HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 Do 3

4 BE EAAE AB. Theo tính chất 2 thì 1 4 AEF ABF S S   (1). Do 1 1 4 ACF 4 ABF CF  BFS  S (2) Từ (1) và (2) suy ra: SAEF SACF.

Kẻ hai đường cao EH và CK của hai tam giác AEF và tam giác ACF.

Suy ra EHCK EHD CKD (g.c.g) CDDE.■

Bài 2. Vì A là trung điểm của DC, theo tính chất 2 thì:

2

ABD ABC ADE ABC

S S S  S (1)

Tương tự: SDCF 2SABC (2) Theo đề bài SDEF 7SABC (3) Từ (1), (2) và (3) ta có:

2 2

BEF ABC BEF BCE BCE DEF

S  S S  S S S .

Theo tính chất 2: BCCF.■

Bài 3. Kẻ đường cao EH và FK của hai tam giác EMN và FMN. Vì AM BM và DNCN nên SAMNDSBMNC (1) Vì EF AB EF DC// , // nên AME BMF S S (2) và SDNE SCNF (3) Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: EMN FMN S S EH FK EHI FKI EI FI       .■

BÀI TOÁN 6.SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VỀ HÌNH BÌNH HÀNH BÌNH HÀNH

ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

2. Tính chất:

⁕ Cạnh: Các cạnh đối song song và bằng nhau. ⁕ Góc: Các góc đối bằng nhau.

⁕ Đường chéo: Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải

Lấy D sao cho D đối xứng với A qua M. Suy ra ABDC là hình bình hành.

Lại có BAC 90 .

Nên ABDC là hình chữ nhật.

Vậy nên: 1

2

AM  BC.■

Ví dụ 2. Chứng minh rằng: Trong một tam giác, ba đường trung tuyến đồng quy.

Lời giải

Xét tam giác ABC, trung tuyến AM. Lấy G trên AM sao cho AG2GM. Vẽ hình bình hành BGCD.

Tia CG cắt AB tại E.

Vì GE BD// và G là trung điểm AD. Nên GE là đường trung bình

ABD

 .

Suy ra E là trung điểm AB.

Tương tự BG kéo dài cắt AC ở F thì F là trung điểm AC. Vậy ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy.■

Ví dụ 3. Vẽ ra ngoài tam giác ABC hai tam giác vuông cân tại A là: ABD,ACE. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: 1

2

Lời giải

Vẽ hình bình hành ABNC

Khi đó DAE ACN 180 A       . Do đó, DAE NCA(c.g.c) 1 2 AN DE AM DE     .■

Ví dụ 4. Dựng bên ngoài tam giác ABC hai tam giác vuông cân tại A là: ABD và ACE. Chứng minh:

ABC ADE S S Lời giải Dựng hình bình hành ABFC 1 2

ABC ABF ABFC

S S  S 

   

  (1)

Lại có: ADE ABF SADE SABF (2) Từ (1) và (2) suy ra: SABC SADE. ■

Ví dụ 5. Bên ngoài tam giác ABC vẽ hai tam giác cân tại A lần lượt là: ABHvà ACE sao cho

120

H   và E  60 . Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh HME 90 .

Lời giải Vẽ hình bình hành BNCH. HA CN   và HAE NCE 90 A       

Vì vậy HAE NCE (c.g.c) HENE (1) mà E1 E2 HEN  60 (2)

Từ (1) và (2) suy ra HNE đều HME 90 .■

Ví dụ 6. Vẽ bên ngoài tam giác ABC hai tam giác vuông cân tại M và N là ABM và ACN. Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MNEvuông cân.

Dựng hình bình hành CMBD MA CD   và MAN DCN 90 A        MAN DCN     (c.g.c) N1 N2 MND

  vuông cân tại N

Mà E là trung điểm của MD nên MNE vuông cân. ■

Ví dụ 7. Hai ngôi làng A, B nằm hai bên sông, cần xây cầu DE như thế nào để đường đi ADEB ngắn nhất (biết 2 bờ sông song song với nhau, cầu vuông góc với bờ).

Lời giải

Dựng hình bình hành ADEK, F là giao điểm của bờ sông với BK (như hình vẽ) khi đó:

ADEDEB AKKEBEAKBK

Do DE không đổi nên AK không đổi

K

 cố định Fcố định.

AD ED EB AK BK

     (không đổi) Vậy đoạn thẳng ngắn nhất khi EF ■

Ví dụ 8. Cho lục giác ABCDEF có các cạnh thỏa mãn điều kiện BCEFEDABAFCD0

và cạnh đối diện song song với nhau. Chứng minh lục giác ABCDEF có các góc bằng nhau.

Lời giải

Vẽ các hình bình hành APEF, CDEN. Kẻ AP cắt CN tại M. Suy ra tứ giác ABCM là hình bình hành.

Theo bài ra ta có:

0

BCEFEDABAFCD . Thế nên, tam giác PMN đều Thế nên, tam giác PMN đều

Ta thấy: B AMC120 ; F APE120 ; DCNE 120. Ta cũng thấy: BAF AMNEPM     60 60 120. Tương tự: FEDDCB120

Ví dụ 9. Cho tứ giác lồi ABCD với ADBC, gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD và AB. Gọi giao điểm của AD và FE là H và giao điểm của BC và FE là G. Chứng minh rằng: AHF BGF.

Lời giải

Lấy điểm I sao cho F là trung điểm của CI.

Lúc ấy, ACBI là hình bình hành.

Vì thế EF là đường trung bình của tam giác CDI.

1 1

G I

  (1) (góc tạo bởi hai cạnh tương ứng song song). 1 1

D H

  (2) (hai góc đồng vị và DI HF// ).

Do ADAI nên tam giác ADI là tam giác cân tại A D1 I1 (3) Từ (1) (2) và (3) ta suy ra: AHFBGF. ■

III. BÀI TẬP

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng, nếu

2

AB CD  MN thì AB CD// .

Bài 2. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo ACx BD,  y (không đổi). Góc tạo bởi AC và BD là a (không đổi). Xác định hình dạng của tứ giác ABCD để chu vi ABCD nhỏ nhất?

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn, có B2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BEBH. Chứng minh EAHC.

Bài 4. Chứng minh rằng độ dài đường trung tuyến luôn nhỏ hơn nửa tổng hai cạnh bên.

Bài 5. Chứng minh rằng độ dài ba đường trung tuyến của tam giác luôn nhỏ hơn chu vi và lớn hơn 3

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy điểm D sao cho KD2KA. Gọi M là trung điểm của AK. Chứng minh rằng: BM BD