(c y+ a )F A0 n¶n
3.2 Mºt sŁ t‰nh ch§t b£o ton cıa nghi»m
ành lþ 3.8. Cho F; G 2 AODE(1)K v gi£ sß F G. Khi â F câ mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ n‚u v ch¿ n‚u G câ mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ.
Chøng minh. Gi£ sß l mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F . Gi£ sß tçn
(1) ay + b
t⁄i M 2 GK x¡c ành bði M(y) = cy + d sao cho G = M F . Khi â F = M 1
G. V… F ( ; 0) = 0 n¶n
(c + d) F G( M ( ; 0)) = 0:
Suy ra M( ) l mºt nghi»m ⁄i sŁ cıa G v… c + d 6= 0. M°t kh¡c, gi£ sß H 2 AODE(1)K sao cho H( M ( ; 0)) = 0, ngh¾a l M 1 H 2 AODE(1)K tri»t ti¶u t⁄i . V… l mºt nghi»m tŒng qu¡t cıa F n¶n
M 1 H 2 fF g : SF ;
trong â SF l t¡ch (separant) cıa F . Tł F = M 1 G ta suy ra SF = (cy + d) G @M @y SG( M ) = (cy + d) G 2(ad bc)SG( M ) v do â ( M 1 H) SF 2 fF g hay l ( M 1H) (cy + d) G 2 (ad bc)SG( M ) 2 f M 1 Gg: Cho M t¡c ºng l¶n t‰ch ð tr¶n, tł M»nh • 2.9 ta suy ra HSG 2 fGg, tøc l H 2 fGg : SG. Do â M( ) l mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa G.
Rª r ng, ta ch¿ cƒn t‰nh mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt autonom. Khi â, ta câ mºt nghi»m
tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr…nh khi ta thay bi‚n x th nh x + c vîi h‹ng sŁ tòy þ c. Sü tçn t⁄i nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ câ t‰nh ch§t b£o to n qua lîp t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt. C¥u häi tü nhi¶n ÷æc °t ra l nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa ph÷ìng tr…nh
vi ph¥n trong lîp autonom c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt ÷æc hi”u nh÷ th‚ n o.
ành ngh¾a 3.9. Cho c 2 C l h‹ng sŁ, ta ành ngh¾a ¡nh x⁄ tành ti‚n Tc : AODE(1)K ! AODE(1)K
bði
Tc ? F = F (x + c; y; y0) vîi måi F 2 AODE(1)K:
Kh¡i ni»m ph÷ìng tr…nh autonom câ th” ÷æc ph¡t bi”u l⁄i düa v o ¡nh x⁄ tành ti‚n Tc nh÷ sau.
M»nh • 3.10. F 2 AODE(1)K l autonom n‚u v ch¿ n‚u Tc ? F = F vîi måi c 2 C.
Chøng minh. Rª r ng, n‚u F l autonom th… måi h» sŁ cıa F l h‹ng. Do â Tc ? F = F vîi måi c 2 C. Ng÷æc l⁄i, gi£ sß Tc ? F = F vîi måi c 2 C. Gi£ sß a ; (x) l mºt h» sŁ kh¡c h‹ng cıa F t÷ìng øng vîi ìn thøc y y0 , tøc l degx a ; (x) = k > 0. V… Tc ? F F = 0 n¶n måi h» sŁ cıa a thøc hi»u çng nh§t b‹ng khæng, nâi ri¶ng, ta câ a ; (x + c) a ; (x) = 0 vîi måi c 2 C. Do â a thøc a ; (x + c) a ; (x) l mºt a thøc b“c k theo c câ væ h⁄n nghi»m c. i•u n y khæng x£y ra, v“y måi h» sŁ cıa F •u l h‹ng.
Ta th§y r‹ng F 2 AODE(1)K thuºc mºt lîp autonom n‚u tçn t⁄i M 2 GK(1) sao cho Tc ? ( M F ) = M F; 8c 2 C; tøc l
M 1 (Tc ? ( M F )) = F; 8c 2 C:
ành ngh¾a 3.11. Cho F 2 AODE(1)K thuºc lîp autonom v M l mºt ph†p bi‚n Œi sao cho M F l autonom. Mºt nghi»m ⁄i sŁ P (x; y) = 0 cıa F (y; y0) = 0 tr¶n C(x) ÷æc gåi l khæng tƒm th÷íng t÷ìng øng vîi Mn‚u degx(
M P ) > 0.
Chó þ r‹ng khi chóng ta x†t c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt autonom v M l ¡nh x⁄ çng nh§t th… ành ngh¾a n y tròng vîi ành ngh¾a
3.4 cıa nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng ÷æc ÷a ra trong [2].
