N¸u ta gi£ sû f ∈ Ck+1 sè h¤ng sai sè s³ l O((ε −ε0)k+1) ·u vîi måi
t∈ I.
2.6. T½nh d¢n ÷ñc cõa c¡c nghi»m
Ta th§y r¬ng c¡c nghi»m câ thº khæng tçn t¤i vîi måi t ∈ R m°c dò ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ÷ñc ành ngh¾a vîi måi t∈ R. i·u n y °t ra c¥u häi v· kho£ng tèi a m mët nghi»m cõa IVP (2.10) ÷ñc x¡c ành.
Gi£i sû c¡c nghi»m cõa IVP (2.10) ÷ñc tçn t¤i àa ph÷ìng v l duy nh§t (v½ dö: f l h m Lipschitz). Cho φ1, φ2 l hai nghi»m cõa IVP (2.10) ÷ñc x¡c ành tr¶n c¡c kho£ng mð I1, I2 t÷ìng ùng. Cho I = I1 ∩ I2 = (T−, T+) v cho (t−, t+) l kho£ng mð tèi a m c£ hai nghi»m tròng nhau. Ta ph£i chùng minh r¬ng (t−, t+) = (T−, T+). Trong thüc t¸, c£ hai nghi»m s³ luæn tròng nhau t¤i t+ bði t½nh li¶n töc. X²t IVP vîi i·u ki»n ¦ux(t+) =φ1(t+) = φ2(t+) ta th§y r¬ng c£ hai nghi»m tròng nhau trong mët l¥n cªn cõa t+ bði t½nh duy nh§t àa ph÷ìng. i·u n y m¥u thu¨n vîi tèi a cõa t+ v do â t+ = T+. T÷ìng tü, t− = T−.
Hìn núa, ta câ mët nghi»m
φ(t) =
φ1(t), t ∈ I1,
φ2(t), t ∈ I2, (2.63) ÷ñc x¡c ành tr¶n I1 ∪I2. Trong thüc t¸, i·u n y thªm ch½ cán mð rëng
¸n mët sè l÷ñng tòy þ c¡c nghi»m v b¬ng c¡ch n y, ta thu ÷ñc mët nghi»m (duy nh§t) ÷ñc x¡c ành tr¶n mët sè kho£ng tèi a.
ành l½ 2.6.1. Gi£ sû IVP (2.10) câ mët nghi»m àa ph÷ìng duy nh§t (v½ dö: i·u ki»n cõa ành l½ 2.5 ÷ñc thäa m¢n). Khi â, tçn t¤i duy nh§t mët nghi»m tèi a ÷ñc x¡c ành tr¶n mët v i kho£ng tèi a I(t0,x0) = (T−(t0, x0), T+(t0, x0)).
Chùng minh. Cho S l tªp t§t c£ c¡c nghi»m φ cõa (2.10) ÷ñc x¡c ành tr¶n kho£ng Iφ. Cho I = S
φ∈S
Iφ, l mët tªp mð. Hìn núa, n¸u t1 > t0 ∈ I
th¼t1 ∈ Iφvîi mët v iφv do â,[t0, t1) ⊆ Iφ ⊆ I.T÷ìng tü, vîit1 < t0 v do â I l mët kho£ng mð chùat0. Trong tr÷íng hñp ri¶ng, I = (T−, T+).
Ta ành ngh¾a φmax(t) tr¶n I bði φmax(t) = φ(t), φ ∈ S, t ∈ Iφ. B¬ng c¡ch x²t nh÷ ð tr¶n, b§t k¼ hai gi¡ trà n o cõa φ công cho gi¡ trà gièng nhau, do â φmax(t) ÷ñc x¡c ành óng n. Hìn núa, vîi måi t>t1 câ mët v i gi¡ trà φ ∈ S sao cho t1 ∈ Iφ v φmax(t) = φ(t) vîi t ∈ (t0 −ε, t0 + ε) m ch¿ ra r¬ng φmax l mët nghi»m. B¬ng c¡ch x¥y düng khæng thº câ mët nghi»m n o ÷ñc x¡c ành tr¶n mët kho£ng lîn hìn.
Nghi»m ÷ñc t¼m th§y ð ành l½ tr÷îc ÷ñc gåi l nghi»m tèi a. Mët nghi»m ÷ñc x¡c ành vîi måi t ∈ R ÷ñc gåi l mët nghi»m to n cöc. Rã r ng, måi nghi»m to n cöc l tèi a.
