y0 =a 3 y3 +a 2 y 2 + a
4.4 Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ
hâa hœu t ÷æc
ành ngh¾a 4.20. Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt F (y; y0) = 0 tr¶n C(x) ÷æc gåi l tham sŁ hâa hœu t ÷æc n‚u ÷íng cong ⁄i sŁ t÷ìng øng F (y; y1) = 0 l hœu t .
C¡c k‚t qu£ trong Phƒn 1.3 v• c¡c ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü s‡ ÷æc sß döng th÷íng xuy¶n, °c bi»t l ành lþ 1.61.
Cho F (y; y0) = 0 l mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tr¶n C(x) tham sŁ hâa hœu t ÷æc. Gåi P(t) = (u(t); v(t)) l mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü cıa F (y; y ) = 0, trong â u(t) v v(t) l hai h m hœu 1
t tr¶n tr÷íng mð rºng hœu h⁄n K cıa C(x). Ta vi‚t u(t; x) v v(t; x) ” bi”u di„n sü phö thuºc cıa c¡c h m u v v v o x.
” t…m mºt nghi»m cıa F (y; y0) = 0 thæng qua ph†p tham sŁ hâa hœu t P(t) = (u(t); v(t)), ta t…m h m t(x) sao cho
dxdu(t(x); x) = v(t(x); x) tøc l
@u(t; x) dt
ành ngh¾a 4.21. Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa F (y; y0) = 0 Łi vîi P(t) = (u(t); v(t)) l
dt dx =
V‚ ph£i cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t l mºt h m hœu t theo t vîi h» sŁ tr¶n K. N‚u t(x) l mºt nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (4.19) th… u(t(x))
l mºt nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh F (y; y0) = 0. Chó þ r‹ng a thøc tŁi ti”u cıa mºt nghi»m ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr…nh (4.19) x¡c ành mºt ÷íng cong
⁄i sŁ, ÷æc gåi l mºt ÷íng cong ⁄i sŁ b§t bi‚n (invariant algebraic curve). V§n • ch°n b“c cho c¡c ÷íng cong ⁄i sŁ b§t bi‚n ÷æc bi‚t vîi t¶n gåi B i to¡n Poincar† v ¢ ÷æc M. M. Carnicer (1994) nghi¶n cøu
v gi£i quy‚t trong tr÷íng hæp nondicritical trong [4]. Mºt khi ¢ câ mºt ch°n b“c cho c¡c ÷íng cong ⁄i sŁ b§t bi‚n, chóng ta câ th” t…m chóng düa v o thu“t to¡n cıa M. J. Prelle v M. F. Singer [28, 20] ” t…m t§t c£ c¡c ÷íng cong ⁄i sŁ b§t bi‚n .
Trong phƒn k‚ ti‚p, chóng tæi nghi¶n cøu t‰nh b§t bi‚n cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t qua ph†p bi‚n Œi song hœu t Mt÷ìng øng vîi
aw + b ph†p bi‚n Œi Mobius M(w) = cw + d.
ành lþ 4.22. Cho G = M F . Gi£ sß P(t) = (u(t); v(t)) l mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü cıa F (y; y1) = 0. °t Q(t) = M (P(t)). Khi
â G(w; w1) = 0 ÷æc tham sŁ hâa hœu t bði Q(t) v ph¥n li¶n k‚t cıa G(w; w0) = 0
ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa F (y; y0) = 0 Łi vîi ph†p tham sŁ hâa hœu t P(t).
Chøng minh. V… G = M F n¶n ta câ
G( M (P(t))) =( cu(t) + a) (F )F ( M1( M (P(t)))) =( cu(t) + a) (F )F (P(t)) = 0:
÷íng cong ⁄i sŁ G(w; w1) = 0. Hìn nœa, Q(t) l mºt ph†p tham sŁ hœu t thüc sü bði v… P l mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü v l song
hœu t . Ta câ
Q(t) =
Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t vîi ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü Q(t) cıa G(w; w0) = 0 l dt= @x @M dx v = @u @t
¥y công ch‰nh l ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa F (y; y0) = 0 Łi vîi ph†p tham sŁ hâa hœu t P(t).
Nâi c¡ch kh¡c, ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa F (y; y0) = 0 Łi vîi ph†p tham sŁ hâa hœu t P(t) l mºt b§t bi‚n cıa ph†p bi‚n Œi song hœu t
M : Düa v o b§t bi‚n n y chóng tæi ÷a ra mºt i•u ki»n cƒn ” ki”m tra sü t÷ìng ÷ìng cıa hai ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc.
hœu t ÷æc t÷ìng ÷ìng vîi nhau th… hai ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa chóng t÷ìng ÷ìng.
77
Chøng minh. Sß döng l⁄i c¡c kþ hi»u ð tr¶n, gi£ sß G = M F . Gi£ sß P(t) = (u(t); v(t)) l mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü cıa F (y; y1) = 0. °t Q(t) = M (P(t)). Theo ành lþ 4.22, hai ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t vîi P(t) v Q(t) l tròng nhau.