ành lþ 3.12. Cho F (y; y0) = 0 l mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt trong lîp autonom v M l ph†p bi‚n Œi sao cho M F = 0 l autonom. Gi£ sß P (x; y) = 0 l mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa F (y; y0) = 0 tr¶n C(x) t÷ìng øng vîi M . Khi â M 1 (Tc?( M P )) = 0 l mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr…nh F (y; y0) = 0, trong â c l h‹ng sŁ tòy þ.
Chøng minh. Gi£ sß P (x; y) = 0 l mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt F (y; y0) = 0 t÷ìng øng vîi M . Khi â ph÷ìng tr…nh vi ph¥n M F = 0 l autonom v câ mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng l M P = 0. Tł â suy ra Tc ? ( M P ) = 0 l mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n M F = 0. Do â M 1 (Tc ? ( M P )) = 0 l mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt F (y; y0) = 0.
ành lþ 3.13. Gi£ sß ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt F (y; y0) = 0 thuºc lîp autonom v P (x; y) = 0 l mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa ph÷ìng tr…nh F (y; y0) = 0 t÷ìng øng vîi M . Khi â, giŁng cıa ÷íng cong ⁄i sŁ P (x; y) = 0 b‹ng giŁng cıa ÷íng cong ⁄i sŁ F (y; y0) = 0.
Chøng minh. V… ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt F (y; y0) = 0 thuºc lîp autonom n¶n tçn t⁄i mºt ph†p bi‚n Œi song hœu t M sao cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n M F = 0 l autonom. Khi â M P = 0 l mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa ph÷ìng tr…nh M F = 0. Theo [2, Lemma 3.5], giŁng cıa M P = 0 b‹ng giŁng cıa M F = 0. Do M l mºt ph†p bi‚n Œi song hœu t n¶n giŁng cıa P (x; y) = 0 v giŁng cıa F (y; y0) = 0
b‹ng nhau.
3.3 Mºt ch°n b“c cho nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ
Theo [2, Theorem 3.4 v Theorem 3.8], b“c cıa mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt autonom F (y; y0) = 0 l bà ch°n. Chóng ta sß döng k‚t qu£ n y ” t…m ra mºt ch°n b“c mîi cho nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt trong lîp t÷ìng ÷ìng autonom cıa nâ. — ¥y khi nâi b“c cıa mºt nghi»m ⁄i sŁ chóng ta hi”u l b“c cıa a thøc tŁi ti”u cıa nâ tr¶n tr÷íng cì sð. K‚t qu£ ch ‰nh cıa möc n y l ành lþ sau.
ành lþ 3.14. Cho F 2 AODE(1)K v gi£ sß tçn t⁄i M 2 GK(1) sao cho M F l ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ autonom. Khi â, b“c cıa mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F (y; y0) = 0 tr¶n K bà ch°n tr¶n bði
cıa a; b; c; d nhä hìn N, th… b“c theo x cıa a thøc tŁi ti”u cıa nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F (y; y0) = 0 nhä hìn degy0 F + N( F + degy0 F ). Chøng minh. Theo ành lþ 2.11, ta câ
degy0 G = degy0 F; degy G F:
Gi£ sß Q(x; y) l a thøc b§t kh£ quy cıa mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng y^ cıa ph÷ìng tr…nh G(y; y0) = 0 tr¶n C(x). V… G(y; y0) = 0 l mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt autonom n¶n theo [2, Theorem 3.8] suy ra
degx Q = degy0 G v degy Q degy G+degy0 G F +degy0 F: (3.1) Rª r ng M 1(^y) l
sß M(y) =
Suy ra M 1(^y) l
l M 1(^y) l mºt phƒn tß ⁄i sŁ tr¶n K vîi b“c khæng qu¡ degy Q. B§t flng thøc (3.1) suy ra M 1(^y) l mºt phƒn tß ⁄i sŁ tr¶n K vîi b“c khæng qu¡ ( F + degy0 F ). V… b“c cıa mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng v b“c cıa mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa G = 0 b‹ng nhau n¶n phƒn ƒu cıa ành lþ ÷æc chøng minh.
V… degx Q = degy0 G = degy0 F v degy Q F + degy0 F n¶n theo M»nh • 2.13 suy ra b“c theo x cıa a thøc tŁi ti”u cıa mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt F (y; y0) = 0 nhä hìn degy0 F + N( F + degy0 F ). Phƒn sau cıa ành lþ ¢ ÷æc chøng minh.
