Bài toỏn đúng thựng (bin packing problem)
Cho một dóy cỏc đồ ậ v t L a = 1, a2, …., an và cỏc thựng gi ng nhau cú cựng số ức chứa B. Kớch thước của đồ ậ v t ai slà i lớn hơn 0 và khụng vượt quỏ sức chứa của thựng (0 ≤ si ≤ B ∀ = 1, 2, …, i n).
Yờu cầu c a bài toỏn: hóy x p t t cảủ ế ấ cỏc đ v t trờn vào cỏc thựng ch a sao cho số ồ ậ ứ thựng s d ng là ớt nh ử ụ ất.
Một cỏch đầy đủ thỡ bài toỏn vừa phỏt biểu ở trờn được gọi là bài toỏn đúng thựng dạng cơ bản (classical bin packing problem), để phõn biệt với một số dạng tổng quỏt hơn của bài toỏn đúng thựng. Bài toỏn đúng thựng dạng cơ bản đó được chứng minh là một bài toỏn NP-khú.
Mụ hỡnh quy ho ch nguyờn c a bài toỏn ạ ủ
D ễ thấy s thựng c n s dố ầ ử ụng khụng vượt quỏ n. Ta đưa vào cỏc biến số xij với ý nghĩa như sau:
i j
1 nếu đồ ật v được xếp vào thựng xij =
0 nếu ngược lại i,j = 1,2,..., n
Khi đú bài toỏn đúng thựng cú thể đư c phỏt biợ ểu dướ ại d ng bài toỏn quy ho ch nguyờn ạ tuyến tớnh như sau:
Tỡm cực tiểu 1 1 n n ij j i m sign x = = =∑ ∑ với điều kiện
1 1, 1, , n ij j x i n = = = ∑ (1) 1 , 1, , n ij i x B j n = ≤ = ∑ (2) {0,1}, 1, , 1, . ij x ∈ i= n j= n (3)
Điều kiện (1) nghĩa là mỗi đồ ậ v t phải được xếp vào đỳng một và ch m t thựng. ỉ ộ
Điều kiện (2) nghĩa là tổng kớch thước cỏc đ v t đư c x p vào mồ ậ ợ ế ột thựng khụng vượt quỏ sức chứa của thựng đú.
Đỏnh giỏ hiệu qu thu t toỏn x p x giả ậ ấ ỉ ải bài toỏn đúng thựng
Bài toỏn đúng thựng là bài toỏn NP – khú nờn phần nhi u cỏc thu t toỏn gi i là thu t toỏn ề ậ ả ậ x p xấ ỉ. Để đỏnh giỏ hiệu quả ủ c a một thuật toỏn xấp x ỉ A cho bài toỏn đúng thựng người ta thường s d ng cỏc ch s hiử ụ ỉ ố ệu năng tiệm c n t i nh t ậ ồ ấ ∞
A
R (asymptotic worst-case performance ratio) và chỉ ố ệu năng tuyệt đố ồ s hi i t i nh t ấ RA (absolute worst-case performance ratio) được định nghĩa như sau:
Cho dóy đồ ậ v t L. G i A(L) là s thựng thu t toỏn A s dọ ố ậ ử ụng để ếp dóy đồ ậ x v t L và OPT(L) là số thựng tối ưu cho dóy đồ ật L. Đặ v t RA(L) = ( )
( ) A L OPT L
Định nghĩa 1.21. Chỉ ố ệu năng tiệ s hi m c n t i nh t ầ ồ ấ ∞ A
R là t s ỉ ố tiệm cận gi a k t qu c a ữ ế ả ủ thuật toỏn A đối với kết quả ối ưu củ t a bài toỏn trong tỡnh hu ng t i nh t ố ồ ấ
∞ A
R = inf{r ≥ 1: ∃ N0 ∈Z+ để RA(L) ≤ r ∀L thỏa món điều ki n ệ OPT L) ≥ N( 0}
Định nghĩa 1.22. Chỉ ố ệu năng tuyệt đố ồ s hi i t i nh t là t s tuyấ ỉ ố ệt đối gi a k t qu ho t ữ ế ả ạ động c a thu t toỏn A v i k t qu tủ ậ ớ ế ả ối ưu của bài toỏn trong tỡnh hu ng t i nh t ố ồ ấ
RA = inf{ 1sao cho r ≥ RA(L) ≤ r ới mọi L v }
Trong một số tớnh hu ng ta cú th biố ể ết thờm một thụng tin là cỏc đồ ật đều cú kớch thướ v c khụng vượt quỏ m t giỏ tr xỏc đ nh ộ ị ị nào đú. Gọi α là c n trờn cậ ủa kớch thước c a cỏc đ ủ ồ v t, tậ ức là s a( i) ≤ α i = 1, 2, ... ∀ n. Khi đú ta cú:
RA(α) = inf{r 1sao cho ≥ RA(L) ≤ r ới mọi L v và (s ai) ≤ α ∀ai } ∈L
∞ A
∞ A
R và RAlà tiờu chuẩn quan trọng để đỏnh giỏ hiệu quả ủa cỏc thuật toỏn xấ c p x s ỉ ẽ trỡnh bày sau này.