Ph¥n t½ch ành t½nh c¡c ph÷ìng tr¼nh tu¦n ho n c§p- 123docz.net

X²t mæ h¼nh t«ng tr÷ðng Logistic theo bi¸n thíi gian:

x0(t) = (1 −x(t))x(t)−h(1−sin(2πt)), (1.71) trong â, h ≥ 0 l mët h¬ng sè d÷ìng. Trong thüc t¸, chóng ta câ thº thay th¸ 1−sin(2πt) bði b§t k¼ h m tu¦n ho n khæng ¥m g(t) v ph¥n t½ch d÷îi ¥y v¨n s³ khæng thay êi.

D÷íng nh÷ måi nghi»m bt ¦u ð tr¶n gi¡ trà x1 ·u hëi tö ¸n gi£i ph¡p tu¦n ho n bt ¦u tø mët v i gi¡ trà kh¡c x2 > x1, trong khi c¡c gi£i ph¡p bt ¦u d÷îi x1 ph¥n k¼ tîi −∞.

Þ t÷ðng ch½nh l xem x²t sè phªn cõa gi¡ trà ban ¦u x b§t k¼ sau mët chu k¼. Ch½nh x¡c hìn, °t gi£i ph¡p bt ¦u tø iºmx t¤i t= 0 l φ(t, x).

Sau â ta câ thº giîi thi»u ¡nh x¤ Poincar² thæng qua:

P(x) = φ(1, x). (1.72) B¬ng c¡ch x¥y düng, mët i·u ki»n ban ¦u x0 s³ t÷ìng ùng vîi mët gi£i ph¡p tu¦n ho n khi v ch¿ khi x0 l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ Poincar²,

P(x0) = x0. Trong thüc t¸, i·u n y xu§t ph¡t tø t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà ¦u, v¼ φ(t + 1, x) l¤i thäa m¢n x0 = f(t, x) n¸u

f(t+1, x) = f(t, x).V¼ vªy,φ(t+1, x0) =φ(t, x0) khi v ch¿ khi ¯ng thùc khæng êi t¤i thíi gian ban ¦u t= 0, ngh¾a l , φ(1, x0) =φ(0, x0) = x0.

Chóng ta bt ¦u b¬ng c¡ch t½nh ¤o h m cõa P(x) nh÷ sau. Tªp:

θ(t, x) = ∂

v vi ph¥n:

φ0(t, x) = (1−φ(t, x))φ(t, x)−h(1−sin(2πt)), (1.74) èi vîi x (chùng minh trong ành l½ 2.10). Sau â ta thu ÷ñc:

θ0(t, x) = (1−2φ(t, x))θ(t, x), (1.75) v gi£ sû φ(t, x) ¢ ÷ñc bi¸t ¸n, chóng ta câ thº sû döng (1.38) º vi¸t ra nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.75): θ(t, x) = exp( Z 0 t (1−2φ(s, x))ds). (1.76) Thay t=1 v o (1.76) ta thu ÷ñc:

P0(x) =θ(1, x) = exp(

0 1

(1−2φ(s, x))ds). (1.77) M°c dò câ v´ cæng thùc n y gióp ½ch r§t ½t v¼ chóng ta khæng bi¸t ÷ñc

φ(t, x), nh÷ng ½t nh§t nâ cho chóng ta bi¸t r¬ng P0(x) > 0, câ ngh¾a l ,

P(x) l t«ng ng°t.

