B¥y gií sû döng k¸t qu£ cõa ph¦n tr÷îc º ch¿ ra sü tçn t¤i v duy nh§t cõa nghi»m cho b i to¡n gi¡ trà ¦u (IVP) sau ¥y:
x0 = f(t, x), x(t0) = x0. (2.10) Gi£ sû f ∈ C(U,Rn), trong â U l mët tªp con mð cõa Rn+1 v (t0, x0) ∈ U.
Tr÷îc h¸t, l§y t½ch ph¥n c£ hai v¸ èi vîi t, ta th§y r¬ng ph÷ìng tr¼nh (2.10) t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n sau: x(t) =x0 + Z t0 t f(s, x(s))ds. (2.11) º þ r¬ng x0(t) = x0 l mët nghi»m g¦n óng t¤i ½t nh§t gi¡ trà t n o â. Thay x0(t) v o ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, ta thu ÷ñc mët nghi»m g¦n óng kh¡c: x1(t) =x0 + Z t0 t f(s, x0(s))ds. (2.12) L°p l¤i qu¡ tr¼nh n y ta thu ÷ñc mët chuéi c¡c nghi»m x§p x¿:
xm(t) = Km(x0)(t), K(x)(t) = x0 +
Z t0
t
f(s, x(s))ds. (2.13) p döng nguy¶n tc co tø b i tr÷îc v o ph÷ìng tr¼nh iºm cè ành x =
K(x), ch½nh x¡c l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n (2.11).
°t t0 = 0 º ìn gi£n hâa cæng thùc v ch¿ x²t tr÷íng hñp t0 > 0.
¦u ti¶n, chóng ta c¦n mët khæng gian Banach. ChånX = C([0, T],Rn) vîi mët sè T > 0 phò hñp. Hìn núa, ta c¦n mët tªp con âng C ⊆ X
sao cho K : C → C. Chóng ta s³ thû mët qu£ c¦u âng b¡n k½nh δ xung quanh h m h¬ng x0.
V¼ U l tªp mð v (0, x0) ∈ U ta câ thº chån V = [0, T]×Bδ(x0) ⊃ U,
trong â Bδ(x0) = {x∈ Rn||x−x0| < δ}, v vi¸t tt:
M = max
(t,x)∈V |f(t, x)|, (2.14) trong â maximum tçn t¤i do t½nh li¶n töc cõa f v t½nh compact cõa V.
Khi â: |K(x)(t)−x0| ≤ Z 0 t |f(, x(s))|ds ≤ tM, (2.15) b§t cù khi n o ç thà cõa x(t) n¬m trong V, câ ngh¾a l
{(t, x(t))|t∈ [0, T]} ⊂ V.
Do â, vîi t≤ T0, trong â:
T0 = min{T, δ
M}, (2.16)
Trong tr÷íng hñp °c bi»t M = 0 th¼ δ
M = ∞ sao cho T0 = min{T,∞} =
T. Hìn núa, chó þ r¬ng v¼ [0, T0] ⊆ [0, T], h¬ng sè M công s³ r ng buëc
|f| tr¶n V0 = [0.T0]×Bδ(x0) ⊆ V.
V¼ vªy, n¸u ta chån X = C([0, t0],Rn) l khæng gian Banach, vîi chu©n
||x|| = max 0≤t≤T0 |x(t)|, v C = {x ∈ X| ||x−x0|| ≤δ} l mët tªp con âng, th¼ K : C →C l co ÷ñc. º ch¿ ra i·u n y, chóng ta c¦n ÷îc l÷ñng: |K(x)(t)−K(y)(t)| ≤ Z 0 t |f(s, x(s))−f(s, y(s))|ds. (2.17) Rã r ng, v¼ f li¶n töc, ta bi¸t r¬ng |f(s, x(s))−f(s, y(s))| l nhä n¸u
|x(s)−y(s)| nhä. Tuy nhi¶n, i·u n y l ch÷a õ º ÷îc l÷ñng t½ch ph¥n ð ph½a tr¶n. Chóng ta c¦n mët i·u ki»n m¤nh hìn: Gi£ sû f l Lipschitz li¶n töc àa ph÷ìng trong èi sè thù hai, ·u vîi èi sè thù nh§t, câ ngh¾a l vîi méi tªp compact V0 ⊂ U th¼:
L = sup (t,x)6=(t,y)∈V0
|f(t, x)−f(t, y)|
|x−y| (2.18) l húu h¤n. Khi â:
Z 0 t |f(s, x(s))−f(s, y(s))|ds ≤ L Z 0 t |x(s)−y(s)|ds ≤ Lt sup 0≤s≤t |x(s)−y(s)|, (2.19) vîi i·u ki»n l ç thà cõa c£ x(t) v y(t) n¬m trong V0. Nâi c¡ch kh¡c:
||K(x)−K(y)|| ≤ LT0||x−y||, x, y ∈ C. (2.20) Hìn núa, chån T0 < L−1 ta th§y K l co ÷ñc v tçn t¤i mët nghi»m duy nh§t theo nguy¶n tc co nh÷ sau:
ành l½ 2.2.1. (Picard - Lindelf). Gi£ sû f ∈ C(U,Rn), trong â U l mët tªp con mð cõa Rn+1, v (t0, x0) ∈ U. N¸u f l Lipschits li¶n töc àa ph÷ìng trong èi sè thù hai, ·u vîi èi sè thù nh§t, th¼ tçn t¤i duy nh§t mët nghi»m àa ph÷ìng x¯(t) ∈ C1(I) cõa IVP (2.10), trong â I l mët l¥n cªn t0.
Cö thº hìn, n¸u V = [t0, t0+T]×Bδ(¯x0) ⊂U v M l gi¡ trà lîn nh§t cõa |f| tr¶n V. Khi â, tçn t¤i nghi»m ½t nh§t vîi t ∈ [t0, t0+T0 v v¨n cán
trong B ¯
δ(x0), trong â T0 = min{T,Mδ }. K¸t qu£ giú t÷ìng tü cho kho£ng [t0 −T, t0].
Bê · 2.2.2. Gi£ sû f ∈ Ck(U,Rn), k ≥ 1, trong â U l tªp con mð cõa Rn+1, v (t0, x0) ∈ U. Khi â nghi»m àa ph÷ìng x¯ cõa IVP (2.10) l
Ck+1(I).