II – TÁC DỤNG CỦA TƢƠNG TỰ Ngƣời ta thƣờng dùng tƣơng tự để:
2. Phát hiện tính chất mới, đề xuất bài toán mới.
Tƣơng tự còn có nghĩa là có những nét giống nhau. Từ một số tính chất giống nhau của hai đối tƣợng, ta dự đoán các tính chất giống nhau khác của chúng. Chẳng hạn : Nếu đối tƣợng X có các tính chất a, b, c, d, còn đối tƣợng Y có các tính chất a, b, c, thế thì Y cũng có thể có tính chất d.
Một ví dụ. Các đƣờng trung tuyến, đƣờng cao, phân giác của tam giác có một số tính chất giống nhau. Chẳng hạn trong tam giác cân, các đƣờng trung tuyến ứng với cạnh bên thì bằng nhau. Các đƣờng phân giác, đƣờng cao cũng có tính chất nhƣ vậy. Biết các đƣờng trung tuyến của tam giác gặp nhau tại một điểm, ta phỏng đoán rằng các đƣờng phân giác, đƣờng cao cũng có tính chất ấy. Các giả thuyết này cũng đƣợc khẳng định.
Ở đây tƣơng tự có vai trò nhƣ một phƣơng pháp thực nghiệm. Nhờ so sánh các đối tƣợng có một số thuộc tính giống nhau mà ta đề ra giả thuyết tƣơng tự rồi kiểm tra các giả thuyết ấy. Đó chính là tác dụng của tƣơng tự trong quá trình sáng tạo toán học, nhờ đó mà ta có thể đề xuất các bài toán mới.
Chú ý rằng cách nhìn hai đối tƣợng là tƣơng tự cũng rất khác nhau tuỳ theo mục đích nghiên cứu. Các đƣờng trung tuyến, đƣờng phân giác, đƣờng cao có thể xem là tƣơng tự vì có một số tính chất giống nhau trong tam giác. Tam giác và tứ giác có thể xem là tƣơng tự vì chúng là các trƣờng hợp riêng của đa giác. Chu vi và diện tích có thể xem là tƣơng tự vì chúng đƣợc nghiên cứu bằng phƣơng pháp giống nhau. Đƣờng thẳng có khi đƣợc xem là tƣơng tự với đƣờng tròn, có khi đƣợc xem là tƣơng tự với mặt phẳng.
Hình 23 Hình 22 E F O E F O B C A A C B
khẳng định hay bác bỏ dự đoán đó thì phải chứng minh. Sẽ sai lầm nếu bằng tƣơng tự, ta cho rằng giao điểm các đƣờng phân giác của tam giác cũng cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2
3 độ dài đƣờng phân giác đi qua đỉnh ấy (!) hoặc cho rằng trong hai tam giác bất kì, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau (!).