Hìn núa, vi ph¥n biºu thùc (1.77) mët l¦n núa, ta thu ÷ñc:

P00(x) = −2(

0 1

θ(s, x)ds)P0(x) < 0, (1.78) do θ(t, x) > 0 bði (1.76). Do â P(x) l lãm v câ nhi·u nh§t hai giao iºm vîi ÷íng x. Nâi c¡ch kh¡c l câ hai nghi»m tu¦n ho n. º th§y c¡c tr÷íng hñp câ thº x£y ra, ta s³ x²t sü phö thuëc èi vîi tham sè h. Nâ d÷íng nh÷ ch¿ ra r¬ng P(x) l gi£m nh÷ mët h m cõa h. º chùng minh i·u n y, ta ti¸n h nh nh÷ tr÷îc. Tªp

ψ(t, x) = ∂

∂hφ(t, x), (1.79) v vi ph¥n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho èi vîi h ta thu ÷ñc:

ψ(t, x) = (1−2φ(t, x))ψ(t, x) + (1−sin(2πt)). (1.80) Do â, v¼ ψ(0, x) = ∂h∂ φ(0, x) = ∂h∂ x = 0, ph÷ìng tr¼nh (1.40) ngö þ r¬ng: ψ(t, x) = Z 0 t exp( Z s t (1−2φ(r, x))dr)(1−sin(2πs))ds < 0, (1.81) v thay t = 1 ta thu ÷ñc: ∂ ∂hPh(x) < 0, (1.82) trong â, ta th¶m h v o ph¦n ch¿ möc º nh§n m¤nh sü phö thuëc v o h.

Hìn núa, vîi h = 0 ta câ:

P0(x) = ex

1 + (e−1)x, (1.83) v câ hai iºm b§t ëng x1 = 0 v x2 = 1. Khi h t«ng th¼ nhúng iºm n y ti¸p xóc nhau v va ch¤m t¤i gi¡ trà giîi h¤n hc. Tr¶n nhúng gi¡ trà n y th¼ khæng câ nghi»m tu¦n ho n v t§t c£ quÿ ¤o ·u hëi tö ¸n −∞ do

P(x) < 0 vîi måi x ∈ R.

º ho n th nh lªp luªn cõa chóng ta, gi£ sû h < hc v x1 < x2 l hai iºm b§t ëng cõa P(x). X¡c ành c¡c l¦n l°p cõa P(x) bði P0(x) = x v

Pn(x) = P(Pn−1(x)). Ta thu ÷ñc: lim n→∞Pn(x) = ( x2, x > x1, x1, x = x1, −∞, x < x1. (1.84) V½ dö, cho x ∈ (x1, x2). Sau â, v¼ P(x) l t«ng nghi¶m ng°t ta câ x1 =

P(x1) < P(x) < P(x2) = x2. Hìn núa, v¼ P(x) lãm n¶n ta câ x < P(x),

tø â cho th§y Pn(x) l mët d¢y t«ng nghi¶m ng°t. Cho x0 ∈ (x, x2] l giîi h¤n cõa d¢y, th¼ P(x0) = P(limn→∞Pn(x)) = limn→∞Pn+1(x) = x0

suy rax0 l mët iºm b§t ëng, câ ngh¾a l x0 = x2. C¡c tr÷íng hñp kh¡c t÷ìng tü.

V¼ vªy, vîi x < x1 gi£i ph¡p hëi tö ¸n −∞ v vîi x > x1 ta câ: lim n→∞|φ(n, x)−x2| = 0, (1.85) ngö þ r¬ng: lim n→∞|φ(n, x)−φ(t, x2)| = 0. (1.86) X²t t÷ìng tü cho tr÷íng hñp h = hc v h > hc.

CH×ÌNG2

BI TON GI TRÀ U 2.1. ành l½ iºm b§t ëng

Cho X l mët khæng gian vector thüc. Mët chu©n tr¶n X l mët ¡nh x¤ ||.|| : X → [0,∞) thäa m¢n c¡c m»nh · sau:

(i) ||0|| = 0,||x|| > 0 vîi x ∈ X \ {0}.

(ii) ||αx|| = |α|||x|| vîi α ∈ R v x ∈ X.

