Phương trình truyền sóng mô tả hiện tượng truyền sóng trong môi trường thực tế, như các hiện tượng truyền sóng âm trong không gian (ứng với trường hợp hàmu=u(x, y, z, t)), ở đó hàm sóng mô tả sóng âm được truyền trong không gian theo các mặt cầu có bán kính phụ thuộc vào thời giant; hiện tượng truyền sóng trên mặt phẳng (như sóng trên mặt nước, u = u(x, y, t)); hiện tượng truyền sóng dọc trên dây (ứng với trường hợp hàmu = u(x, t)). Bài toán Cauchy của phương trình truyền sóng trên dây thể hiện quá trình quan sát sợi dây dao động khi biết trước trạng thái ban đầu của toàn bộ sợi dây. Nói chung ta luôn có thể biểu diễn nghiệm dưới dạng một chuỗi Fourier với các giả thiết thích hợp. Khi nghiên cứu bài toán biên - ban đầu của phương trình truyền sóng, ở chương này ta hạn chế ở trường hợp không gian một chiều nên hiện tượng không rõ ràng, khi nghiên cứu dao động trên mặt phẳng (n = 2) thì tức là ta đi nghiên cứu một màng rung khi biết được các trạng thái ban đầu của màng và điều kiện cho trên biên của màng đang xét. Một cách tổng quát, khi nghiên cứu nghiệm của phương trình hyperbolic, người ta đi nghiên cứu nghiệm trong trường hợpn = 3và n = 2, từ đó tổng quát hoá lên trường hợpnchẵn và lẻ, các tính chất của nghiệm của phương trình trong hai trường hợp trên là đặc trưng cho các trường hợp số chiều không gian tương ứng là chẵn hoặc lẻ. Ngoài các nghiệm giải tích (theo Định lý Cauchy - Kovalevskaia) khi các hàm cho trước là đủ trơn, trong trường hợp các hàm cho
trước không đủ trơn, thậm chí chỉ khả tích (trong thực tiễn là như vậy, đôi khi các hàm đó chỉ là một tập hợp các số liệu đo đạc được, rất rời rạc và không liên tục) thì người ta cần phải mô tả nghiệm của phương trình trong một lớp hàm khác, ví dụ như lớp hàm khả tích, hay trong các không gian hàm thích hợp, ở đây là các không gian Sobolev thích hợp. Đây là một lĩnh vực rất rộng lớn, phức tạp và cũng không kém phần lý thú: Nghiên cứu định tính các phương trình đạo hàm riêng.