Bê · 2.6.2. Cho φ(t) l mët nghi»m cõa (1.10) ÷ñc x¡c ành tr¶n kho£ng (t−, t+). Khi â tçn t¤i mët mð rëng ¸n kho£ng (t−, t++ ε) vîi
ε > 0 khi v ch¿ khi tçn t¤i mët d¢y tm ∈ (t−, t+) sao cho lim
m→∞(tm, φ(tm)) = (t+, y) ∈ U. (2.64) T÷ìng tü vîi t−.
Chùng minh. Gi£ sû câ mët h m thäa m¢n (2.64), ¦u ti¶n, ta th§y r¬ng trong tr÷íng hñp n y:
lim t→t+
φ(t) = y. (2.65)
Do â ¤o h m cõa nâ s³ c¦n ph£i t«ng, i·u n y l khæng thº v¼ f(t, x) hëi tö g¦n y. Ch½nh x¡c hìn, v¼ U l tªp mð n¶n câ mët v i gi¡ trà δ > 0
sao cho V = [t+ − δ, t+] × Bδ(y) ⊂ U v M = max
(t,x)∈V |f(t, x)| < ∞.
Hìn núa, sau khi câ thº chuyºn qua mët d¢y con, ta câ thº gi£ sû r¬ng
tm ∈ (t+−δ, t+), φ(tm) ∈ Bδ(y), v tm < tm+1. N¸u (2.65) l sai th¼ ta câ thº t¼m mët d¢y τm → t+ sao cho |φ(τm) −y| ≥ γ > 0. Ta câ thº chån
γ < δ v τm ≥tm. Hìn núa, theo ành l½ gi¡ trà trung gian ta thªm ch½ câ thº y¶u c¦u |φ(tm)−y| = γ v |φ(t)−y| < γ vîi t ∈ [tm, τm]. Nh÷ng sau â: 0< γ = |φ(τm)−y| ≤ |φ(τm)−φ(tm)|+|φ(tm)−y| ≤ Z τm tm |f(s, φ(s))|ds+|φ(tm)−y| ≤ M|τm −tm|+|φ(tm)−y|,
trong â v¸ ph£i hëi tö ¸n 0 khi m → ∞. i·u n y d¨n ¸n m¥u thu¨n, do â (2.65) ÷ñc chùng minh.
B¥y gií l§y mët nghi»m φ˜(t) cõa IVP x(t+) = y ÷ñc x¡c ành tr¶n kho£ng (t+−ε, t++ε). Nh÷ tr÷îc â, ta câ thº g¡n φ(t) v φ˜(t) t¤i t+ º thu ÷ñc mët h m tr¶n (t−, t++ε), giîi h¤n cõa ¤o h m tr¡i v ph£i cõa h m n y ·u b¬ng f(t+, y), do â nâ l mët h m li¶n töc. Ð ¥y nâ ÷ñc l§y vi ph¥n t¤it = t+v do â mët nghi»m ÷ñc x¡c ành tr¶n (t−, t++ε).
H» qu£ 2.6.3. Cho φ(t) l mët nghi»m cõa (2.10) ÷ñc x¡c ành tr¶n kho£ng (t−, t+). Gi£ sû câ mët tªp compact [t0, t+] × C ⊂ U sao cho
φ(tm) ∈ C vîi chuéi tm ∈ [t0, t+) b§t k¼ hëi tö ¸n t+. Khi â tçn t¤i mët mð rëng cõa kho£ng (t−, t++ε) vîi ε > 0 b§t k¼.
Trong tr÷íng hñp ri¶ng, n¸u câ mët tªp compact C vîi måi t+ > t0 (C
câ thº phö thuëc v o t+), khi â nghi»m tçn t¤i vîi måi t > t0.
T÷ìng vîi t−.
Chùng minh. Cho tm → t+. Do t½nh compact n¶n φ(tm) câ m d¢y con hëi tö v suy ra i·u ph£i chùng minh tø bê · tr÷îc.
