Nagel là một trong số các thuật toán đầu tiên sử dụng đạo hàm cấp hai để đo luồng quang học [30]. Giống như Horn and Schunck, các độ đo cơ bản được tích hợp sử dụng một ràng buộc trơn toàn cục. Như một thay đổi với ràng buộc trong (2.5), Nagel đề nghị một ràng buộc trơn có hướng trong đó độ trơn không được áp đặt thông qua cường độ gradient (các cạnh). Bài toán được công thức hóa dưới dạng cực tiểu hóa một hàm số:
�(∇𝐼𝐼𝑇𝑇𝑣𝑣+𝐼𝐼𝑡𝑡)2+‖∇𝐼𝐼‖𝛼𝛼222+ 2𝛿𝛿[(𝑢𝑢𝑥𝑥𝐼𝐼𝜕𝜕− 𝑢𝑢𝜕𝜕𝐼𝐼𝑥𝑥)2+ (𝑣𝑣𝑥𝑥𝐼𝐼𝜕𝜕− 𝑣𝑣𝐼𝐼𝑥𝑥)2
+𝛿𝛿�𝑢𝑢𝑥𝑥2+𝑢𝑢𝜕𝜕2 +𝑣𝑣𝑥𝑥2+𝑣𝑣𝜕𝜕2�𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦. (2.14)
Việc cực tiểu (2.14) tương ứng với v làm suy giảm sự biến thiên của luồng
∇𝑣𝑣theo hướng vuông góc với gradient. Như đề nghị trong [30], ta cố định 𝛿𝛿 = 1.0và 𝛼𝛼= 0.5.
30
𝑢𝑢𝑘𝑘+1 =𝜉𝜉𝑢𝑢𝑘𝑘−𝐼𝐼𝑥𝑥(𝐼𝐼𝑥𝑥𝜉𝜉(𝑢𝑢𝑘𝑘) +𝐼𝐼𝑥𝑥𝜉𝜉(𝑣𝑣𝑘𝑘) +𝐼𝐼𝑡𝑡 𝐼𝐼𝑥𝑥2+𝐼𝐼𝜕𝜕2+𝛼𝛼2 ,
𝑣𝑣𝑘𝑘+1 = 𝜉𝜉𝑣𝑣𝑘𝑘 −𝐼𝐼𝜕𝜕(𝐼𝐼𝑥𝑥𝜉𝜉(𝑢𝑢𝑘𝑘) +𝐼𝐼𝜕𝜕𝜉𝜉(𝑣𝑣𝑘𝑘) +𝐼𝐼𝑡𝑡
𝐼𝐼𝑥𝑥2+𝐼𝐼𝜕𝜕2+𝛼𝛼2 (2.15)
Trong các phương trình này, k biểu thị số lần lặp, và 𝜉𝜉(𝑢𝑢𝑘𝑘), 𝜉𝜉(𝑣𝑣𝑘𝑘)được cho bởi các công thức: 𝜉𝜉(𝑢𝑢𝑘𝑘) = 𝑢𝑢�𝑘𝑘−2𝐼𝐼𝑥𝑥𝐼𝐼𝜕𝜕𝐼𝐼𝑥𝑥𝜕𝜕 − 𝑞𝑞𝑇𝑇(∇𝑢𝑢𝑘𝑘) 𝜉𝜉(𝑣𝑣𝑘𝑘) = 𝑣𝑣̅𝑘𝑘−2𝐼𝐼𝑥𝑥𝐼𝐼𝜕𝜕𝐼𝐼𝑥𝑥𝜕𝜕 − 𝑞𝑞𝑇𝑇(∇𝑣𝑣𝑘𝑘) (2.16) trong đó 𝑞𝑞 =𝐼𝐼 1 𝑥𝑥2+𝐼𝐼𝜕𝜕2+ 2𝛿𝛿∇𝐼𝐼𝑇𝑇�� 𝐼𝐼𝜕𝜕𝜕𝜕 −𝐼𝐼𝑥𝑥𝜕𝜕 −𝐼𝐼𝑥𝑥𝜕𝜕 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 �+ 2�𝐼𝐼𝐼𝐼𝑥𝑥𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑥𝑥𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥� 𝑊𝑊�, (2.17)
với𝑢𝑢𝑥𝑥𝜕𝜕𝑘𝑘 và 𝑣𝑣𝑥𝑥𝜕𝜕𝑘𝑘 là ước lượng của các đạo hàm từng phần của 𝑣𝑣𝑘𝑘, 𝑢𝑢�𝑘𝑘và𝑣𝑣̅𝑘𝑘là các
trung bình lân cận của 𝑢𝑢𝑘𝑘và 𝑣𝑣𝑘𝑘và W là ma trận trọng số:
𝑊𝑊 = (𝐼𝐼𝑥𝑥2+𝐼𝐼𝜕𝜕2+ 2𝛿𝛿)−1�𝐼𝐼−𝐼𝐼𝜕𝜕2+𝛿𝛿 −𝐼𝐼𝑥𝑥𝐼𝐼𝜕𝜕
𝑥𝑥𝐼𝐼𝜕𝜕 𝐼𝐼𝑥𝑥2+𝛿𝛿�
Trong thực nghiệm, tất cả các vận tốc được khởi tạo giá trị 0. Chuỗi ảnh được làm trơn với một nhân Gaussian với độ lệch chuẩn là 1.5 điểm ảnh trong không gian và thời gian.