Q
Gi£ sß~(t~) l mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü kh¡c cıa G(w; w0) = 0. Khi â tçn t⁄i ; ; ; 2 C(x),6= 0 sao cho Q~(t~) = Q t~+
~ ~ Tł â suy ra ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t vîi Q(t) l ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t vîi Q(t).
ành lþ 4.24. Cho c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt tham sŁ hâa hœu t ÷æc F (y; y0) = 0 v G(w; w0) = 0 vîi c¡c ph†p tham sŁ hâa hœu ~ t thüc sü t÷ìng øng l P(t) = (u(t); v(t)) v Q(s) = (w(s); z(s)). Gi£ sß s = t + t + ph¥n li¶n k‚t t÷ìng øng vîi ; ; ; 2
M(u) =cu+d sao cho M (P(t)) = Q~ t+ th… M F = G.
au + b Chøng minh. V… G(Q~
(s)) = 0 n¶n ta câ G Q~ t += 0, tøc l
F:H. Do â G = M (F:H) = ( M F ):( M H). V… G l b§t kh£ quy n¶n ( M H) l phƒn tß thuºc tr÷íng K. V“y G t÷ìng ÷ìng vîi F .
Düa v o i•u ki»n cƒn v i•u ki»n ı trong hai ành lþ tr¶n chóng tæi ÷a ra thu“t to¡n sau ” x¡c ành sü t÷ìng ÷ìng cıa hai ph÷ìng tr…nh
vi ph¥n tham sŁ hâa hœu t ÷æc.
Thu“t to¡n 1
Input: F (y; y0) = 0, G(w; w0) = 0 tham sŁ hâa hœu t ÷æc
Output: ki”m tra hai ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt F (y; y0) = 0 vG(w; w0) = 0 câ t÷ìng ÷ìng qua ph†p bi‚n Œi Mobius M(u) = au + b cu + d.
1. T‰nh mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü P(t) = (u(t); v(t)) cıa
0 ~
F (y; y ) = 0 v mºt ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü Q(s) = (w(s); z(s)) cıa G(w; w0) = 0. @u(t) 2. T‰nh ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t vîi P(t), dt = v(t) @x : dx @u(t) 3. T‰nh ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t vîi Q(s), 4. N‚u ph÷ìng tr…nh z(s)
bi‚n Œi ph÷ìng tr…nh li¶n k‚t n y th nh ph÷ìng tr…nh li¶n k‚t kia.
7. T…m M(u) =
w t+ ; z
N‚u khæng tçn t⁄i M(u) = khæng t÷ìng ÷ìng. 8. N‚u t…m ÷æc M(u) =
t÷ìng ÷ìng qua ph†p bi‚n Œi M .
V‰ dö 4.25. X†t ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt khæng autonom F (y; y0) := (2y 2x
v ph÷ìng tr…nh autonom
Ph÷ìng tr…nh (4.20) l tham sŁ hâa hœu t ÷æc vîi ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü
P(t) =
Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t cıa F (y; y0) = 0 Łi vîi dt
dx
= t3 + (6 3x)t2 + ( 12 3x2 + 12x)t + 7 + 6x2 Ph÷ìng tr…nh (4.21) l tham sŁ hâa hœu t ÷æc vîi ph†p tham sŁ hâa hœu t thüc sü
~ v ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t Łi vîi Q(s) l
Ph÷ìng tr…nh (4.22) v (4.23) l
H» qu£ 4.12, ta t‰nh c¡c b§t bi‚n K1(a) = 0 v
qu£ 4.13, c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n li¶n k‚t n y l t÷ìng ÷ìng qua ph†p bi‚n Œi t = s x + 1. Chó þ r‹ng ph†p bi‚n Œi t÷ìng ÷ìng n y khæng
duy nh§t, chflng h⁄n ph†p Œi bi‚n t = s + 3 x công bi‚n (4.22) th nh
(4.23). °t
~ 3t2 + ( 10 + 6x)t 10x + 9 + 3x2
Q(t) = Q(t + x 1) = ; t + x 1 :
2(t2 + ( 4 + 2x)t 4x + 4 + x2)
au + b
Ta t…m ph†p bi‚n Œi Mobius M(u) = cu + d sao cho M(P(t)) = Q(t):
B‹ng ph÷ìng ph¡p h» sŁ b§t ành v gi£i h» ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh theo a; b; c; d ta t…m ÷æc M(u) = u x. Do â, ph†p bi‚n Œi y = w + x bi‚n ph÷ìng tr…nh F (y; y0) = 0 th nh ph÷ìng tr…nh autonom
G(w; w0) = (2w 3)w02 + ( 4w + 4)w0 + 2w 2 = 0: 4.5 Nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr…nh tham