H» qu£ 2.6.4. Cho I(t0,x0) = (T−(t0, x0), T+(t0, x0)) l kho£ng tèi a mð rëng cõa mët nghi»m bt ¦u t¤i x(t0) =x0.N¸uT+ = T+(t0, x0) < ∞, khi â nghi»m ph£i cán l¤i cuèi còng måi tªp compact C vîi [t0, T+]×C ⊂U
t¤i t ti¸n ¸n T+.
ành l½ 2.6.5. Gi£ sû U = R × Rn v vîi méi T > 0 câ h¬ng sè
M(T), L(T) sao cho:
|f(t, x)| ≤M(T) +L(T)|x|, (t, x) ∈ [−T, T]×Rn. (2.66) Khi â t§t c£ nghi»m cõa IVP (2.10) ÷ñc x¡c ành vîi måi t ∈ R.
Chùng minh. Sû döng ¡nh gi¡ ð tr¶n cho f ta câ:
|φ(t)| ≤ |x0|+
Z t
0
(M +L|φ(s)|)ds, t ∈ [0, T]∩I,
v vîi c¡ch biºu di¹n kh¡c (2.38) cõa b§t ¯ng thùc Gronwall ta câ ÷ñc:
|φ(t)| ≤ |x0|eLt+ M
L (e
Lt −1).
Do â φ n¬m trong mët qu£ c¦u compact v k¸t qu£ ÷ñc ch¿ ra bði bê · tr÷îc â.
2.7. Ph÷ìng ph¡p Euler v ành l½ Peano
N¸u φ(t) l mët nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà ¦u (2.10), theo ành l½ Taylor ta câ:
φ(t0 +h) = x0 +φ0(t0)h+o(h) =x0 + f(t0, x0)h+o(h). (2.67) i·u n y gñi þ º x¡c ành mët nghi»m x§p x¿ b¬ng c¡ch bä qua sè h¤ng sai sè v l°p i l°p l¤i qu¡ tr¼nh n y. Ta thi¸t lªp:
xh(tm+ 1) = xh(tm) +f(tm, xh(tm))h, tm = t0 +mh, (2.68) v sû döng ph²p nëi suy ð giúa. Qu¡ tr¼nh n y ÷ñc gåi l ph÷ìng ph¡p Euler.
Ta hi vång r¬ng xh(t) hëi tö ¸n mët nghi»m khih ↓0. º chùng minh i·u n y, ta quan s¡t ÷ñc l , v¼ f li¶n töc, ÷ñc giîi h¤n bði mët h¬ng sè tr¶n méi kho£ng compact. Do â ¤o h m cõa xh(t) bði còng mët h¬ng sè. V¼ h¬ng sè n y ëc lªp vîih, c¡c h m xh(t) t¤o th nh mët hå c¡c h m li¶n töc ·u m hëi tö ·u sau khi chuyºn th nh mët d¢y con bði ành l½ Arzel - Ascoli.
ành l½ 2.7.1. (Arzel - Ascoli). Gi£ sû d¢y c¡c h m{xm(t)} ∈ C(I,Rn), m ∈
câ mët δ > 0 (ëc lªp vîi m) sao cho:
|xm(t)−xm(s)| ≤ ε nu |t−s| < δ, m∈ N. (2.69) N¸u d¢y {xm} bà ch°n, th¼ câ mët d¢y con hëi tö ·u.
Chùng minh. Cho {tj}∞j=1 ⊂I. V¼ xm(t1) bà ch°n, ta câ thº chån mët d¢y con {x(1)m (t)} sao cho {x(1)m (t1)} hëi tö. T÷ìng tü, ta câ thº tr½ch mët d¢y con {x(2)m (t)} tø {x(1)m (t)} m nâ hëi tö t¤i t2 (v do â luæn hëi tö t¤i t1 v¼ nâ l mët d¢y con cõa {x(1)m (t)}). B¬ng ph²p quy n¤p, ta thu ÷ñc mët d¢y {x(mj)(t)} hëi tö t¤i t1, ..., tj. D¢y ÷íng ch²o x˜m(t) = x(mm)(t) do â s³ hëi tö vîi måi t = tj. Ta s³ ch¿ ra r¬ng nâ hëi tö ·u vîi måi t:
Cè ành ε > 0 v chån δ sao cho vîi|t−s| < δ th¼ |xm(t)−xm(s)| ≤ ε3.
