Một ứng dụng của Nguyên lí cực đại cực tiểu chính là việc chứng minh tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy hoặc bài toán biên-ban đầu của phương trình truyền nhiệt. Trước hết ta xét bài toán Cauchy:Tìm hàmuliên tục và giới nội khit≥0, thoả mãn
∂u ∂t =a 2∂2u ∂x2, t >0, (4.1.5) u(x,0) =g(x), x∈R. (4.1.6) Khi đó ta có định lí
Định lý 4.1.3. Nghiệm giới nội của bài toán(4.1.5)-(4.1.6)là duy nhất, phụ thuộc liên tục vào giá trị ban đầu được cho khi t= 0.
Chứng minh. Từ nguyên lí cực đại cực tiểu trong miền vô hạn (Định lí 4.1.2) , xét hai nghiệmu(x, t)vàv(x, t)sao cho
sup
x∈R
|u(x,0)−v(x,0)|< ε, (4.1.7)
khi đó trong miềnΩT =R×[0, T],T <∞, ta sẽ có
|u(x, t)−v(x, t)|< ε, ∀(x, t)∈S. (4.1.8) Ta có điều phải chứng minh.
Tiếp theo, ta xét bài toán biên-ban đầu trong miền bị chặnΩT như sau:Tìm hàmu(x, t)liên tục, xác định trongΩT thoả mãn phương trình
ut =a2uxx+f(x, t), (x, t)∈Ω0T,
và thoả mãn các điều kiện biên-ban đầu sau
u(x,0) = ϕ(x), x∈(0, l),
u(0, t) = µ0(t), u(l, t) = µl(t), t ∈(0, T).
Ta có định lí
Chứng minh. Xétu1 và u2 là nghiệm của bài toán trên với cùng điều kiện biên-ban đầu. Khi đó hàm
v(x, t) =u1(x, t)−u2(x, t),
sẽ thoả mãn phương trình vt = a2vxx, cùng các điều kiện biên-ban đầu thuần nhất. Theo Nguyên lí cực đại cực tiểu, ta thấy rõ ràng hàmv thoả mãn các điều kiện của Nguyên lí và do đó đạt giá trị cực đại tạit= 0hoặcx= 0hoặcx=l. Tuy nhiên, tại cả ba điểm trên hàm v đều triệt tiêu, nên ta suy ra hàmv bằng 0 tại mọi điểm trongΩT, tức làv(x, t) ≡ 0trong
ΩT. Ta có điều phải chứng minh.