Tương tự như đối với phương trình hyperbolic, người ta xây dựng các bài toán Cauchy, bài toán biên-ban đầu của phương trình parabolic bằng cách thiết lập các điều kiện ban đầu và điều kiện biên tương ứng (xem, ví dụ [6, Chương 4].) Điều kiện Cauchy được thiết lập
theo thời gian, tức là ẩn hàmu(x, t)tại thời điểmt=t0sẽ bằng một hàm thích hợp nào đó u(x, t)|t=t0 =g(x), x∈[0, l],
với l là chiều dài của thanh được xét, có thể bằng vô hạn. Ta xét miền đóng ΩT = [0, l]×
[t0, T], miền mởΩ0T = (0, l)×(t0, T). Ta có một số cách thiết lập điều kiện biên trên thanh được cho như sau:
1. Điều kiên biên Dirichlet: tại các đầu mútx= 0vàx=lta có u(0, t) =µ0(t), u(l, t) =µl(t), t∈[t0, T],
với µ0, µl là các hàm được cho trên[t0, T]. Ở đây T có thể bằng vô hạn. Điều kiện biên Dirchlet cho biết giá trị của ẩn hàm cần tìm tại biên của miềnΩT được xét.
2. Điều kiện Neumann: tại đầu mútx= 0hoặcx=l, ta có ∂u
∂x(0, t) =ν0(t), ∂u
∂x(l, t) =νl(t),
với ν là các hàm cho trước trên[t0, T]. Điều kiện biên Neumann cho biết độ khuếch tán của [dòng] nhiệt độ(1)ra ngoài hệ ở hai đầu mút.
3. Ta có thể thiết lập một số điều kiện biên khác, ví dụ như điều kiện ứng với định luật Newton của hiện tượng truyền nhiệt như sau
∂u
∂x(l, t) = −λ[u(l, t)−θ(t)],
trong đó θđược cho trước. Tại biênx= 0ta có điều kiện tương ứng ∂u
∂x(0, t) = λ[u(0, t)−θ(t)],
4. Nếu giá trị củallà rất lớn và thời gian được xét[t0, T]là nhỏ, ta có thể bỏ qua điều kiện biên để chỉ xét điều kiện ban đầu về thời gian. Khi đó ta có điều kiện Cauchy đã nêu ở trên. Bên cạnh đó, có thể xét bài toán biên-ban đầu với một đầu rất xa, tức là chỉ có điều kiện biên trên một đầu mút u(0, t) =ϕ(t).
5. Ta cũng có thể xét điều kiện phi tuyến (tuy nhiên điều này không được xét trong khuôn khổ môn học) ví dụ như điều kiện mô tả định luật Stefan-Boltzmanntrong quá trình truyền nhiệt
∂u
∂x(0, t) = σ[u
4(0, t)−θ4(t)].
Định nghĩa 4.1.1.
1. Hàm u được gọi là nghiệm của bài toán biên-ban đầu thứ nhất của phương trình parabolic nếu
(a) nó được xác định trên miền đóngΩT,
(b) nó thoả mãn phương trình parabolic trên miền mở Ω0T,
(c) nó thoả mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện biên Dirichlet u(x, t0) = φ(x), u(0, t) =µ1(t), u(l, t) =µ2(t), sao cho các hàmφ,µi là các hàm liên tục, thoả mãn
φ(0) =µ1(t0), φ(l) =µ2(t0).
2. Khi thay điều kiện Dirichlet bằng điều kiện biên Neumann, ta cóbài toán biên-ban đầu thứ hai; nếu thay bằng điều kiện hỗn hợp, ứng với định luật Newton mà ta nêu ở trên, ta cóbài toán biên- ban đầu thứ ba.