(iii) ||x+y|| ≤ ||x||+||y|| vîi x, y ∈ X (b§t ¯ng thùc tam gi¡c). Tø b§t ¯ng thùc tam gi¡c ta công câ b§t ¯ng thùc tam gi¡c £o:

|||f|| − ||g||| ≤ ||f −g||. (2.1)

C°p (X,||.||) ÷ñc gåi l mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n. Cho mët khæng gian vector chu©n X,ta nâi mët d¢y vectorfn hëi tö ¸n vector

f khi v ch¿ khi lim

n→∞||fn−f|| = 0. K½ hi»u fn → f ho°c lim

n→∞fn = f. Hìn núa, choX, Y l hai khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, ¡nh x¤F : X → Y

÷ñc gåi l li¶n töc n¸u fn → f th¼ F(fn) →F(f). Ph²p cëng c¡c vector, ph²p nh¥n væ h÷îng vector vîi mët sè l li¶n töc.

Ngo i kh¡i ni»m hëi tö, ta cán câ kh¡i ni»m v· mët d¢y Cauchy v do â ta câ kh¡i ni»m v· t½nh ch§t ¦y õ: Mët khæng gian ành chu©n ÷ñc gåi l ¦y õ (ho°c ìn gi£n gåi l ¦y) n¸u méi d¢y Cauchy ·u câ giîi h¤n. Mët khæng gian ành chu©n ¦y õ ÷ñc gåi l khæng gian Banach. V½ dö 2.1.1. Rã r ng Rn (ho°c Cn) l mët khæng gian Banach vîi chu©n Euclide thæng th÷íng: |x| = v u u t n X j=1 |xj|2. (2.2)

Gåi I l mët kho£ng compact v x²t c¡c h m li¶n töc C(I) tr¶n kho£ng â. Chóng t¤o th nh mët khæng gian vector n¸u c¡c ph²p to¡n cëng v ph²p to¡n nh¥n ÷ñc x¡c ành. Hìn núa, C(I) trð th nh mët khæng gian ành chu©n n¸u ta ành ngh¾a:

||x|| = sup t∈I

|x(t)|. (2.3) Mët d¢y xn(t) hëi tö ¸n x(t) khi v ch¿ khi:

lim

n→∞||xn−x|| = lim n→∞sup

t∈I

|xn(t)−x(t)| = 0. (2.4) Câ ngh¾a l trong ngæn ngú cõa gi£i t½ch thüc, xn hëi tö ·u ¸nx. B¥y gií x²t tr÷íng hñp xn ch¿ l mët d¢y Cauchy, th¼ xn(t) rã r ng l mët d¢y Cauchy cõa sè thüc b§t k¼ t ∈ I. °c bi»t, do R câ t½nh ¦y õ, xn(t) câ giîi h¤n ¸n x(t) vîi måi t. V¼ vªy, ta câ h m giîi h¤n x(t). Hìn núa, cho

m → ∞ trong:

|xn(t)−xm(t)| ≤ε,∀n, m > Nε, t ∈ I, (2.5) ta th§y

|xn(t)−x(t)| ≤ε,∀n > Nε, t ∈ I, (2.6) câ ngh¾a l , xn(t) hëi tö ·u ¸n x(t). Tuy nhi¶n, ta khæng bi¸t ÷ñc l nâ câ n¬m trong khæng gian vector C(I) hay khæng? Cho t ∈ I v

ε > 0. º ch¿ ra x li¶n töc th¼ ta c¦n t¼m ra mët δ sao cho |t−s| < δ th¼

|x(t)−x(s)| < ε. Chån n sao cho ||xn−x|| < ε/3 v δ sao cho |t−s| < δ

th¼ |xn(t)−xn(s)| < ε/3. Khi â, |t−s| < δ suy ra:

Mët iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ K : C ⊆ X → C l mët ph¦n tû x ∈ C sao cho K(x) = x. Hìn núa, K ÷ñc gåi l co ÷ñc n¸u câ mët h¬ng sè co θ ∈ [0,1) sao cho:

||K(x)−K(y)|| ≤ θ||x−y||, x, y ∈ C. (2.7) Ta công câ Kn(x) = K(Kn−1(x)), K0(x) =x.

