương trình động năng (2.25) thì khơng thể mơ tả một cách đầy đủ các yếu tố đặc trưng trên. Chính vì vậy, mơ hình này khơng được sử dụng để nghiên cứu khí động học ơ tơ.
Mơ hình với hai phương trình
Đại diện điển hình của mơ hình với hai phương trình là mơ hình k - ε tiêu chuẩn. Ở đây, độ nhớt dịng rối được mơ tả thơng qua 2 thông số là động năng k và hệ số tán xạ năng lượng của dịng rối ε:
µt=Cµk2
Trong đó hệ số Cµ được coi là hằng số đặc trưng của mơ hình. Với cách mơ tả độ
nhớt của dịng rối như trên, mơ hình này có tên gọi là mơ hình k - ε.