Chúng ta biết rằng về mặt quang, ánh sáng là một loại sóng điện từ, là sóng ngang, do vậy truyền sóng trong môi trường sóng tuân theo hệ phương trình Maxwell [11][15]:
𝛻 × 𝐸⃗ = − 𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡 (2.1) 𝛻 × 𝐻⃗⃗ = 𝜕𝐷⃗⃗ 𝜕𝑡 + 𝐽⃗⃗⃗ 𝑒 (2.2) 𝛻. 𝐷⃗⃗ = 𝜌⃗⃗⃗⃗ 𝑒 (2.3) 𝛻. 𝐵⃗ = 0 (2.4)
Ở đây, 𝐸⃗ là vectơ cường độ điện trường, 𝐻⃗⃗ là vectơ cường độ từ trường, D⃗⃗ là vectơ cảm ứng điện và B⃗⃗ là vectơ cảm ứng từ, J⃗⃗ 𝑒 là vectơ mật độ dòng điện, ρ⃗⃗⃗⃗ 𝑒 là các vectơ mật độ điện tích.
Trong môi trường quang học và vật liệu truyền sóng trong môi trường đẳng hướng, chúng ta có các giả thiết như sau:
- Không có điện tích tự do hoặc các nguồn dòng: 𝜌𝑒 = 0, 𝐽⃗⃗⃗ 𝑒= 0
- Vật liệu không có từ tính: hệ số từ thẩm tương đối μ𝑟= 1.
- Cường độ trường là đủ nhỏ để quan hệ giữa cảm ứng điện D và cường độ điện trường E là tuyến tính.
Theo nguyên lý toán tử, chúng ta có đẳng thức:
𝛻. (𝛻 × 𝐴 ) = 0 (2.5)
Với vectơ 𝐴 là từ thế vectơ.
Vectơ Poynting được định nghĩa là một tích có hướng sau:
𝑃
⃗⃗⃗ = 𝐸⃗ × 𝐻⃗⃗ (2.6)
Ta lại có các quan hệ giữa các đại lượng sau :
𝐷⃗⃗ = 𝜀𝑟𝜀0𝐸⃗ (2.7)
𝐵⃗ = 𝜇𝑟𝜇0𝐻⃗⃗ (2.8)
Thiết kế bộ tách ghép ba bước sóng 1310nm/1490nm/1550nm sử dụng ống dẫn sóng silic
Ở đây, ε𝑟 và μ𝑟 lần lượt là hằng số điện môi tương đối và hệ số từ thẩm tương đối,
ε0 và μ0 lần lượt là các hằng số độ điện thẩm tuyệt đối và độ từ thẩm tuyệt đối (trong chân không) có giá trị: ε0 = 8.854187817 × 10-12 𝐹/m và μ0 = 4𝜋× 10-7 H/m, 𝜎 là điện dẫn suất.
Sử dụng các phép biến đổi toán học cho các toán tử vectơ, từ các phương trình Maxwell kết hợp với đẳng thức [11]:
𝛻 × 𝛻 × 𝐴 = 𝛻. (𝛻. 𝐴 ) − 𝛻2𝐴 (2.10) Với: 𝐺𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 = ∇𝐴, 𝐷𝑖𝑣𝐴 = ∇. 𝐴⃗⃗⃗⃗ , 𝑅𝑜𝑡𝐴 = ∇ × 𝐴 ⃗⃗⃗ .
Và không có điện trường ngoài và môi trường truyền sóng không dẫn điện cũng như không có từ tính, chúng ta có thể thu gọn được các phương trình của hệ Maxwell là:
𝛻2𝐸⃗ − 𝜀𝑟𝜀0𝜇𝑟𝜇0𝜕
2𝐸⃗
𝜕2𝑡 = 0 (2.11)
𝛻2𝐻⃗⃗ − 𝜀𝑟𝜀0𝜇𝑟𝜇0𝜕2𝐻⃗⃗
𝜕𝑡2 = 0 (2.12)
Chú ý rằng ta có μ𝑟= 1 . Với trường điện từ là những sóng điện dao động điều hoà phụ thuộc thời gian, chúng ta có thể viết trong hệ toạ độ Descartes:
𝐸⃗ = 𝐸⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒 𝑗𝜔𝑡 (2.13)
𝐻⃗⃗ = 𝐻⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒 𝑗𝜔𝑡 (2.14)
Thế vào các phương trình (2.11) và (2.12), chúng ta thu được:
∇2E⃗⃗ + (k2− jωμ0) E⃗⃗ = 0 (2.15)
𝛻2𝐻⃗⃗ + (𝑘2− 𝑗𝜔𝜀𝑟𝜀0 ) 𝐻⃗⃗ = 0 (2.16) Với 𝑘 = 2π
λ0 √ε𝑟 = 2π
λ0𝑛 là biên độ vectơ sóng, 𝑛 =√ε𝑟 với n là hệ số chiết suất, ∇ và ∇2 lần lượt là các toán tử nabla (Hamilton) và toán tử Laplace [11], xác định như sau:
∇= (𝑖𝑥 ∂ ∂x , 𝑖𝑦 ∂ ∂y, 𝑖𝑧 ∂ ∂z ) (2.17) ∇2= ∂ 2 ∂x2 +∂ 2 ∂y2 +∂ 2 ∂z2 (2.18)
Với 𝑖𝑥 , 𝑖𝑦, 𝑖𝑧 lần lượt là các vectơ đơn vị trên trục 𝑥, 𝑦, 𝑧 của hệ toạ độ Decartes. Trong không gian 2 chiều, xét mặt phẳng 𝑥𝑦 thì phương trình điện trường viết là:
∂2E ∂x2 + ∂
2E
∂y2 + (𝑛2 (𝑥, 𝑦) 𝑘02 − 𝛽2 )𝐸 = 0 (2.19) Đây là phương trình Helmholtz [12] .
Chúng ta phân loại dựa trên các mode phân cực dựa trên đặc tính của các thành phần trường theo chiều dọc:
Thiết kế bộ tách ghép ba bước sóng 1310nm/1490nm/1550nm sử dụng ống dẫn sóng silic
- Một trường theo mode phân cực TE hay gọi là mode TE có 𝐸𝑧= 0 và 𝐻𝑧 ≠ 0 - Một trường theo mode phân cực TM hay gọi là mode TM có 𝐸𝑧≠ 0 và 𝐻𝑧 = 0 - Một trường có phân cực điện từ ngang TEM hay gọi là mode TEM có 𝐸𝑧 = 0 và
𝐻𝑧 = 0. Ống dẫn sóng điện môi trong hỗ trợ mode TEM
- Mode lai (Hybrid mode) là mode mà có đồng thời ≠ 0 và ≠ 0. Hybrid mode không xuất hiện trong planar waveguide nhưng tồn tại trong ống dẫn sóng không phẳng channel waveguide (ví dụ như ống dẫn sóng ridge/rib…) hay sợi quang.
-
Hình 2.1 Mô hình trường quang của một vài ống dẫn sóng thường sử dụng.