Trong Ch÷ìng 3, cho ta mºt c¡ch t…m nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt thuºc lîp t÷ìng ÷ìng autonom düa v o vi»c t…m mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa ph÷ìng tr…nh
autonom ⁄i di»n. Trong phƒn n y chóng tæi ÷a ra mºt c¡ch kh¡c ” x¡c ành nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa lîp ph÷ìng tr…nh t÷ìng ÷ìng autonom çng thíi tham sŁ hâa hœu t ÷æc. C¡c k‚t qu£ trong phƒn n y ÷æc tr…nh b y düa v o b i b¡o [5].
ành lþ 4.26. Cho F (y; y0) = 0 l mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc t÷ìng ÷ìng vîi mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n autonom. Khi â tçn t⁄i mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü cıa F (y; y1) = 0 ” ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t vîi nâ câ d⁄ng
dx
trong â u(t); v(t) 2 C(t) l c¡c h m hœu t theo t.
Chøng minh. V… ph÷ìng tr…nh F (y; y0) = 0 l t÷ìng ÷ìng vîi mºt ph÷ìng tr…nh autonom n¶n tçn t⁄i mºt ph†p bi‚n Œi M ” ( M F )(y; y0) = 0 l mºt ph÷ìng tr…nh autonom. V… ÷íng cong F (y; y1) = 0 l tham sŁ hâa
hœu t ÷æc n¶n ÷íng cong ( M F )(y; y1) = 0 công tham sŁ hâa hœu t ÷æc. Gi£ sß Q(t) = (u(t); v(t)) l mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü x¡c ành tr¶n C cıa ( M F )(y; y1) = 0. Khi â ph÷ìng tr…nh vi ph¥n
li¶n k‚t cıa ( M F )(y; y0) = 0 t÷ìng øng vîi Q(t) l
ành lþ 4.23, ¥y công l ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa F (y; y0) = 0 t÷ìng øng vîi ph†p tham sŁ hâa hœu t M 1 (Q(t)).
Trong [5, Theorem 3.1], chóng tæi ÷a ra mºt i•u ki»n ı ” mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt autonom v tham sŁ hâa hœu t ÷æc câ nghi»m tŒng qu¡t liouville m nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ l mºt tr÷íng hæp ri¶ng. Chóng tæi tŒng qu¡t k‚t qu£ n y ð kh‰a c⁄nh nghi»m tŒng qu¡t
⁄i sŁ cho lîp t÷ìng ÷ìng autonom cıa c¡c ph÷ìng tr…nh tham sŁ hâa hœu t ÷æc trong ành lþ sau.
ành lþ 4.27. Cho F (y; y0) = 0 l mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tr¶n C(x) tham sŁ hâa hœu t ÷æc v thuºc lîp t÷ìng ÷ìng autonom. Gi£ sß (u(t); v(t)) l mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü cıa F (y; y1) = 0
sao chov0((t))
u t F (y; y0) = 0 câ mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ.
Chøng minh. Chó þ r‹ng ành lþ 4.26 ch¿ ra sü tçn t⁄i cıa ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü (u(t); v(t)) ” u0(t)
2 C(t): Gi£ sß v(t)
Z u0(t)dt = A(t) v(t)B(t)
l mºt h m hœu t . Khi â ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa F (y; y0) = 0 t÷ìng øng vîi (u(t); v(t)) câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ x¡c ành bði
A(t) = B(t)(x + C);
vîi C l mºt h‹ng sŁ tòy þ. Tł â suy ra mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F (y; y0) = 0 ÷æc x¡c ành b‹ng k‚t thøc nh÷ sau
res (A(t) B(t)(x + C); yQ(t) P (t); t) ; P (t)
ð ¥y u(t) = .
