Các thuật toán vi phân tính vận tốc từ các đạo hàm không gian và thời gian của cường độ sáng của ảnh hay các phiên bản của ảnh đã được lọc (sử dụng bộ lọc thông thấp hoặc thông dải). Các trường hợp đầu tiên sử dụng các đạo hàm bậc nhất và dựa trên các ảnh tịnh tiến, tức là:
𝐼𝐼(𝑥𝑥,𝑡𝑡) = 𝐼𝐼(𝑥𝑥 − 𝑣𝑣𝑡𝑡, 0) (2.1)
trong đó 𝑣𝑣 = (𝑣𝑣,𝑡𝑡)𝑇𝑇. Từ khai triển Taylor của (2.1) hoặc tổng quát hơn từ một giả thiết rằng cường độ sáng được bảo tồn, dI(x,t)/dt = 0, phương trình ràng buộc gradient dễdàng được suy ra như sau:
∇𝐼𝐼(𝑥𝑥,𝑡𝑡) ∙ 𝑣𝑣+ 𝐼𝐼𝑡𝑡(𝑥𝑥,𝑡𝑡) = 0 (2.2)
trong đó 𝐼𝐼𝑡𝑡(𝑥𝑥,𝑡𝑡) là ký hiệu đạo hàm theo thành phần thời gian của 𝐼𝐼(𝑥𝑥,𝑡𝑡),
∇𝐼𝐼(𝑥𝑥,𝑡𝑡) = (𝐼𝐼𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑡𝑡),𝐼𝐼𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑡𝑡))𝑇𝑇 và ∇𝐼𝐼 ∙ 𝑣𝑣làký hiệu phép toán tích số thông thường. Để hiệu quả, (2.2) cho ta thành phần pháp tuyến của chuyển động của các chu tuyến thưa của cường độsáng không đổi là 𝑣𝑣𝑛𝑛 =𝑠𝑠𝑠𝑠. Vận tốc chính tắc s và n hướng chính
25
tắc được cho bởi các công thức:
𝑠𝑠(𝑥𝑥,𝑡𝑡) = ‖∇𝐼𝐼−𝐼𝐼𝑡𝑡((𝑥𝑥𝑥𝑥,,𝑡𝑡𝑡𝑡))‖, 𝑠𝑠(𝑥𝑥,𝑡𝑡) =‖∇𝐼𝐼∇𝐼𝐼((𝑥𝑥𝑥𝑥,,𝑡𝑡𝑡𝑡))‖ (2.3)
Có hai thành phần chưa biết của v trong (2.2), ràng buộc bởi một phương trình tuyến tính. Các ràng buộc về sau cần được giải bởi các thành phần này của v.
Các phương pháp vi phân cấp hai sử dụng các đạo hàm cấp hai (Hessian của I) cho ràng buộc vận tốc 2-d:
�𝐼𝐼𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑡𝑡) 𝐼𝐼𝜕𝜕𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑡𝑡)
𝑥𝑥𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑡𝑡) 𝐼𝐼𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑡𝑡)� �𝑣𝑣𝑣𝑣12�+�𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝜕𝜕𝑡𝑡𝑥𝑥((𝑥𝑥𝑥𝑥,,𝑡𝑡𝑡𝑡))� =�00� (2.4)
Phương trình (2.4) có thể suy ra từ (2.1) hoặc từ sự bảo toàn của ∇𝐼𝐼(𝑥𝑥,𝑡𝑡),
𝑑𝑑∇𝐼𝐼(𝑥𝑥,𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑡𝑡= 0. Sự bảo toàn của ∇𝐼𝐼(𝑥𝑥,𝑡𝑡) ngụ ý rằng sự biến dạng cường độ sáng mức ban đầu (ví dụnhư phép quay hay giãn nở) không được biểu diễn. Điều này tạo ra một giới hạn mạnh hơn là (2.2) trên các trường chuyển động có thể chấp nhận. Để đo vận tốc ảnh, giả sử𝑑𝑑∇𝐼𝐼(𝑥𝑥,𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0, các ràng buộc trong (2.4) có thể sử dụng đơn lẻ hoặc cùng với (2.2) để nhận được một hệcác phương trình tuyến tính. Tuy nhiên, nếu bài toán mở rộng chiếm ưu thế trong cục bộđịa phương (tức là nếu cường độ sáng là một chiều), thì do độ nhạy của vi phân số học, các đạo hàm cấp hai thường không được đo một cách đủchính xác để xác định thành phần tiếp tuyến của v. Như một hệ quả, vận tốc ước lượng từ phương pháp đạo hàm cấp hai thường được giả thiết thưa hơn và kém chính xác hơn ước lượng từ các phương pháp đạo hàm cấp một.
Cách khác để ràng buộc v(x) là kết hợp các ước lượng cục bộ của thành phần vận tốc và/hoặc vận tốc 2-d thông qua không gian và thời gian nhằm tạo ra một ước lượng mạnh hơn của v(x). Có hai phương pháp phổ biến để giải quyết điều này: phương pháp đầu tiên gắn các độ đo trong mỗi địa phương tới một mô hình cục bộ cho vận tốc 2-d (ví dụmô hình đa thức bậc thấp), sử dụng cực tiểu hóa bình phương tối thiểu hoặc biến đổi Hough. Thường thì v(x) là không đổi, mặc dù các mô hình tuyến tính cho v(x) được sử dụng thành công. Tiếp cận thứ hai sử dụng các ràng buộc trơn toàn cục (chuẩn tắc), trong đó trường vận tốc được định nghĩa tường minh
26
dưới dạng cực tiểu của một hàm đã định nghĩa trên ảnh.
Một yêu cầu của các kỹ thuật vi phân đó là I(x, t) phải khả vi tức là việc làm trơn tạm thời tại các bộ cảm biến là cần thiết đểngăn ngừa sai số và phép vi phân số học cần được thực hiện một cách cẩn thận. Sự hạn chế của các kỹ thuật dựa trên gradient đó là chúng đòi hỏi các cường độ ảnh phải gần như tuyến tính, với các vận tốc nhỏhơn 1 điểm ảnh/khung hình, phát sinh bởi việc sử dụng hai khung hình. Khi sai số lấy mẫu không được ngăn ngừa trong các ảnh thu nhận được, một cách để phá vỡ vấn đề này là áp dụng các kỹ thuật vi phân theo phương pháp thô-tinh, với việc ước lượng thô trước và ước lượng tinh sau.