II – TÍNH CHẤT ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC VUÔNG Định lí bổ sung 3.
Ơ-LE VÀ BÀI TOÁN BẢY CHIẾC CẦU
Đƣờng thẳng đi qua trực tâm, trọng tâm và tâm đƣờng tròn ngoại tiếp của một tam giác đƣợc gọi là đường thẳng Ơ-le .Tên của Ơ-le cũng đƣợc đặt cho đƣờng tròn đi qua chín điểm : ba trung điểm của các cạnh , ba chân các đƣờng cao , ba trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh của tam giác
Lê-ô na Ơ-le (Léonard Euler) sinh tại Thụy Sĩ năm 1707. Năm 20 tuổi, ông đƣợc mời đến Pê- tec-bua (Nga) giảng dạy và 6 năm sau, ông trở thành Viện sĩ Vieenh hàn lâm khoa học Pê-tec-bua.
Ông làm việc không biết mệt mỏi với một năng suất phi thƣờng. Năm 28 tuổi, Ỏ-le nhận làm trong ba ngày những tính toán thiên văn để lập bản dồ, một công việc mà các viễn sĩ cho rằng phải làm trong vài tháng. Và ông đã làm xong trong có một ngày đêm ! Vào cuối đời mình, Ơ-le thông báo cho Vieenh hàn lâm Pê-tec-bua rằng ông sẽ để lại số bài báo đủ đăng trên tạp chí khoa học của Viện tỏng 20 năm. Sau khi ông mất, các công trình chƣa công bố của ông còn nhiều đến mức tạp chí của Viện đăng trong 47 năm mới hết (theo tạp chí Kvant số 11-1983).
Bằng khả năng lao đọng kì diệu của mình, Ơ-le đã đẻ lại cho thế giới một di sản đồ sộ : tên 800 công trình của ông đƣợc in thành bốn vạn trang sách, đề cập đến nhiều lĩnh vực khác nhau nhƣ số học, đại số, giải tích, hình học, lƣợng giác, cơ học, thiên văn, hàng hải, triến học,..., mỗi công trình đều là một tác phẩm khoa học xuất sắc. Một điều đáng chú ý là trong các bản thảo, Ơ-le không chỉ viết các kết quả nghiên cứu mà còn trình bày cả quá trình suy nghĩ và những khó khăn ông đã vƣợt qua để đi đến kết quả. Chính vì thế mà Gau-xơ đã nói rằng : “Việc học tập những tác phẩm của Ơ-le là cách tốt nhất để hiểu toán học”.
Ơ-le mất ở Pê-tec-bua năm 1973. ông coi nƣớc Nga nhƣ Tổ quốc thứ hai của mình, nơi ông đã làm việc tổng cộng trong 31 năm. Các con của ông đều lấy quốc tịch Nga, có ngƣời là viện sĩ hàn lâm, có ngƣời là tƣớng.
lần. Không khó khăn gì để tìm đƣợc cách vẽ, nhƣng cũng không phải cứ đặt bút tù bất kì điểm nào trên hình cũng vẽ đƣợc.
Còn hình 38 thì sao? Phải vẽ bằng mấy nét, tức là bằng mấy đƣờng liền nét mà không nhấc bút khỏi tờ giấy và không vẽ hai đoạn nào trùng nhau?
Dân chúng thành phố Kơ-nic-xbec (sau này Đổi là Ka-li-nin-grat) hồi giữa thế kỉ XVIII cũng đã từng sôi nổi về một bài toán nhƣ thế. Hai hòn đảo của thành phố nối với nhau và nối với các phần của thanh phố nằm hai bên bờ sông Prê-ghen bằng bảy chiếc cầu (h.39). Các khách du lịch thăm bảy chiếc cầu của thành phố đều nhận thấy rằng bao giờ họ cũng phải đi qua một chiếc cầu nào đó hơn một lần. Có cách nào đi qua cả bảy một lần không ? Chính Ơ-Le đã giải quyết trọn vẹn bài toán đó. Trƣớc hết ta gọi một đỉnh là
đỉnh lẻnếu từ đó xuất phát một số lẻ đoạn (nhƣ các đỉnh A, E ở hình 37), là đỉnh chẵn nếu từ đỉnh đó xuất phát một số chẵn đoạn (nhƣ các đỉnh B, C, D, G ở hình 37). Ơ-le đã chứng minh rằng một hình liên thông (hình mà từ một điểm bất kì của hình có thể đi tới tất cả các điểm khác của hình) có các tính chất sau : 1 . Hình không có đỉnh lẽ thì bao giờ cũng vẽ đƣợc bằng một nét khép kín (điểm đầu vá điểm cuối của nét vẽ trùng nhau). G E D C B A I H G E D C B A
2.Hình chỉ có hai đỉnh lẽ thì bao giờ cũng vẽ đƣợc bằng một nét khép kín (phải xuất phát từ một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia).
3 . Hình có 2n đỉnh lẻ (hình nào cũng chỉ có một số chẵn các đỉnh lẻ) thì không thể vẽ đƣợc với ít hơn n nét .
Trở lại bài toán bảy chiếc cầu. Vì ta chỉ quan tâm đến việc qua cầu nên ta có thể kí hiệu các khu vực
A, B, C, Dcủa thành phố bởi các điểm A, B, C, D, Còn bảy chiếc cầu đƣợc biểu thị bởi bảy đƣờng nối Hai trong các điểm ấy (h.40). Hình có bốn đỉnh lẻ, Nên không thể vẽ đƣợc bằng một nét. Nhƣ vậy, Không thể đi qua cả bảy chiếc cầu mà chỉ đi qua Mỗi chiếc cầu đúng một lần (sau này ngƣời dân Ka-li-nin-grat đã xây thêm chiếc cầu thứ tám). Nếu bảy chiếc cầu có vị trí nhƣ trên hình 41 thì có thể đi qua mỗi chiếc cầu đúng một lần vì hình vẽ chỉ có hai đỉnh lẻ A và B: hành trình có thể xuất phát từ A và kết thúc ở B, lần lƣợt qua các cầu ghi số từ 1 đến 7
Với những nhận xét trên, ta thấy:
- Các hình 42, 43 không thể vẽ đƣợc bằng một nét vì có bốn đỉnh lẻ là A, B, C, D Hình 42 D C B A D C B A
Hình 44
Hình 45
- Hình 45 chỉ có hai đỉnh lẻ là A và C, vẽ đƣợc bằng một nét (vẽ xuất phát từ A hoặc C, chẳng hạn
AGBCDAEDGEC).
- Các hình 46, 47, 48 không có đỉnh lẻ, vẽ đƣợc bằng một nét khép kín, chẳng hạn theo hành trình
CABCDEACEBDA (h.46). ABCDAEGHIKA (h.47). ABCDEGHIKLGAMNOPA (h.48)
Những bài toán trên không chỉ đơn thuần có tính chất giải trí. Các nhân viên đƣa thƣ, đƣa báo, các đội tuần tra, các xe tƣới đƣờng, xe chuyển hàng, xe đƣa đón khách tham quan,... tất cả đều cần đi theo những con đƣờng hợp lí để tiết kiệm nhất. Tìm đƣợc hành trình ngắn nhất, điều đó có ý nghĩa kinh tế không nhỏ. Giải bài toán bảy chiếc cầu, Ơ-le đã đặt cơ sở lí thuyết cho một ngành của toán học ứng dụng là lí thuyết
I H G E D C B A G E D C B A