Xét một robot di động kiểu bánh xe chịu ràng buộc nonholonomic.
Cụ thể, G(xG, yG) là vị trí của tâm khối của phần cứng rô bốt di động. M(xM, yM) là trung điểm của đoạn trục thẳng nối hai bánh xe. F1, F2 là các ma sát dọc giữa bánh phải và bánh trái với mặt sàn. F3 là tổng lực ma sát tác động theo hướng ngang ở hai điểm tiếp xúc của hai bánh xe với mặt sàn.
F4vàlần lượt là ngoại lực và ngoại mô men tác động lên phần cứng di động điểm G. b là một nửa khoảng cách giữa hai bánh xe. a là khoảng cách giữa điểm M
49
Hình 3. 22 Hiện tượng trượt bánh xe
Khi không tồn tại trượt bánh xe, vận tốc tịnh tiến và vận tốc góc lần lượt được tính như sau : { = 𝑟(∅𝑅̇ + ∅𝐿̇ ) 2 𝜇 =𝑟(∅𝑅̇ − ∅𝐿̇ ) 2𝑏 (Nguyễn Văn Tính, 2018) (3.2)
trong đó ∅𝑅, ∅𝐿l ần lượt là tọa độ góc của bánh phải và bánh trái. Bởi vậy, động học của rô bốt di động này được biểu diễn như sau:
{
𝑥𝑀̇ = cos 𝜃 𝑦𝑀̇ =sin 𝜃
𝜃 = 𝜇̇
(3.3)
Ràng buộc nonholonomic của rô bốt di động đảm bảo hai yếu tố như sau:
• Hướng của chuyển động tịnh tiến luôn vuông góc với trục nối hai bánh xe chủ động.
• Cả chuyển động tịnh tiến lẫn chuyển động quay đều hoàn toàn phụ thuộc vào chuyển động lăn của hai bánh xe chủ động. (Vũ, PI Ngọc, 2001)
Cụ thể, ràng buộc này có thể được biểu diễn toán học như sau:
50
0 = −𝑟∅𝐿̇ + 𝑥𝑀̇ cos 𝜃 + 𝑦𝑀̇ sin 𝜃 − 𝑏𝜔 (3.5)
0 = − 𝑥𝑀̇ sin 𝜃 + 𝑦𝑀̇ cos 𝜃
Mặt khác, khi tồn tại trượt bánh xe, vận tốc tịnh tiến theo hướng dọc được tính như sau:
=+𝛾𝑅̇ +𝛾𝐿̇
2 (3.6)
trong đó 𝛾𝑅, 𝛾𝐿lần lượt là các tọa độ trượt dọc của bánh phải và bánh trái. Tiếp theo, vận tốc góc thực của nó được tính như sau:
𝜔 = 𝜇 +𝛾𝑅̇ +𝛾𝐿̇
2𝑏 (3.7) Ta định nghĩa là tọa độ của trượt ngang dọc theo trục bánh xe.
Mô hình động học của rô bốt di động trong tình huống này là:
{
𝑥𝑀̇ =cos 𝜃 −̇ sin 𝜃 𝑦𝑀̇ = sin 𝜃 +̇ cos 𝜃
𝜃̇ = 𝜔
(3.8) Vì hiện tượng trượt, các ràng buộc nonholonomic bị biến dạng như sau:
𝛾𝑅̇ = −𝑟∅𝑅̇ + 𝑥𝑀̇ cos 𝜃 + 𝑦𝑀̇ sin 𝜃 + 𝑏𝜔
𝛾𝐿̇ = −𝑟∅𝐿̇ + 𝑥𝑀̇ cos 𝜃 + 𝑦𝑀̇ sin 𝜃 − 𝑏𝜔 (3.9)
̇ = −𝑥𝑀̇ sin 𝜃 + 𝑦𝑀̇ cos 𝜃 (Nguyễn Văn Tính, 2018)