V§n • bi”u di„n ÷æc t‰ch ph¥n c¡c h m hœu t b‹ng c¡c h m sì c§p ¢ ÷æc J. Liouville (1809-1882) nghi¶n cøu. Trong [29], R. H. Risch (1969) ¢ ÷a ra mºt thu“t to¡n x¡c ành t‰nh bi”u di„n ÷æc t‰ch ph¥n cıa h m hœu t b‹ng c¡c h m sì c§p. Nâi ri¶ng, düa v o thu“t to¡n cıa Risch ta
Trong [5, Proposition 3.1] chóng tæi chøng minh r‹ng t‰nh gi£i ÷æc liouville cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t l khæng phö thuºc v o vi»c chån ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü cıa ÷íng cong. Nâi ri¶ng, ta câ m»nh • sau.
M»nh • 4.28. Gi£ sß (u(t); v(t)) l mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü cıa ÷íng cong F (y; y1) = 0. Khi â t‰nh hœu t cıa t‰ch ph¥n Z
l khæng phö thuºc v o vi»c chån ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü cıa ÷íng cong F (y; y1) = 0.
Chøng minh. Th“t v“y, gi£ sß (~u(t); v~(t)) l mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü kh¡c cıa F (y; y1) = 0. Khi â, theo ành lþ 1.61, tçn t⁄i mºt
~
h m hœu t t = ’(t) sao cho
(~u(’(t)); v~(’(t))) = (u(t); v(t)): Ta câ
Z
Do â v‚ tr¡i l
Chó þ 4.29. Gƒn ¥y, N. T. Dat v cºng sü [10, Theorem 3.2], [11, The- orem 3.1] chøng minh r‹ng i•u ki»n Z
l i•u ki»n cƒn ” ph÷ìng tr…nh vi ph¥n tham sŁ hâa hœu t ÷æc thuºc lîp autonom F (y; y0) = 0 câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ. Trong lu“n ¡n n y, chóng tæi sß döng i•u ki»n cƒn n y m khæng tr…nh b y l⁄i chøng minh
nghi»m liouville cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n v nhœng k‚t qu£ chu'n bà li¶n quan.
Düa v o c¡c k‚t qu£ n¶u tr¶n chóng tæi ÷a ra mºt thu“t to¡n ” x¡c ành mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt thuºc lîp autonom v tham sŁ hâa hœu t ÷æc.
Thu“t to¡n 2
Input: F (y; y0) = 0 tham sŁ hâa hœu t ÷æc v thuºc lîp t÷ìng ÷ìng autonom qua ph†p bi‚n Œi M .
Output: T‰nh mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F (y; y0) = 0 n‚u câ. 1. Dòng Mt‰nh mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü (u(t); v(t)) cıa
F (y; y0) = 0 sao cho 2. T‰nh t‰ch ph¥n Z
t th… F (y; y0) = 0 khæng câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ. Ngo i ra, sang b÷îc 3.
3. °tA(t) = Z u0(t)dt v P (t) = u(t).
B(t)v(t)Q(t)
4. Nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F (y; y0) = 0 l
res (A(t) B(t)(x + C); yQ(t) P (t); t) = 0:
V‰ dö 4.30. Trong V‰ dö 4.25, chóng ta x†t ph÷ìng tr…nh khæng autonom tham sŁ hâa hœu t ÷æc (4.20)
F (y; y0) := (2y 2x 3)y02 + ( 8y + 8x + 10)y0 + 8y v chóng ta công ¢ ch¿ ra ph†p bi‚n Œi y = w + x, tøc l ÷a ph÷ìng tr…nh v• ph÷ìng tr…nh autonom
u0(t) 2 C(t).
