Ta tiếp tục xét phương trình (2.2.30). Giả sử đến một thời điểm nào đó, các điều kiện biên và các nguồn nhiệt được xét trong bài toán truyền nhiệt không còn phụ thuộc thời gian thì lúc đó nghiệm của bài toán truyền nhiệt sẽ ở trạng thái "tĩnh"(12). Khi đó, phân bố nhiệt độ trong miền được xét là "ổn định" đối với thời gian, được gọi làthế vị nhiệt độ. Ta đi thiết lập phương trình của hiện tượng này. Nhắc lại rằng phương trình này được "xuất phát" từ phương trình truyền nhiệt, kết hợp với thực tế là ẩn hàm không phụ thuộc vào thời gian, ta có phương trình
−∆u= 0. (2.2.31)
Phương trình này được gọi làphương trình Laplace.(13)Ở đây ta đang xét trường hợp không có nguồn nhiệt, tức là xét vế phải bằng không. Trong trường hợp có nguồn nhiệt (và nguồn nhiệt đó không phụ thuộc thời gian) thì ta có phương trình Poisson
−∆u=f(x).
Cùng phương trình elliptic này, ta thiết lập các bài toán biên, với các giá trị trên biên được cho dưới dạng trực tiếp (u|S = ϕ(P)) hoặc gián tiếp (∂u∂n|S = ϕ(P)). Bài toán tìm phân bố của nhiệt độ bên trong một vật thể (kín, không có tiếp xúc với bên ngoài) khi biết được (đo được) nhiệt độ ở trên [toàn bộ] biên được gọi là Bài toán Dirichlet, theo tên nhà toán học L.Dirichlet là người đầu tiên nghiên chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán này. Bài toán tìm nghiệm của phương trình elliptic khi biết giá trị trên biên của đạo hàm theo hướng pháp tuyến của ẩn hàm được gọi là Bài toán Neumann. Ý nghĩa vật lí của điều kiện biên Neumann chính là người ta có thể tìm được phân bố nhiệt (thế vị nhiệt) của vật thể khi biết được tốc độ phân tán nhiệt độ ra môi trường ngoài ở mọi điểm trên biên của vật thể đó. Bài toán tìm nghiệm của phương trình khi biết giá trị trên biên của tổng giữa ẩn hàm cần tìm và đạo hàm theo hướng pháp tuyến của ẩn hàm gọi làBài toán hỗn hợp hay Bài toán Robin. Bên cạnh đó, ta cũng xét bài toán mà điều kiện biên Neumann được cho trên một phần biên, và điều kiện biên Dirichlet được cho trên phần biên còn lại của vật thể. Việc nghiên cứu các bài toán như nêu ở trên không chỉ có ý nghĩa về mặt định tính mà còn có ứng dụng rất thực tiễn trong các bài toán vật lý, hoá học, sinh thái học. . . Có thể nêu một ví dụ đơn giản nhất là mô tả chuyển động không xoáy của chất lỏng lý tưởng (thuần nhất,
(12)steady-state solutions
(13)Bài toán được lấy theo tên nhà toán học P-S. Laplace của Pháp thế kỉ 18-19, lần đầu tiên đề xuất vào năm 1780. Dạng phân kì của nó (khi môi trường không đồng chất)
∇(a∇u) = 0
không nén được) trong môi trường đồng nhất, vectơ vận tốcv của chất lỏng lý tưởng sẽ là vectơ thế, tức là tồn tại hàm thếϕ(x, y, z)sao cho~v(x, y, z) =−grad−→ ϕ. Khi đó phương trình chuyển động liên tục cho ta
div~v = 0, hay div −→ gradϕ= 0, tức là ∂2ϕ ∂x2 +∂ 2ϕ ∂y2 +∂ 2ϕ ∂z2 = 0.