Trường hợp đồng dạng cạnh huyền cạnh góc vuông:- 123docz.net

IV. HƯỚNG DẪN GIẢ

d) Trường hợp đồng dạng cạnh huyền cạnh góc vuông:

* Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

* Cụ thể: Xét ∆ABC và ∆DEF

Ta có AB AC

DE  DF

90o

B E

thì ABC∽ DEF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Chú ý: Trường hợp này đặc biệt ở chỗ hai góc bằng nhau không phải là hai góc xen giữa của hai cặp cạnh tỉ lệ đang xét.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE. Chứng minh rằng: AE AB. AD AC. .

Lời giải

Xét ∆AEC và ∆ADB có A là góc chung

AECADB AEC∽ ADB(g.g)

. . .

AE AC

AE AD AD AC AD AB

   

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A, A90o có đường cao AD, trực tâm H. Chứng minh rằng:

2 . . CD DH DA Lời giải Xét ∆DHB và ∆DCA Có BDHADC90o DBHDAC (cùng phụ với C) Suy ra DHB∽ DCA(g.g) 2 . . . . DH DB DH DA DC DB DC DA CD DH DA      

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với MH tại H cắt AB và AC theo thứ tự tại I và K. Chứng minh rằng: HI = HK.

Lời giải

Ta có: HAI MCH (cùng phụ vớiABC)

AHICHM (cùng phụ vớiDHI) Từ đó suy ra: AIH∽ CHM(g.g)

(1)

IH AH HM CM

 

Ta có: HAK MBH (cùng phụ vớiC)

AHKBMH (sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác) Từ đó suy ra: AHK∽ BMH(g.g)

HK AH MH BM   (2). Từ (1) và (2) suy ra . IH HK IH HK HM  HM 

Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua điểm A cắt đoạn BC tại điểm F, cắt đường thẳng DC tại điểm G. Chứng minh rằng: BF DG. AB AD.

Lời giải

Gọi giao điểm của AF và BD là điểm E. Do DEG∽ BEA (g.g) nên DG ED (1) AB  EB Do AED∽ FEB (g.g) Nên AD ED (2) BF  EB Từ (1) và (2) suy ra: . . AD DG BF DG AD AB BF  AB  

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cóAB2; AC3; BC4 . Chứng minh rằng BACABC2ACB

Lời giải

Trên đoạn thẳng BC lấy điểm D sao choBD1 . Ta có CDBC BD 3.

Vì ACDcân tại C nên ta suy ra ADCDAC (1)

Lại có ABD∽ CBA(c.g.c) nên ta cóBADC (2).

III. BÀI TẬP

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD) sao choBADDBC. Chứng minh 2 .

BD AB DC .

Bài 2. Cho tam giác ABC có AD là phân giác của tam giác ABC. Chứng minh 2

AD  AB AC.

Bài 3. Cho tam giác ABC, vẽ hai đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi EH và DK là hai đường cao của tam giác ADE. Chứng minh AK AH.

AB  AC

Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại điểm H. Chứng minh

. .

BH BD CH CE BC .

Bài 5. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho

BM  . Trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho

CN . Gọi I là giao điểm của AM và BN. Chứng minh CIM90o.

Bài 6. Cho AABC có 3A2B180 . Chứng minh 2  

. .

BC AB ABAC

Bài 7. Cho hình thoi ABCD cóA 60 . Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB tại N. Gọi giao điểm của BM và DN là điểm P. Chứng minh BPD60o.

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Từ điểm C kẻ CE và CF lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và đường thẳng AD E AB F, AD. Chứng minh 2

AB. AE AD.AF AC .

Bài 9. Cho tam giác ABC nhọn, kẻ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Chứng minhAEDACB

Bài 10. Cho tam giác ABC, vẽ phân giác AD của tam giác ABC. Chứng minh 2

. . .

AD  AB ACDB DC

Bài 11. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Kẻ đường thẳng BH vuông góc với

 

CM HCM . Vẽ HN vuông góc với DH cắt BC tại điểm N. Chứng minh rằngAM NB. NC MB. .

Bài 12. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB, BC lần lượt lấy hai điểm E và điểm F sao cho BE = BF. Gọi H là hình chiếu của B trên CE. Chứng minh 90 .o

DHF

Bài 13. Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao của tam giác là AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Chứng minhDEHFEH .

Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD cắt đường cao AH tại điểm I. Chứng minh

. .

AD BDBI DC.

Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm D. Gọi điểm E là hình chiếu của điểm C

trên BD. Chứng minh AB CE. AE BC. AC BE. .

Bài 16. Cho tam giác ABC đều, gọi O là trọng tâm của tam giác. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh

BC, (M không trùng với trung điểm của cạnh BC). Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC sau đó cắt OB, OC thứ tự tại I và K. Gọi D là giao điểm của PQ và OM. Chứng minhPDQD.

Bài 17. Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo BD và AC sao cho điểm M

không trùng với điểm N. Đường thẳng MN cắt hai cạnh bên AD và BC lần lượt tại điểm P và Q. Chứng minh PA QC.

PD QB

Bài 18. Cho tam giác ABC có ABc AC, b BC, a thỏa mãnA2B. Chứng minh a2 b2bc.

Bài 19. Cho tam giác ABC. Các đường phân giác góc ngoài tại các đỉnh B và C của tam giác cắt nhau ở K. Đường thẳng vuông góc với AK tại K cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh

4 . .

DE  BD CE

Bài 20. Cho tam giácABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng: a) AB AF. AC AE.

b) BH BE. CH CF. BC2.

Bài 21. Cho tam giác ABC cân tại C có C15o. Vẽ điểm D nằm ở miền trong của tam giác sao cho

105o

ADB vàAD2BD.

Chứng minh rằng: 5AD BC. 2CD AB. .

Bài 22. Cho tam giác ABD, đường phân giác AD. Chứng minh rằng 2 .

AD AB AC

Bài 23. Cho tứ giác ABCD cóBACDAC và ABCACD, các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở E, các đường thẳng AB và CD cắt nhau ở F. Chứng minh rằngAB DE. BC CE. và

Trường hợp đồng dạng cạnh huyền cạnh góc vuông:

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 Do 3