C l mët tªp con kh¡c réng âng trong X v cho K : C → C l co ÷ñc, khi â K câ duy nh§t mët iºm b§t ëng x¯∈ C sao cho:

||Kn(x)−x¯|| ≤ θ

1−θ||K(x)−x||, x ∈ C. (2.8) Chùng minh. Chùng minh duy nh§t:

Gi£ sû K(¯x) = ¯x v K(˜x) = ˜x, khi â ta câ:

||x¯−x˜|| = ||K(¯x)−K(˜x)|| ≤ θ||x¯−x˜||,

suy ra x¯ l iºm cè ành duy nh§t. Chùng minh ¯ng thùc:

Cho x0 ∈ C v x²t d¢y xn = Kn(x0). Ta câ

||xn+1−xn|| = ||Kn+1(x0)−Kn(x0)|| = ||K(Kn(x0)) −K(Kn−1(x0))||

= ||K(xn)−K(xn−1)|| ≤ θ||xn−xn−1||.

T÷ìng tü nh÷ vªy ta câ:

||xn+1 −xn|| ≤ θ||xn −xn−1|| ≤ ...≤ θn||x1 −x0||,

v ¡p döng b§t ¯ng thùc tam gi¡c (vîi n > m)

||xn−xm|| ≤ n X j=m+1 ||xj −xj−1|| ≤ θm n−m−1 X j=0 θj||x1 −x0|| = θm1−θn−m 1−θ ||x1 −x0|| ≤ θ m 1−θ||x1 −x0||. (2.9) Do â xn l d¢y Cauchy v hëi tö tîi x.¯ Hìn núa

||K(¯x)−x¯|| = lim

n→∞||xn+1−xn|| = 0

ch¿ ra r¬ng x¯ l mët iºm b§t ëng v biºu thùc (2.8) ÷ñc suy ra tø (2.9) khi cho n→ ∞.

2.2. Sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m

B¥y gií sû döng k¸t qu£ cõa ph¦n tr÷îc º ch¿ ra sü tçn t¤i v duy nh§t cõa nghi»m cho b i to¡n gi¡ trà ¦u (IVP) sau ¥y:

x0 = f(t, x), x(t0) = x0. (2.10) Gi£ sû f ∈ C(U,Rn), trong â U l mët tªp con mð cõa Rn+1 v (t0, x0) ∈ U.

Tr÷îc h¸t, l§y t½ch ph¥n c£ hai v¸ èi vîi t, ta th§y r¬ng ph÷ìng tr¼nh (2.10) t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n sau: x(t) =x0 + Z t0 t f(s, x(s))ds. (2.11) º þ r¬ng x0(t) = x0 l mët nghi»m g¦n óng t¤i ½t nh§t gi¡ trà t n o â. Thay x0(t) v o ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, ta thu ÷ñc mët nghi»m g¦n óng kh¡c: x1(t) =x0 + Z t0 t f(s, x0(s))ds. (2.12) L°p l¤i qu¡ tr¼nh n y ta thu ÷ñc mët chuéi c¡c nghi»m x§p x¿:

xm(t) = Km(x0)(t), K(x)(t) = x0 +

Z t0

f(s, x(s))ds. (2.13) p döng nguy¶n tc co tø b i tr÷îc v o ph÷ìng tr¼nh iºm cè ành x =

K(x), ch½nh x¡c l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n (2.11).

°t t0 = 0 º ìn gi£n hâa cæng thùc v ch¿ x²t tr÷íng hñp t0 > 0.

¦u ti¶n, chóng ta c¦n mët khæng gian Banach. ChånX = C([0, T],Rn) vîi mët sè T > 0 phò hñp. Hìn núa, ta c¦n mët tªp con âng C ⊆ X

sao cho K : C → C. Chóng ta s³ thû mët qu£ c¦u âng b¡n k½nh δ xung quanh h m h¬ng x0.

