M ục tiêu: Học sinh hiểu được bất đẳng thức trong tam giác
2. Nội dung: Ôn tập Tóm t ắt lý thuyết:
• Tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.
GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7 Website: tailieumontoan.com Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2
3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Vì G là trọng tâm của ∆ABC
⇒AG 2AD ; BG 2BE ; CG 2CF
3 3 3
= = =
Để chứng minh G là trọng tâm của ∆ABC, ta có thể chứng minh : Cách 1 :G là giao điểm của hai đường trung tuyến của ∆ABC.
∆ABC có:
AD là trung tuyến BE là trung tuyến AD cắt BE tại G
⇒ G là trọng tâm của ∆ABC
Cách 2 : G thuộc một trung tuyến (ví dụ AD) và thỏa thêm một trong các đẳng thức sau : 2 1 1 AG AD, AG 2GD, GD AG, AD 3GD, GD AD 3 2 3 = = = = = ∆ABC có: AD là trung tuyến 2 AG AD 3 =
⇒ G là trọng tâm của ∆ABC
Tiết 1:
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung Bài 1: Cho hình bên hãy tính
DK EF HG a EK HF DG ) . . b DG EI KG FD DH EG GF FI ) . . . c) Chứng minh : EG FG DH DG EG FK GI FK DG. . = GH EI FG. .
GV: ta có thể dựa vào đâu để có thể tính được các biểu thức trên?
HS: Tính chất trung điểm của đoạn, tính chất trọng tâm của tam giác
GV: khi K là trung điểm của DE thì ta
Bài 1:
a)Theo hình vẽ : Ba đường trung tuyến DH, EI, FK cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm của tam giác DEF.
GF F B A D E C F I H D E K G E D G A B C C B A G D
biết được gì ? HS: DK = EK
GV: Khi đó tỉ số giữa DK và EK là bao nhiêu?
HS: DK 1 1 EK = =1
GV: Gọi hs lên bảng thực hiện theo hướng dẫn
GV: yêu cầu hs nhận xét
GV: nếu G là trọng tâm của ∆DEF thì có những tỉ số nào?
HS: nêu các tỉ số
GV: vậy dựa vào đó, một bạn lên bảng thực hiện câu b)
GV: với câu c) chúng ta có thể thực hiện tính từng vế, rồi so sánh kết quả, sau đó kết luận yêu cầu chứng minh (GV cho hs làm theo nhóm, và chọn 2 nhóm làm nhanh nhất để chấm và sửa cho toàn lớp) Ta có: DK 1 1
EK = =1 (K là trung điểm đoạn DE) EF 2
= =2
HF 1 (H là trung điểm đoạn EF) HG 1
=
DG 2(G là trọng tâm tam giác DEF) Do đó:
DK EF HG 1
1 2 1
EK HF DG. . = . .2 =
b) Vì G là trọng tâm tam giác DEF nên: DG 2 = DH 3 ; EI 3 = EG 2 ; KG 1 = GF 2 Lại có I là trung điểm của FD nên:
FD 2 = =2 FI 1 Do đó: DG EI KG FD 2 3 1 2 1 DH EG GF FI. . . = 3 2 2. . . =
c) Vì G là trọng tâm tam giác DEF nên: EG FG DH 2 2 3 2 GI FK DG. . = 1 3 2. . = (1) DG EG FK 2 2 3 2 GH EI FG. . = 1 3 2. . = (2) Từ (1) và (2) suy ra: EG FG DH DG EG FK GI FK DG. . = GH EI FG. .
Bài 2:Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM.
a) Chứng minh rằng AM ⊥BC. b) Tính độ dài AM. a) GV: để AM⊥BC ta cần điểu gì Bài 2: a/ Xét ΔAMB và ΔAMC
AB = AB (tam giác ABC cân tại A)
M
B C
HS: (có thể đưa ra nhiều cách nghĩ, gv nghe và chọn ra cách đúng để gợi mở tiếp, nếu ko có phương án, GV gợi ý) GV: trong trường hợp này chúng ta không đủ điều kiện để dùng Pytago đảo, chúng ta có thể chứng minh
0
AMB=AMC=90
GV: ở đây có 2 dấu bằng, vậy dấu bằng thứ nhất có thể cm thế nào?
HS: Cm cặp tam giác bằng nhau (ΔAMB = ΔAMC)
GV: 2 góc AMB và góc AMC ngoài bằng nhau chúng còn có quan hệ gì không?
HS: 2 góc kề bù
GV: vậy nếu vừa bù vừa bằng thì ta có gì?
b)
GV: Tính AM bằng cách nào?
HS: định lí Pytago thuận cho ∆AMB GV: còn thiếu gì không?
HS: thiếu MB GV: Vậy MB = ?
HS: MB=MC=BC=32=16
2 2
MB = MC (AM là đường trung tuyến tam giác ABC)
AM = AM (cạnh chung) Do đó ΔAMB = ΔAMC (C-C-C) AMB=AMC ⇒ (2 góc tương ứng) Mà 0 AMB+AMC=180 (2 góc kề bù) Nên 0 0 180 AMB=AMC= =90 2 ⇒AM ⊥ BC
b/ Vì M là trung điểm BC nên BC 32
MB=MC= = =16
2 2 (cm)
Xét tam giác AMB vuông tại M:
2 2 2 AB =AM +MB (định lý Pytago) ... 2 AM =900 AM=30 ⇒ (cm)
Bài 3:Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh A, G, D thẳng hàng.
GV: giao điểm 2 đường trung tuyến là gì?
HS: là trọng tâm của tam giác.
GV:Vậy đường thẳng đi qua đỉnh và trọng tâm thì chứa gì của tam giác HS: chứa đường trung tuyến của tam giác
Bài 3:
ΔABCcó 2 đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G
⇒ G là trọng tâm của ΔABC
DG G
F E
B C
GV: vậy chúng ta sẽ áp dụng vào giải bài toán này
⇒AG chứa đường trung tuyến ΔABC
⇒AG đi qua trung điểm D của BC
⇒A,G,D thẳng hàng
Bài 4:Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến AD và BE cắt nhau tại G. Kéo dài GD thêm một đoạn DI = DG. Chứng minh G là trung diểm của AI.
GV: để G là trung điểm của AI cần gì? HS: cm GA = GI và G nằm giữa A,I GV: làm sao để GA = GI? Dựa vào đâu HS: (suy nghĩ và nêu ý kiến, nếu có hướng đi thì GV hướng theo ý hs) GV: Theo gt bài toán thì G là gì của tam giác ABC?
HS: G là trọng tâm ΔABC GV: Vậy sẽ có những tỉ số nào? HS: nêu tỉ số (GV có thể ghi hết lên phần bảng nháp)
GV: vậy khi DI = DG ta có thể có những tỉ số nào giữa 2 trong 3 đoạn DI, DG và IG?
HS: nêu tỉ số (GV ghi lên bảng)
GV: tìm các tỉ số có liên quan đến GD, GI và GA để so sánh.
Sau đó GV cho hs lên bảng làm, và chỉnh sửa cách trình bày.
Bài 4:
ΔABC có 2 đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G ⇒G là trọng tâm ΔABC AG=2GD ⇒ Ta lại có DI = DG và D∈GI IG=2GD ⇒ Vì G nằm giữa A và I AG = IG ( = 2GD)
Nên G là trung điểm của AI
Bài 5:Cho ∆ABC có đường trung tuyến AD. Lấy điểm G trên đoạn AD sao cho AG = 2 GD. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh :
a)AG 2AD3 3
=