k 1 A n = X j
Nh÷ v“y, nâi chung a thuºc mºt mð rºng ⁄i sŁ cıa tr÷íng chøa c¡c h» sŁ
a~n v An.
4.1.3 B§t bi‚n vi ph¥n qua ph†p bi‚n Œi y = aw + b
Nh÷ ¢ ph¥n t‰ch ð tr¶n, ph†p bi‚n Œi y = aw + b ÷æc ph¥n t‰ch th nh hæp cıa hai ph†p bi‚n Œi ìn gi£n hìn l y = z + b v z = aw. Kþ hi»u a = (a0; a1; : : : ; an), A = (A0; A1; : : : ; An), ~a = (~a0; a~1; : : : ; a~n)
l c¡c bº h» sŁ trong c¡c ph†p bi‚n Œi th nh phƒn. Khi â ta câ hai t“p hæp c¡c b§t bi‚n nh÷ sau:
1. T“p hæp c¡c b§t bi‚n cıa ph†p bi‚n Œi y = z + b: In(A) := An
2. T“p hæp c¡c b§t bi‚n cıa ph†p bi‚n Œi z = aw:
1
J0(A) := A0Ann 1 :
Ta s‡ k‚t hæp c¡c b§t bi‚n n y ” suy ra c¡c b§t bi‚n cıa ph†p bi‚n Œi
hæp th nh. Vîi n 3 v I (A) n 1 n i An = n i 1
M°t kh¡c, ta câ c¡c b§t bi‚n Ii(A) = Ii(a), An = an, Ji(A) = Ji(~a). Tł â suy ra, vîi 2 i n
In i(a) ann 1 2, n j 1)i j i j Ji j (A)Jn j(A) + ( ni j n 1 n 1)i nii Jni 1(A)
In i(~a)
= n i 1
a~nn
1
V… v“y ta t…m ÷æc mºt t“p c¡c
b§t bi‚n cıa ph†p bi‚n Œi y = aw + b,
Vîi n 3 v n 2 I1(A) =A1 + =0 Xj = A1+
” k‚t hæp vîi c¡c b§t bi‚n trong ph†p bi‚n Œi z = aw, ta x†t b§t bi‚n
Ta câ K1(a) =K1(A) = A1+ =J1(A) + =J1(~a) + =K1(~a):
Tł â ta nh“n ÷æc mºt b§t bi‚n nœa cıa ph†p bi‚n Œi y = aw + b, â l K1(a):
Suy ra
1
n 1
An
( 1)n 1(n 1) Ann
L“p lu“n t÷ìng tü ta nh“n ÷æc mºt b§t bi‚n nœa cıa ph†p bi‚n Œi y = aw + b, â l
1
K0(a) := ann 1 I0(a); n 3:
ành lþ 4.4. Vîi n 3, hai ph÷ìng tr…nh vi ph¥n a thøc (4.1) v (4.8) l t÷ìng ÷ìng qua ph†p bi‚n Œi y = aw + b n‚u v ch¿ n‚u
8Ki(a) = Ki(~a); 2 i n 2 >K1(a) = K1(~a); > > > < > >K0(a) = K0(~a): > > > > :
Chøng minh. i•u ki»n cƒn cıa ành lþ ÷æc suy ra tł c¡c t‰nh to¡n ð tr¶n. Ta ch¿ cƒn chøng minh phƒn £o. Gi£ sß c¡c b§t bi‚n ÷æc thäa m¢n. Gåi 1 v 1 l c¡c phƒn tß thäa m¢n c¡c ph÷ìng tr…nh
Khi â ph†p bi‚n Œi y = 1u + 1 bi‚n ph÷ìng tr…nh (4.1) th nh u0 = un + an 2un 2
trong â an i = Ki(a); (2 i n 2); a1 = K1(a); a0 = K0(a): T÷ìng tü, chån 2 v
w = 2u + 2 bi‚n ph÷ìng tr…nh (4.8) th nh
vîi bn i = Ki(~a); (2 i n 2); b1
v• c¡c b§t bi‚n ta suy ra c¡c ph÷ìng tr…nh (4.1) v (4.8) ÷æc bi‚n Œi v• còng mºt ph÷ìng tr…nh trung gian. Do â hai ph÷ìng tr…nh l t÷ìng
÷ìng qua ph†p bi‚n Œi y = 1w +
2 2
Tł chøng minh ành lþ tr¶n chóng ta câ ngay h» qu£ sau.
H» qu£ 4.5. Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n a thøc (4.1), vîi n 3, l t÷ìng ÷ìng vîi d⁄ng chu'n t›c sau
u0 = un + Kn 2(a)un 2
+ + K1(a)u + K0(a); qua ph†p bi‚n Œi y = 1u + 1 vîi 1n 1 =
1 2
y0 = anyn + an 1yn 1 + + a1y + a0 y = z + b In(a) := an In i(a) := an i + (2 i n j=0 I0(a) := a0 + y = aw J (a) := a i i 1 i a nn J (a) := a 1 1 y = aw + b
1 I2(a)0 2