V¼ U l tªp mð v (0, x0) ∈ U ta câ thº chån V = [0, T]×Bδ(x0) ⊃ U,

trong â Bδ(x0) = {x∈ Rn||x−x0| < δ}, v vi¸t tt:

M = max

(t,x)∈V |f(t, x)|, (2.14) trong â maximum tçn t¤i do t½nh li¶n töc cõa f v t½nh compact cõa V.

Khi â: |K(x)(t)−x0| ≤ Z 0 t |f(, x(s))|ds ≤ tM, (2.15) b§t cù khi n o ç thà cõa x(t) n¬m trong V, câ ngh¾a l

{(t, x(t))|t∈ [0, T]} ⊂ V.

Do â, vîi t≤ T0, trong â:

T0 = min{T, δ

M}, (2.16)

Trong tr÷íng hñp °c bi»t M = 0 th¼ δ

M = ∞ sao cho T0 = min{T,∞} =

T. Hìn núa, chó þ r¬ng v¼ [0, T0] ⊆ [0, T], h¬ng sè M công s³ r ng buëc

|f| tr¶n V0 = [0.T0]×Bδ(x0) ⊆ V.

V¼ vªy, n¸u ta chån X = C([0, t0],Rn) l khæng gian Banach, vîi chu©n

||x|| = max 0≤t≤T0 |x(t)|, v C = {x ∈ X| ||x−x0|| ≤δ} l mët tªp con âng, th¼ K : C →C l co ÷ñc. º ch¿ ra i·u n y, chóng ta c¦n ÷îc l÷ñng: |K(x)(t)−K(y)(t)| ≤ Z 0 t |f(s, x(s))−f(s, y(s))|ds. (2.17) Rã r ng, v¼ f li¶n töc, ta bi¸t r¬ng |f(s, x(s))−f(s, y(s))| l nhä n¸u

|x(s)−y(s)| nhä. Tuy nhi¶n, i·u n y l ch÷a õ º ÷îc l÷ñng t½ch ph¥n ð ph½a tr¶n. Chóng ta c¦n mët i·u ki»n m¤nh hìn: Gi£ sû f l Lipschitz li¶n töc àa ph÷ìng trong èi sè thù hai, ·u vîi èi sè thù nh§t, câ ngh¾a l vîi méi tªp compact V0 ⊂ U th¼:

L = sup (t,x)6=(t,y)∈V0

|f(t, x)−f(t, y)|

|x−y| (2.18) l húu h¤n. Khi â:

||K(x)−K(y)|| ≤ LT0||x−y||, x, y ∈ C. (2.20) Hìn núa, chån T0 < L−1 ta th§y K l co ÷ñc v tçn t¤i mët nghi»m duy nh§t theo nguy¶n tc co nh÷ sau:

ành l½ 2.2.1. (Picard - Lindelf). Gi£ sû f ∈ C(U,Rn), trong â U l mët tªp con mð cõa Rn+1, v (t0, x0) ∈ U. N¸u f l Lipschits li¶n töc àa ph÷ìng trong èi sè thù hai, ·u vîi èi sè thù nh§t, th¼ tçn t¤i duy nh§t mët nghi»m àa ph÷ìng x¯(t) ∈ C1(I) cõa IVP (2.10), trong â I l mët l¥n cªn t0.

Cö thº hìn, n¸u V = [t0, t0+T]×Bδ(¯x0) ⊂U v M l gi¡ trà lîn nh§t cõa |f| tr¶n V. Khi â, tçn t¤i nghi»m ½t nh§t vîi t ∈ [t0, t0+T0 v v¨n cán

trong B ¯

δ(x0), trong â T0 = min{T,Mδ }. K¸t qu£ giú t÷ìng tü cho kho£ng [t0 −T, t0].

Bê · 2.2.2. Gi£ sû f ∈ Ck(U,Rn), k ≥ 1, trong â U l tªp con mð cõa Rn+1, v (t0, x0) ∈ U. Khi â nghi»m àa ph÷ìng x¯ cõa IVP (2.10) l

Ck+1(I).