L÷u þ r‹ng vîi ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt autonom th… b“c cıa mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F = 0 bà ch°n tr¶n bði degy0 F + degy F , ⁄i l÷æng n y nhä hìn ho°c b‹ng degy0 F + F . Nâi c¡ch kh¡c, khi ta h⁄n ch‚ l¶n c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt autonom th… ch°n b“c s‡ cao hìn. i•u n y câ lþ v… ch°n b“c cıa chóng tæi ¡p döng cho lîp c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt rºng hìn v lîp n y chøa c¡c ph÷ìng tr…nh autonom. ” t‰nh nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr… nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt F = 0 trong lîp autonom, ta câ th” sß döng Thu“t to¡n 4.4 trong [2] ” t‰nh mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa
M F . N‚u MF khæng câ nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng th… k‚t lu“n F = 0 khæng câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ . N‚u Q(x; y) = 0 l nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa M F = 0 nh“n ÷æc tł b÷îc 1 th…
( cy + a)degy Q
Q(x + C; M 1(y)) = 0
l mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F = 0 vîi C l h‹ng sŁ tòy þ. V‰ dö 3.15. X†t ph÷ìng tr…nh khæng autonom F y; y0 ( ) = 7 + + ( 2x y + (4x3 Ta câ F = 7. °t M(y) = xy F (y; y0) = 0 th nh ph÷ìng tr…nh G(y; y0) = M F = x7[(1
v ph÷ìng tr…nh n y t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr…nh autonom
(1 2y3 + 4y2)y02 + ( 2y5 8y2 + 8y)y0 + 4 y4 4y = 0:
Ta ki”m tra ÷æc ph÷ìng tr…nh G(y; y0) = 0 câ nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng
Q(x; y) = xy2 y + x2 + 1 = 0: Do â, nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa G(y; y0) = 0 l
Q(x + c; y) = (x + c)y2 y + (x + c)2 + 1 = 0; vîi c l h‹ng sŁ tòy þ. a thøc
M 1 Q(x + c; y) = Q (x + c; xy 1) =
=(cx2 + x3)y2 + ( 2xc 2x2 x)y + x2 + c + x + 2 + 2xc + c2 l a thøc tŁi ti”u cıa nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F (y; y0) = 0.
Chó þ r‹ng ÷íng cong ⁄i sŁ M 1 Q(x + c; y) = 0 câ giŁng b‹ng 1, còng giŁng vîi ÷íng cong ⁄i sŁ F (y; y0) = 0. Trong v‰ dö n y, b“c cıa nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ l 2 v ch°n b“c l degy0 F + F = 2 + 7 = 9.
Chó þ 3.16. Chóng tæi gi£ thi‚t r‹ng F (y; y0) = 0 l t÷ìng ÷ìng vîi mºt ph÷ìng tr…nh autonom qua ph†p bi‚n Œi M . V§n • x¡c ành li»u F (y; y0) = 0 câ t÷ìng ÷ìng vîi mºt ph÷ìng tr…nh autonom hay khæng l mºt v§n • mð. Trong ch÷ìng sau chóng tæi gi£i quy‚t v§n • n y khi bi‚t th¶m gi£ thi‚t r‹ng F (y; y0) = 0 l mºt ph÷ìng tr…nh tham sŁ hâa hœu t ÷æc.
K T LU N CH×ÌNG 3
Trong ch÷ìng n y chóng tæi thi‚t l“p mºt sŁ t‰nh ch§t b£o to n li¶n quan ‚n nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ d÷îi t¡c ºng cıa nhâm c¡c ph†p bi‚n Œi Mobius. Cö th”, chóng tæi chøng minh t‰nh ch§t b£o to n nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ ( ành lþ 3.8); ÷a ra c¡ch x¡c ành mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ tł mºt nghi»m ⁄i sŁ khæng tƒm th÷íng cıa mºt ph÷ìng tr… nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt thuºc lîp autonom ( ành lþ 3.12); chøng minh giŁng cıa ÷íng cong ⁄i sŁ x¡c ành nghi»m b‹ng giŁng cıa ÷íng cong t÷ìng øng vîi ph÷ìng tr…nh vi ph¥n n‚u ph÷ìng tr…nh vi ph¥n thuºc lîp t÷ìng ÷ìng autonom ( ành lþ 3.13); ÷a ra mºt ch°n b“c mîi cho nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt thuºc lîp t÷ìng ÷ìng autonom ( ành lþ 3.14).
Ch֓ng 4
Sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc
Cho K l mºt mð rºng hœu h⁄n cıa tr÷íng vi ph¥n C(x). T“p hæp c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n hœu t d⁄ng y0 = R(x; y); trong â R(x; y) l h m hœu t theo y vîi h» sŁ tr¶n K, l âng d÷îi t¡c ºng cıa c¡c ph†p
bi‚n Œi Mobius a; b; c; d 2 K; ad
chu'n ki”m tra sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n a thøc d⁄ng y0 = P (x; y) vîi P l mºt a thøc theo y vîi h» sŁ tr¶n K. Tł â chóng tæi ÷a ra mºt i•u ki»n cƒn v mºt i•u ki»n ı ” ki”m tra sü t÷ìng ÷ìng giœa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc (tøc l giŁng ÷íng cong b‹ng 0).