Thæng qua ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü cıa G(w; w0) = 0, chflng h⁄n,
Q(t) =
chóng ta chån ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü cıa F (y; y0) = 0 nh÷ sau
M 1 (Q(t)) =
Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa F (y; y0) = 0 Łi vîi ph†p tham sŁ n y l
Ta câ Z dt
(t ph¥n li¶n k‚t câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ
nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F (y; y0) = 0 ÷æc x¡c ành bði k‚t thøc cıa hai a thøc theo t 8 >2(t 1)2(x + C) 1 > < >2y(t 1)2 > : â l 4y2 + ( 16x 12 8C)y + 4C2 + 9 + 4C + 16xC + 16x2 + 16x = 0: Ti‚p theo, chóng tæi tr…nh b y th¶m mºt v‰ dö ” minh håa r‹ng t ‰nh hœu t cıa t‰ch ph¥n ph÷ìng tr…nh li¶n k‚t l khæng phö thuºc v o vi»c chån ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü cıa ÷íng cong t÷ìng øng. V‰ dö 4.31. X†t ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt autonom tham sŁ hâa hœu t ÷æc
÷íng cong ⁄i sŁ t÷ìng øng câ th” ÷æc tham sŁ hâa hœu t bði
P(t) = (u(t); v(t)) =
Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t t÷ìng øng vîi P(t) l
B‹ng ph÷ìng ph¡p t‰ch ph¥n h m hœu t , ta nh“n ÷æc nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t l
1461t + t 219+43 = x + C; vîi C l h‹ng sŁ tòy þ. Khß t (sß döng k‚t thøc) tł h» ph÷ìng tr…nh 8146t + t + 43 = x + C > > <w = > > :
ta nh“n ÷æc a thøc tŁi ti”u cıa mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa G(w; w0) = 0 l
143591w + 41616 + 29784(x + C) + 53290(x + C)w+
(4.24) 5329(x + C)2 + 127896w2 = 0:
Ta câ th” chån ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü kh¡c l
Q(t) = t2
Khi â ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t t÷ìng øng vîi Q(t) l dt
dx câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ
Tł â suy ra nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa G(w; w0) = 0 l 24w2 w + (x + C)2 + 10(x + C)w = 0:
Chó þ 4.32. 1. Ta câ th” nh“n ÷æc nghi»m (4.25) tł nghi»m (4.24) b‹ng c¡ch thay C bði C
2. Trong v‰ dö tr¶n, n‚u ta l§y ’(t) = Q(’(t)) = P(t).
K T LU N CH×ÌNG 4
Trong ch÷ìng n y chóng tæi ch¿ ra mºt t“p c¡c b§t bi‚n cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n a thøc ( ành lþ 4.1, ành lþ 4.2, ành lþ 4.4) v ch¿ ra mºt d⁄ng chu'n t›c cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n a thøc düa v o c¡c b§t bi‚n n y (H» qu£ 4.5). Tł â ÷a ra mºt ti¶u chu'n ” ki”m tra sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n a thøc b“c n 3 ( ành lþ 4.4), nâi ri¶ng sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Abel (H» qu£ 4.13), v °c bi»t sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Riccati ( ành lþ 4.6).
Chóng tæi công ¢ ch¿ ra r‹ng ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc l mºt b§t bi‚n ( ành lþ 4.22). Tł â ÷a ra mºt i•u ki»n cƒn ( ành lþ 4.23) v i•u ki»n ı ( ành lþ 4.24) ” ki”m tra sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh
vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc. Düa v o i•u ki»n cƒn v i•u ki»n ı n y chóng tæi ÷a ra mºt thu“t to¡n (Thu“t to¡n 1) ” x¡c ành sü t÷ìng ÷ìng cıa hai ph÷ìng tr…nh vi ph¥n tham sŁ hâa hœu t ÷æc.
B¶n c⁄nh â, chóng tæi công ¢ ch¿ ra mºt d⁄ng chu'n t›c cıa ph÷ìng tr… nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ
hâa hœu t ÷æc thuºc mºt lîp t÷ìng ÷ìng autonom ( ành lþ 4.26). ÷a ra mºt i•u ki»n ı cho sü tçn t⁄i nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc autonom ( ành lþ 4.27). Tł â chóng tæi ÷a ra mºt thu“t to¡n kh¡c (Thu“t to¡n 2) ” x¡c ành mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt thuºc lîp autonom v tham sŁ hâa hœu t ÷æc.