2.3. Mð rëng ành l½ Picard - Lindel f

Trong ph¦n n y, ta mð rëng th¶m ành l½ Picard - Lindelof. º chu©n bà, ta c¦n mët sü kh¡i qu¡t hâa cõa nguy¶n tc co. Trong thüc t¸, nh¼n v o chùng minh cõa nâ, quan s¡t r¬ng chóng ta câ thº thay θn bði b§t k¼ chuéi

θn.

ành l½ 2.3.1. (Weissinger). Cho X l mët khæng gian Banach, C l mët tªp con âng kh¡c réng trong X. Gi£ sû K : C →C thäa m¢n:

||Kn(x)−Kn(y)|| ≤ θn||x−y||, x, y ∈ C, (2.21) vîi P∞

n=1

θn < ∞. Khi â K câ duy nh§t mët iºm b§t ëng x¯ sao cho:

||Kn(x)−x¯|| ≤ (

∞

X j=n

θj)||K(x)−x||, x ∈ C. (2.22) Möc ti¶u ¦u ti¶n cõa chóng ta l ÷a ra mët sè gi¡ trà cö thº cho sü tçn t¤i thíi gian T0. Sû döng ành l½ Weissinger thay v¼ nguy¶n l½ co ¡nh x¤, ta câ thº lo¤i trø tr÷íng hñp T0 < L−1 :

ành l½ 2.3.2. (ho n thi»n, c£i ti¸n Picard - Lindelf). Gi£ sûf ∈ C(U,Rn),

trong â U l mët tªp con mð trong Rn+1, v n¸u f l Lipschits li¶n töc àa ph÷ìng trong èi sè thù hai. Chån (t0, x0) ∈ U v δ, T > 0 sao cho [t0, t0 +T]×Bδ(¯x0) ⊂U. Tªp M(t) = Z t0 t sup x∈Bδ(x0) |f(s, x)|ds, (2.23) L(t) = sup x6=y∈Bδ(x0) |f(t, x)−f(t, y)| |x−y| . (2.24) Chó þ rng M(t) l khæng gi£m v k½ hi»u T0 thæng qua:

Gi£ sû L1(T0) = Z t0 t0+T0 L(t)dt < ∞. (2.26) Khi â nghi»m àa ph÷ìng duy nh§t x¯(t) cõa ph÷ìng tr¼nh IVP (2.10) ÷ñc cho bði:

x = lim

m→∞Km(x0) ∈ C1([t0, t0 + T0],Bδ(¯x0)), (2.27) trong â Km(x0) ÷ñc ành ngh¾a ð (2.13), v thäa m¢n :

sup t0≤t≤T0 |x¯(t)−Km(x0)(t)| ≤ L1(T0) m m! e L1(T0) Z t0 t0+T0 |f(s, x0)|ds. (2.28)

Chùng minh. Chån t0 = 0 º ìn gi£n hâa cæng thùc. Möc ti¶u cõa chóng ta l x¡c minh c¡c gi£ ành cõa ành l½ 2.4 chån X = C([0, T0],Rn) vîi chu©n ||x|| = max

0≤t≤T0

|x(t)| v C = {x ∈ X| ||x−x0|| ≤ δ}.

¦u ti¶n, n¸u x ∈ C ta câ:

|K(x)(t)−x0| ≤

|f(s, x(s))|ds ≤M(t) ≤ δ, t ∈ [0, T0],

câ ngh¾a l , K(x) ∈ C. °c bi»t, i·u n y gi£i th½ch sü lüa chån T0.

