Xét hệ thống anten thích nghi số, trong đó tất cả các phần tử mạng anten là như nhau, ngoài ra các tham số của tín hiệu mong đợi là đã biết, được thu thay vì các tham số của tín hiệu chuẩn (Hình 1.2). Trong hệ thống thực hiện xử lý trọng số phức các tín hiệu số đến từ tất cả các phần tử mạng anten, tạo điện áp đầu ra so sánh với tín hiệu chuẩn, hiệu của chúng là tín hiệu sai lệch:
𝜀[k] = Xo [k] – WT*Y[k] = Xo [k] – YT*[k].W (1.14)
Ở đây: 𝒀[𝑘] = ‖𝑌1[𝑘]𝑌2[𝑘] … 𝑌𝑚[𝑘]‖𝑇– véc tơ hình bao phức các tín hiệu mạng anten ở thời điểm kt; W=‖𝑊1[𝑘]𝑊2[𝑘] … 𝑊𝑚[𝑘]‖𝑇 – véc tơ các trọng số; T* - dấu hiệu chuyển vị và liên hiệp phức; Ym[k] = Xm[k]+Nm[k] m= 1,2,…,M; Xm [k] - mẫu hình bao phức tín hiệu có ích; Nm[k] - mẫu hình bao phức của nhiễu.
Tín hiệu sai lệch 𝜀[k] đến đầu vào của bộ lọc thích nghi, ở đây thực hiện nhiệm vụ tính toán kỳ vọng của bình phương sai số (phương sai của tín hiệu sai số).
Sau những biến đổi không phức tạp ta nhận được:
M(𝜀2[k]) = бs2[k] = M(Xo2[k])-2WTrM [k] + WTRM [k]W (1.15)
Ở đây: RM[k] = M(Y*[k] YT[k]) – ma trận tương quan điện áp ở các kênh mạng anten thích nghi (hệ số ½ bỏ qua vì không đáng kể).
Thêm vào đó là: RM[k]= RMX[k] + RMN[k]
Ở đây: RMX[k] - ma trận tương quan các tín hiệu có ích, RMN[k] – ma trận tương quan nhiễu. rM =‖ 𝑀(𝑌1∗[𝑘]𝑋0 [𝑘]) 𝑀(𝑌2∗[𝑘]𝑋0 [𝑘]) … … … . . 𝑀(𝑌𝑀∗[𝑘]𝑋0 [𝑘])
‖ = M(Y* [k]X0 [k]) – Vector các modul tương quan
tín hiệu thu Y[k] và tín hiệu chuẩn X0 [k].
Nếu những tín hiệu nhiễu N[k] không tương quan với tín hiệu chuẩn X0 [k], tức là M(N[k]X0 [k]) = 0, thì rM [k] = M(Xm [k] X0 [k])- đặc trưng cho sự phân bố biên độ – pha tín hiệu có ích ở các kênh thu tương ứng với phân bố biên độ - pha của tín hiệu chuẩn.
Từ (1.15), phương sai tín hiệu sai lệch là hàm bình phương của W, ma trận
RM [K] là xác định dương, nên hàm б𝑧2 [K] có cực tiểu duy nhất, còn vector Wopt
ứng với 𝜎𝑧𝑀𝑖𝑛2 [𝐾] được tìm từ nghiệm phương trình: 𝑑𝜎𝜀2[𝑘]
𝑑𝑾𝑻 = ∇𝑊𝜎𝜀2[𝑘] = 0
Kết quả vi phân nhận được: ∇𝑤𝜎𝜀2[𝑘]= - 2rM [k] + 2RM [k] Wopt = 0.
Từ đó: Wopt = RM1[k]RM [k] (1.16) Phương trình (1.16) gọi là phương trình “Wiener – Hopf”, vì vậy nghiệm
nhận được là nghiệm có tên “Wiener – Hopf”.
Để giải phương trình (1.16) những ước lượng cần thiết ma trận tương quan nghịch đảo 𝑹𝑀−1[k] và vector 𝒓̂𝑀𝑇[k] được tính trong quá trình thích nghi theo mẫu các tín hiệu ở đầu ra các phần tử mạng anten hay bằng phép hồi quy, tức là tính toán chính xác hoá liên tiếp các ước lượng.
Sau khi tính các ước lượng Wopt, có thể viết biểu thức cho giá trị cực tiểu của phương sai sai lệch tín hiệu đầu ra mạng anten so với tín hiệu chuẩn - б𝑧𝑀𝑖𝑛2 [K]. Vì 𝑹𝑀−1 là ma trận Hermitian nên với ma trận tương quan, biểu thức cuối cùng cho phương sai sai số tối thiểu có dạng:
𝜎𝑧𝑀𝑖𝑛2 [𝑘] = 𝑀(𝑋02[𝑘]) − 𝒓̂𝑀𝑇[𝑘] (1.17) Qua nhiều khảo sát nghiên cứu, tổng hợp trong [49], [78] các nhà nghiên cứu chỉ ra rằng khi tối ưu các vector W theo các tiêu chuẩn khác cần phải tính
thống kê, như trong trường hợp đã xem xét - tức nghiệm tối ưu dần đến nghiệm của phương trình “Wiener – Hopf”.