C¡c qu£ c¦uBδ(tj) phõI v bði t½nh compact, ta nâi 1 ≤ j ≤ p. Hìn núa, chån Nε sao cho |x˜m(tj)−x˜n(tj)| ≤ ε3 vîi n, m ≥ Nε v 1 ≤j ≤ p.
B¥y gií chån t v l÷u þ r¬ng t ∈ Bδ(tj) vîi j b§t k¼. Nh÷ vªy:
|x˜m(t)−x˜n(t)| ≤ |x˜m(t)−x˜m(tj)|+|x˜m(tj)−x˜n(tj)|
+|x˜n(tj)−x˜n(t)| ≤ ε
vîi n, m ≥ Nε, suy ra x˜m l d¢y Cauchy. B¬ng c¡ch ho n th nh C(I,Rn) nâ câ mët giîi h¤n.
Ch½nh x¡c hìn, chån δ, T > 0 sao cho V = [t0, t0 +T]×Bδ(x0) ⊂ U
v cho:
M = max (t,x)∈V
|t(t, x)|. (2.70) Khi â xh(t) ∈ Bδ(x0) vîi t ∈ [t0, t0 +T0], trong â T0 = min{T,Mδ }, v
|xh(t)−xh(s)| ≤M|t−s|. (2.71) Do â b§t k¼ d¢y con n o cõa hå xh(t) l li¶n töc ·u v câ mët d¢y con hëi tö ·u φm(t) → φ(t). Nâ v¨n cán cho ta th§y r¬ng giîi h¤n φ(t) gi£i quy¸t b i to¡n gi¡ trà ¦u (2.10). Ta s³ ch¿ ra i·u n y b¬ng c¡ch x¡c minh ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n t÷ìng ùng (2.11) cè ành. V¼ f li¶n töc ·u tr¶n
V, ta câ thº t¼m mët d¢y ∆(h) → 0 khi h →0, sao cho
º câ thº ÷îc t½nh sü kh¡c bi»t giúa v¸ tr¡i v v¸ ph£i cõa (2.11) vîi xh(t) ta chån m vîi t ≤ tm v vi¸t l¤i:
xh(t) = x0 + m−1 X j=0 Z tj+1 tj X(s)f(tj, xh(tj))ds, (2.73) trong â X(s) = 1 vîi s ∈ [t0, t] v X(s) = 0 vîi nhúng gi¡ trà s kh¡c. Khi â: |xh(t)−x0 − Z t t0 f(s, xh(s))ds| ≤ m−1 X j=0 Z tj+1 tj X(s)|f(tj, xh(tj))−f(s, xh(s))|ds ≤ ∆(h) m−1 X j=0 Z tj+1 tj X(s)ds = |t−t0|∆(h), (2.74) Tø â ch¿ ra r¬ng φ thüc sü l mët nghi»m nh÷ sau: φ(t) = lim m→∞φm(t) =x0 + lim m→∞ Z t t0 f(s, φm(s))ds = x0 + Z t t0 f(s, φ(s))ds, (2.75) v¼ ta câ thº ho¡n và giúa giîi h¤n v t½ch ph¥n bði hëi tö ·u.
ành l½ 2.7.2. (Peano). Gi£ sû f li¶n töc tr¶n V = [t0, t0+T]×Bδ(x0) ⊂
U v
M = max (t,x)∈V
|f(t, x)|.
Khi â tçn t¤i ½t nh§t mët nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà ¦u (2.10) vîi
t∈ [t0, t0 + T] chùa trong Bδ(x0), trong â T0 = min{T,Mδ }.
Nhªn x²t r¬ng thuªt to¡n Euler r§t phò hñp vîi vi»c t½nh to¡n b¬ng sè cõa nghi»m x§p x¿ v¼ nâ ch¿ y¶u c¦u ¡nh gi¡ f t¤i mët iºm b§t ëng. M°t kh¡c, nâ khæng rã r ng l m th¸ n o º t¼m mët d¢y con hëi tö, v¼ vªy ta h¢y ch¿ ra r¬ng xh(t) hëi tö ·u n¸u f l Lipschitz. Bði (2.29) vîi
x(t) =xh(t) v y(t) =K(xh)(t) ta câ: ||xh−Km(xh)|| ≤ m−1 X j=0 ||Kj(xh)−Kj+1(xh)||
≤ ||xh−K(xh)|| m−1 X j=0 (LT0)j j! , (2.76)
Sû döng k½ hi»u t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh cõa ành l½ 2.2. Cho
n→ ∞ ta thu ÷ñc:
||xh−φ|| ≤ T0eLT0∆(h), t ∈ [t0, t0 +T0], (2.77) V¼ ÷îc l÷ñng ð tr¶n (2.74) vîi t = t0 +T0 ta câ:
||xh−K(xh)|| ≤ T0∆(h). (2.78) L÷u þ r¬ng n¸u ta câ thº x¡c ành mët h¬ng sè Lipschitz L0 sao cho
|f(t, x)−f(s, x)| ≤L0|t−s|, khi â ta câ thº chån ∆(h) = (L0+LM)h.