Ti¸p theo ta chùng minh

|Km(x)(t)−Km(y)(t)| ≤ L1(t

m! 0sup≤s≤t

|x(s)−y(s)|, (2.29) trong â, L1(t) =R0tL(s)ds. B¬ng ph²p quy n¤p, ta câ:

N¸u f(t, x) ÷ñc x¡c ành vîi måi x ∈ Rn v ta câ thº t¼m mët h¬ng sè Lipschits, th¼ ta câ thº nâi nhi·u hìn v· t½ch ph¥n trong â tçn t¤i nghi»m: H» qu£ 2.3.3. Gi£ sû [t0, T]×Rn ⊂ U v Z t0 T L(t)dt < ∞, L(t) = sup x6=y∈Rn |f(t, x)−f(t, y)| |x−y| , (2.32) th¼ x¯ ÷ñc x¡c ành vîi måi t ∈ [t0, T]. °c bi»t, n¸u U = Rn+1 v R −T T L(t)dt < ∞ vîi måi T > 0, th¼ x¯ ÷ñc x¡c ành vîi måi t∈ R.

Chùng minh. Trong tr÷íng hñp n y chóng ta câ thº chån tªpC âng trong khæng gian Banach X = C([0, T],Rn) v ti¸n h nh chùng minh nh÷ ành l½ tr÷îc vîi T0 = T.

Chó þ r¬ng h» qu£ n y ¡p döng cho v½ dö n¸u ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n l tuy¸n t½nh, câ ngh¾a l f(t, x) = A(t)x+ b(t), trong â A(t) l mët ma trªn v b(t) l mët vector. Thay v¼ cho mët v½ dö. X²t:

x0 = sgn(t)x, x(0) = 1. (2.33) Khi â x(t) = exp(|t|) ÷ñc coi l mët nghi»m m°c dò nâ khæng câ vi ph¥n t¤i t= 0.

2.4. Sü phö thuëc cõa nghi»m v o i·u ki»n ban ¦uBê · 2.4.1. (B§t ¯ng thùc Gronwall). Gi£ sû ψ(t) thäa m¢n: Bê · 2.4.1. (B§t ¯ng thùc Gronwall). Gi£ sû ψ(t) thäa m¢n:

ψ(t) ≤ α(t) +

vîi α(t) ∈ R v β(t) ≥ 0. Khi â ψ(t) ≤ α(t) + Z 0 t α(s)β(s) exp( Z s t β(r)dr)ds, t∈ [0, T]. (2.35) Hìn núa, n¸u α(s) ≤ α(t) vîi s ≤ t, th¼

ψ(t) ≤α(t) exp( Z 0 t β(s)ds), t∈ [0, T]. (2.36) Chùng minh. °t φ(t) = exp(−R 0 t β(s)ds). Khi â tø cæng thùc (2.34), ta câ: d dtφ(t) Z 0 t β(s)ψ(s)ds = β(t)φ(t)(ψ(t)− Z 0 t β(s)ψ(s)ds) ≤ α(t)β(t)φ(t) T½ch ph¥n hai v¸ b§t ¯ng thùc theo t v chia cho φ(t) ta thu ÷ñc:

Z 0 t β(s)ψ(s)ds ≤ Z 0 t α(s)β(s)φ(s) φ(t)ds.

Th¶m α(t) ð c£ hai v¸ v l¤i sû döng (2.34) ta thu ÷ñc i·u ph£i chùng minh thù nh§t. N¸u ψ(t) ≤ α+ Z 0 t (βψ(s) +γ)ds, t ∈ [0, T], (2.37) vîi c¡c h¬ng sè ¢ cho α ∈ R, β ≥ 0, v γ ∈ R, th¼ khi â:

ψ(t) ≤αexp(βt) + γ

β(exp(βt)−1), t∈ [0, T]. (2.38) Trong tr÷íng hñp β = 0 th¼ v¸ b¶n ph£i ÷ñc thay bði giîi h¤n cõa nâ

ψ(t) ≤ α+γt.

B¥y gií chóng ta s³ ch¿ ra r¬ng IVP l well -posed.

ành l½ 2.4.2. Gi£ sû f, g ∈ c(U,Rn) v cho f l h m Lipschits li¶n töc

Ph¥n t½ch ành t½nh c¡c ph÷ìng tr¼nh tu¦n ho n c§p mët