−Đường kớnh vuụng gúc với dõy thỡ đi qua trung điểm của dõy ấy
−Đường kớnh đi qua trung điểm của dõy khụng đi qua tõm thỡ vuụng gúc với dõy ấy
−Trong cỏc dõy của đường trũn, dõy nào lớn hơn thỡ gõn tõm, ngược lại
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Trờn AB, AC lần lượt lấy cỏc điểm D, E. Goi K, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của DE, EB, BC, CD. CMR: 4 điểm M, N, P, Q cựng thuộc 1 đường trũn
LG
+ Xột tam giỏc EDB, ta cú: ME MD
NE NB
= =
⇒ MN là đường trung bỡnh của ∆EDB
⇒ suy ra MN // = ẵ B (1) hay MN//AB (1) + Xột tam giỏc BCD, ta cú : QC QD
PC PB
= =
PQ là đường trung bỡnh của tam giỏc BCD, suy ra PQ // = ẵ BD (2) + Từ (1) và (2) => MN // = PQ => tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành (*) + Xột tam giỏc CDE, ta cú : MD ME
QD QC
= ⇒
= MQ là đường trung bỡnh của ∆CDE suy ra MQ // CE => MQ // AC + Ta cú : 0 / / / / 90 à MQ AC MN AB MQ MN M m AC AB ⇒ ⊥ ⇒ ∠ = ⊥ (**)
+ Từ (*) và (**) ⇒ tứ giỏc MNPQ là hỡnh chữ nhật, gọi O là giao điểm của MP và NQ
⇒ OM = ON = OP = OQ ⇒4 điểm M, N, P, Q cựng thuộc 1 đường trũn
Bài 2: Chứng minh định lý sau :
a) Tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc vuụng là trung điểm của cạnh huyền
QP P N M D E C B A
b) Nếu 1 tam giỏc cú 1 cạnh là đường kớnh của đường trũn ngoại tiếp thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng
O C
B
A
Xột tam giỏc ABC vuụng tại A. Gọi O là trung điểm của BC => OA = OB = OC (vỡ AO là trung tuyến của tam giỏc) => O là tõm của đường trong ngoại tiếp tam giỏc ABC
O C
B A A
Vỡ tam giỏc ABC nọi tiếp đường trũn tõm O cú đường kớnh BC => OA = OB = OC
=> OA = ẵ BC
=> tam giỏc ABC vuụng tại A
Bài 3: Cho tam giỏc ABC nhọn, vẽ đường trũn (O ; ẵ BC) cắt cỏc cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E
a) Chứng minh rằng : CD vuụng gúc với AB ; BE vuụng gúc với AC
b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng : AK vuụng gúc với BC
LG
a) Theo bài 2, ∆BCD và ∆BCE cú cạnh BC là đường kớnh
⇒∆BCD vuụng tại D và ∆BCE vuụng tại E
⇒ CD ⊥ AB và BE ⊥ AC b) Xột tam giỏc ABC, ta cú :
à BE AC CD AB m BE CD K ⊥ ⊥ ⇒ ì = K là trực tõm của ∆ABC ⇒ AK ⊥ BC
Bài 4 : Cho tam giỏc ABC, gúc A > 900. Gọi D, E, F theo thứ tự là chõn cỏc đường cao kẻ từ A, B, C. Chứng minh rằng:
a) Cỏc điểm A, D, B, E cựng nằm trờn 1 đường trũn b) Cỏc điểm A, D, C, F cựng nằm trờn 1 đường trũn c) Cỏc điểm B, C, E, F cựng nằm trờn 1 đường trũn
LG
a) Gọi M là trung điểm của AB
Xột ∆ADB, 0 1 90 2 D MA MB MD AB ∠ = ⇒ = = = (1) Xột ∆AEB, 0 1 90 2 E MA ME MB AB ∠ = ⇒ = = = (2) Từ (1) và (2)⇒ MA = MB = MD = ME ⇒ cỏc điểm A, D, B, E cựng nằm trờn 1 đường trũn b) Gọi N là trung điểm của AC
K E E D O C B A I N M F E D C B A
Xột ∆ADC vuụng tại D và ∆AFC vuụng tại F, ta cú: DN, FN lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ⇒ NA = ND = NC = NF ⇒A, D, C, F cựng nằm trờn 1 đường trũn
c) (chứng minh tương tự)
Bài 5: Cho tam giỏc ABC cú AB = AC nội tiếp đường trũn tõm O, đường cao AH của tam giỏc cắt đường trũn (O) tại D
a) Chứng minh rằng AD là đường kớnh của đường trũn tõm O b) Tớnh gúc ACD
c) Cho BC = 12cm, AC = 10cm. Tớnh AH và bỏn kớnh của đường trũn tõm O
LG
a) + Vỡ AB = AC ⇒ ∆ABC cõn tại A, mà AH ⊥ BC
⇒AD là trung trực của BC (1)
+ Do ∆ABC nội tiếp đường trũn tõm O ⇒ O thuộc đường trung trực của BC (2)
+ Từ (1) và (2) ⇒ O ∈ AD ⇒AD là đường kớnh của (O)
b) Ta cú ∆ACD nội tiếp (O) cú AD là đường kớnh ⇒∠ACD = 900 c) + Vỡ 1 1.12 6
2 2
AD⊥BC⇒BH =CH = BC= = cm
+ Xột ∆AHC vuụng tại H, ta cú: 2 2 2 2 2
10 6 8
AC =AH +CH ⇒AH = − = cm + Xột ∆ACD vuụng tại C ⇒ 2 2 102
. 12, 5 8 AC AC AD AH AD cm AH = ⇒ = = =
⇒ Bỏn kớnh của đường trũn (O) là 1 1.12, 5 6, 25
2 2
R= AD= = cm
Bài 6 : Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn. Vẽ (O) đường kớnh BC, nú cắt cỏc cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E.
a, CMR: CD ⊥AB; BE ⊥AC.
b, Gọi K là giao điểm của BE và CD. CMR: AK ⊥ BC.
Bài 7: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, nội tiếp (O).Đường cao AH cắt đường trũn (O) ở D. a. Vỡ sao AD là đường kớnh của đường trũn (O).
b. Tớnh số đo ACD.
c. Cho BBC = 24, AC = 20. Tớnh đường cao AH và bỏn kớnh (O).
Bài 8: Cho đường trũn (O), đường kớnh AD = 2R. Vẽ cung tõm D bỏn kớnh R, cung này cắt đường trũn (O) ở B và C.
a. Tứ giỏc OBDC là hỡnh gỡ? b. Tớnh số đo CBD, CBO, BOA. c. Chứng minh rằng tam giỏc ABC đều.
Bài 9: Cho đường trũn (O), điểm A nằm bờn trong đường trũn, điểm B nằm bờn ngoài đường trũn, sao cho trung điểm I của AB nằm bờn trong (O). Vẽ dõy CD vuụng gúc với OI tại I. Hóy cho biết tứ giỏc ABCD là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
HD D O C B A
Bài 10: a) Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB, dõy CD.Cỏc đường thẳng vuụng gúc với CD tại C và D cắt AB lần lượt tạiM và N. CMR: AM = BN.
b) Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB. Trờn AB lấy hai điểm M và N sao cho AM =BN. Qua M, N kẻ cỏc đường thẳng song song với nhau chỳng cắt nửa đường trũn lần lượt tạiC và D. CMR: MC và ND cựng vuụng gúc với CD.
BÀI TẬP