Do â, ta câ mët ph÷ìng ph¡p sè ìn gi£n º t½nh to¡n c¡c nghi»m cëng ÷îc l÷ñng sai sè. Tuy nhi¶n, trong c¡c t½nh to¡n thüc t¸, ng÷íi ta th÷íng sû döng ÷îc t½nh sai sè phäng o¡n. N¸u sü kh¡c bi»t giúa giúa hai k¸t qu£ qu¡ lîn, k½ch th÷îc c¡c b÷îc ÷ñc gi£m v b÷îc cuèi còng ÷ñc l°p l¤i. D¾ nhi¶n thuªt to¡n Euler khæng ph£i l thuªt to¡n hi»u qu£ nh§t hi»n nay. K¸t qu£ thuªt to¡n s³ hëi tö nhanh hìn nh÷ng nâ công s³ bao gçm nhi·u t½nh to¡n hìn trong méi b÷îc. «t tm = t0 + hm v
xm = xh(tm) ta thu ÷ñc thuªt to¡n k¸t qu£:
xm+1 = xm + h 6(k1,m + 2k2,m +k4,m, (2.79) trong â k1,m = f(tm, xm), k2,m = f(tm+ h2, xm + h2k1,m), k3,m = f(tm+ h2, xm + h2k2,m), k4,m = f(tm+1, xm +hk3,m), (2.80) ÷ñc gåi l thuªt to¡n Runge Kutta.
KT LUN
Sau mët thíi gian nghi¶n cùu, luªn v«n ¢ ¤t ÷ñc mët sè k¸t qu£ sau:
1) H» thèng l¤i c¡c ki¸n thùc cì sð trong l½ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n nh÷: Ph÷ìng tr¼nh Newton, Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, Ph÷ìng tr¼nh Æ - tæ - næm c§p mët, nghi»m t÷íng minh cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, Ph÷ìng tr¼nh ành t½nh,...
2) Mæ phäng mët sè hi»n t÷ñng vªt l½ k¾ thuªt d÷îi d¤ng ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ho°c h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n.
3) Nghi¶n cùu v· b i to¡n vîi gi¡ trà ¦u v ùng döng
4) Chùng minh chi ti¸t mët sè ành l½ cì b£n cõa l½ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n nh÷: ành l½ v· sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»m, ành l½ Picard - Lindelof, Mð rëng ành l½ Picard - Lindelf, b§t ¯ng thùc Gronwall. 5) Nghi¶n cùu v· b i to¡n nhi¹u lo¤n ch½nh quy, nghi¶n cùu v· ph÷ìng ph¡p Euler v ành l½ Peano trong vi»c t¼m nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n
TI LIU THAM KHO
[1] Ho ng Húu ÷íng (1975), Lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, Nh xu§t b£n ¤i håc v Trung håc chuy¶n nghi»p H Nëi.
[2] Nguy¹n Th¸ Ho n, Tr¦n V«n Nhung (2005), B i tªp ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, Nh xu§t b£n Gi¡o döc.
[3] Nguy¹n Th¸ Ho n, Ph¤m Phu (2007), Cì sð ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v l½ thuy¸t ên ành, Nh xu§t b£n Gi¡o döc H Nëi.
[4] L¶ H£i Trung (2019) Gi¡o tr¼nh ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n - sai ph¥n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m N®ng, Nh xu§t b£n Thæng tin v Truy·n thæng.
[5] Gerald Teschl (2008), Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems.
[6] N. Piskunov, English Translation (1981), Differential and Integral Cal- culus II, Mir Publisher.
[7] David Lomen, David LoveLock NewYork (1999), Differential Equa- tion, John Willey Sons, Inc.