MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÍCH TRONG CÁC ĐỀ TH

III. MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VAN AUBEL

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÍCH TRONG CÁC ĐỀ TH

Bài 1. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và

MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E

(E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 2) Chứng minh: MN2 NF NA. và MNNH. 3) Chứng minh: 2 2 1 HB EF HF  MF 

(Trích đề thi vào 10, Hải Dương, Năm học 2017 - 2018)

LỜI GIẢI

1) MAOMBO  90 MAOMBO180Mà hai góc đối nhau nên tứ giác MAOB nội tiếp. Mà hai góc đối nhau nên tứ giác MAOB nội tiếp. 2) Chỉ ra MNF∽ANM(g.g) suy ra MN2 NF NA. Chỉ ra NFH∽AFH (g.g) suy ra NH2 NF NA. Vậy 2 2 MN NH suy ra MNNH.

Có MAMB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OAOBR. Suy ra MO là đường trung trực của AB, nên AHMO và HAHB. Xét hai tam giác MAF và MEA có:

nên MAF∽MEA (g.g), suy ra MA MF MA2 MF ME.

ME  MA 

Áp dụng hệ thức lượng vào  vuông MAO, có: MA2 MH MO.

Do đó: ME MF. MH MO. hay ME MO

MH  MF

Suy ra MFH∽MOE, do đó MHFMEO.

Vì BAE là góc vuông nội tiếp  O nên E, O, B thẳng hàng.

Suy ra 1

2

FEB FAB sd EB MHF FAB

Nên ANH NHF ANH FAB 90 HF NA

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA, có:

2 2 2

.

NH NF NA NM NH NM NH

3) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA, có:

2 . . HA FA NA và HF2 FA FN. Mà HA HB nên 2 2 2 2 . . HB HA FA NA NA HF HF FA FN NF, suy ra HB2 AF AN. (vì HA HB) Vì AE/ /MN nên EF FA

MF NF (hệ quả của định lí Thales)

Nên suy ra

2

2 1

HB EF NA FA NF

HF MF NF NF NF (đpcm)

Bài 2. Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt AC tại

Q, CM cắt AB tại K. Chứng minh rằng

. . 8 . .

MA MB MC MP MQ MK

(Trích đề thi vào 10 , Tỉnh Thái Bình, Năm học 2017 - 2018)

LỜI GIẢIĐặt a S MBC;b S MAC;c S MAB. Ta có: