Mët b i to¡n d¤ng:
x0 = f(t, x, ε), x(t0) =x0, (2.55) ÷ñc bi¸t ¸n nh÷ mët b i to¡n nhi¹u lo¤n ch½nh quy.
N¸u ta gi£ sû f ∈ C1 th¼ ành l½ 2.11 £m b£o r¬ng i·u t÷ìng tü l óng vîi nghi»m φ(t, ε), trong â ta khæng hiºn thà sü phö thuëc cõa i·u ki»n ban ¦u (t0, x0) º ìn gi£n hâa cæng thùc. °c bi»t, ta câ cæng thùc Taylor mð rëng nh÷ sau:
φ(t, ε) = φ0(t) +φ1(t)ε+o(ε) (2.56) trong mët l¥n cªn cõa ε.
Rã r ng, sè h¤ng khæng nhi¹u lo¤n φ0(t) = φ(t,0) ÷ñc ÷a l nh÷ l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh khæng nhi¹u lo¤n
φ00 = f0(t, φ0), φ0(t0) =x0, (2.57) trong â f0(t, x) = f(t, x,0). Hìn núa, ¤o h m φ1(t) = ∂ε∂ φ(t, ε)|ε=0, gi£i
ph÷ìng tr¼nh bi¸n sè ph¥n ly t÷ìng ùng
φ01 = f10(t, φ0(t))φ1 +φ11(t, φ0(t)), φ1(t0) = 0, (2.58) trong â f10(t, x) = ∂x∂ f(t, x,0) v f11(t, x) = ∂ε∂ f(t, x, ε)|ε=0. i·u ki»n ¦u φ1(t0) = 0 tø thüc t¸ l i·u ki»n ¦u x0 khæng phö thuëc v o ε, câ ngh¾a l φ1(t0) = ∂ε∂ φ(t0, ε)|ε=0 = ∂ε∂ x0|ε=0 = 0.
V½ dö 2.5.1. X²t ph÷ìng tr¼nh
v0 = −εv −g, v(0) = 0, ε≥ 0,
l mæ h¼nh vªn tèc cõa vªt rìi vîi lüc c£n cõa khæng kh½. Câ thº t¼m th§y nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n l :
v = φ(t, ε) =ge
−εt −1
ε ,
v khæng c¦n b§t k¼ k¾ thuªt nhi¹u lo¤n n o. Tuy nhi¶n, ta v¨n s³ ¡p döng nâ º minh håa ph÷ìng ph¡p. B i to¡n khæng nhi¹u lo¤n l :
φ00 = −g, φ0(0) = 0,
v nghi»m ÷ñc ÷a ra bði φ0(t) = −gt. T÷ìng tü, v¼ f(t, v, ε) = −εv−g
theo sau nâ l f10(t, v) = 0, f11(t, v) = −v v ph÷ìng tr¼nh cõa sè h¤ng thù nh§t l :
φ01 = −φ0(t), φ1(0) = 0
vîi nghi»m ÷ñc ÷a ra bði φ1(t) = g2t2. Do â ph²p t½nh g¦n óng ta nhªn ÷ñc l :
v(t) =−g(t−εt
2
2 +o(ε)),
l tròng khîp vîi khai triºn Taylor cõa nghi»m ch½nh x¡c. Tuy nhi¶n chó þ r¬ng, ph²p t½nh g¦n óng ch¿ câ gi¡ trà trong thíi gian cè ành v s³ x§u hìn khi t t«ng. Trong thüc t¸, quan s¡t r¬ng vîi ε > 0 th¼ v(t) ph¥n k¼ tîi +∞ trong khi â nghi»m ch½nh x¡c hëi tö ¸n g
ε.
Rã r ng chóng ta câ thº mð rëng qu¡ tr¼nh n y º câ ÷ñc ph²p t½nh g¦n óng hìn núa:
ành l½ 2.5.2. Cho Λl mët kho£ng mð. Gi£ sû f ∈ Ck(U×Λ,Rn), k ≥1 v cè ành mët v i gi¡ trà (t0, x0, ε0) ∈ U×Λ.Cho φ(t, ε) ∈ Ck(U×Λ0,Rn)
l nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà ¦u x0 = f(t, x, ε), x(t0) = x0, (2.59) Khi â φ(t, ε) = k X j=0 φj(t) j! (ε−ε0)j +o((ε−ε0)k), (2.60) trong â h» sè câ thº thu ÷ñc b¬ng c¡ch gi£i » quy:
φ0j = fj(t, φ0, φ1, ..., φj, ε0), φj(t0) =
x0, j = 0,
0, j ≥ 1, (2.61) trong â h m fj ÷ñc ành ngh¾a » quy thæng qua:
fj+1(t, x0, ..., xj+1, ε) = ∂fj ∂ε(t, x0, ..., xj, ε) + j P k=0 ∂fj ∂xk(t, x0, ..., xj, ε)xk+1, f0(t, x0, ε) = f(t, x0, ε).