KTLUN
Trong lu“n ¡n chóng tæi ¢ ⁄t ÷æc nhœng k‚t qu£ ch‰nh sau:
1. ÷a ra mºt sŁ t‰nh ch§t cıa b“c tŒng th” vi ph¥n cıa c¡c a thøc
vi ph¥n c§p mºt. â l t‰nh ch§t t÷ìng th‰ch cıa b“c Łi vîi ph†p nh¥n a thøc (M»nh • 2.7), t‰nh ch§t t÷ìng th‰ch cıa t¡c ºng nhâm vîi ph†p hæp th nh c¡c ¡nh x⁄ (M»nh • 2.9), t‰nh ch§t b§t bi‚n cıa b“c tŒng th”
vi ph¥n d÷îi t¡c ºng cıa nhâm c¡c ph†p bi‚n Œi Mobius ( ành lþ 2.11).
2. Thi‚t l“p mºt sŁ t‰nh ch§t b£o to n li¶n quan ‚n nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ d÷îi t¡c ºng cıa nhâm c¡c ph†p bi‚n Œi Mobius. Cö th”, chóng tæi chøng minh t‰nh ch§t b£o to n nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ ( ành lþ 3.8); ÷a ra c¡ch x¡c ành mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ tł mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt thuºc lîp autonom ( ành lþ 3.12); chøng minh giŁng cıa ÷íng cong
⁄i sŁ x¡c ành nghi»m b‹ng giŁng cıa ÷íng cong t÷ìng øng vîi ph÷ìng tr…nh vi ph¥n n‚u ph÷ìng tr…nh vi ph¥n thuºc lîp t÷ìng ÷ìng autonom ( ành lþ 3.13); ÷a ra mºt ch°n b“c mîi cho nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt thuºc lîp t÷ìng ÷ìng autonom ( ành lþ 3.14).
3. Ch¿ ra mºt t“p c¡c b§t bi‚n cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n a thøc ( ành lþ 4.1, ành lþ 4.2, ành lþ 4.4) v ch¿ ra mºt d⁄ng chu'n t›c cıa ph÷ìng
tr…nh vi ph¥n a thøc düa v o c¡c b§t bi‚n n y (H» qu£ 4.5). Tł â ÷a ra mºt ti¶u chu'n ” ki”m tra sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n a thøc b“c n 3 ( ành lþ 4.4), nâi ri¶ng sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Abel (H» qu£ 4.13), v °c bi»t sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr… nh vi ph¥n Riccati ( ành lþ 4.6).
4. Ch¿ ra r‹ng ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc l mºt b§t bi‚n ( ành lþ 4.22). Tł â ÷a ra mºt i•u ki»n cƒn ( ành lþ 4.23) v i•u ki»n ı ( ành lþ 4.24) ” ki”m tra sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc. Düa v o i•u ki»n cƒn v i•u ki»n
ı n y chóng tæi ÷a ra mºt thu“t to¡n (Thu“t to¡n 1) ” x¡c ành sü t÷ìng ÷ìng cıa hai ph÷ìng tr…nh vi ph¥n tham sŁ hâa hœu t ÷æc.
5. Ch¿ ra mºt d⁄ng chu'n t›c cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc thuºc mºt lîp t÷ìng ÷ìng autonom ( ành lþ 4.26). ÷a ra mºt i•u ki»n ı cho sü tçn t⁄i nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc autonom ( ành lþ 4.27). Tł â chóng tæi ÷a ra mºt thu“t to¡n kh¡c (Thu“t to¡n 2) ” x¡c ành mºt nghi»m tŒng qu¡t
⁄i sŁ cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt thuºc lîp autonom v tham sŁ hâa hœu t ÷æc.