Ngoài dạng cơ bản, bài toỏn đúng thựng cũn cú một số ến thể bi khỏc. V ề cơ bản cỏc dạng bài toỏn bi n th này gi ng vế ể ố ới bài toỏn cơ bản nhưng cú thay đổi (hoặc thờm vào) một số điều kiện. Dưới đõy là mộ ố ạt s d ng bi n th quan tr ng cế ể ọ ủa bài toỏn đúng thựng.
1) Hóy xếp cỏc đồ vật sao cho kớch thước cỏc đồ vật hoặc tổng số lượng cỏc đồ vật trong thựng là l n nhớ ất khi số ợ lư ng thựng sử ụng và dung lượ d ng cỏc thựng khụng đổi.
2) Tỡm kớch thước chung tối thiểu của m thựng chứa đ cú thể ếp được tất cả cỏc đồể x v ật.
3) Cỏc đồ ật lần lượt xuất hiện theo thứ ự cho trướ v t c và đồ vật trư c phải được xếp ớ vào thựng xong thỡ đồ ậ v t sau m i xu t hiớ ấ ện (bài toỏn đúng thựng trực tuy n – ế online bin packing).
4) Cho trước một hằng số thực r ∈ [0, 1]. Cần xếp cỏc đồ vật sao cho số thựng sử dụng là ớt nhất và mỗi thựng nếu được sử ụng thỡ tổng dung lượng cỏc đồ ật phải d v đạt ớt nh t là r ì ấ dung lượng thựng.
5) Cho trước một hằng số nguyờn k > 0. Cần xếp cỏc đồ vật sao cho số thựng sử ụ d ng là ớt nhất và s lượng đồ ật đượố v c xếp vào một thựng khụng được quỏ k.
6) Mỗ ồi đ vật cú một khoảng thời gian tồn tại ấ ịnh đỏnh dấnh t đ u bởi một thời điểm bắ ầt đ u và một thời điểm kết thỳc. Trước khoảng thời gian tồn tại của mỡnh, mỗ ồi đ vật chưa c n phải xếp vào thựng nào cả. Trong khoảng thời gian tồn tại của mỡnh ầ thỡ đồ ậ v t phải được x p vào mế ột thựng nào đú. Sau khoảng th i gian t n t i của ờ ồ ạ mỡnh thỡ đồ ậ v t khụng c n ph i đư c x p vào thựng n a nờn cú thể đượầ ả ợ ế ữ c lấy ra để nhường kho ng trả ống cho đồ ậ v t khỏc. Bài toỏn này gọi là bài toỏn đúng thựng động (dynamic bin packing).
7) Sắp xếp cỏc đồ vật sao cho số thựng sử ụng là ớt nhất và một số đồ ật nhấ d v t đ nh ị khụng được x p chung v i nhau vào m t thựng. ế ớ ộ
8) Dạng đối ngẫu của bài toỏn đúng thựng là bài toỏn phủ thựng (bin covering problem) được phỏt biểu như sau:
Cho cỏc đồ ậ v t L = (a1, a2, …., an), với kớch thước của mỗi đồ ật a v i là si, = 1, 2, i …, . Hóy x p tn ế ất cả cỏc đồ ậ v t trờn vào cỏc thựng ch a sao cho: ứ
i. si 1 ≤ ∀i
ii. Dung lượng c a cỏc thựng là tựy ý ủ
iii. S ố lượng thựng cú tổng dung lượng cỏc đ v t lớn hơn hoặc bằng 1 là ồ ậ nhi u nh ề ất.
9) Bài toỏn đúng thựng với dung lượng thựng chứa thay đ i variable-sized bin ổ ( packing):
Cho dóy cỏc đồ ậ v t L = (a1, a2, …., an), kớch thước đồ ậ v t ai là si [0,1]; ∈
( = 1, 2, …, ). Cú i n r loại thựng ch a khỏc nhau: ứ B1, B2, …, Br , dung lượng thựng ch a loứ ại j là Bj ( = 1, 2, … j r) và thỏa món: 1 = s B( 1) > (s B2) > … (>s Br). Hóy x p ế tất cả cỏc đồ ậ v t trờn vào cỏc thựng chứa sao cho tổng dung lượng cỏc thựng được s d ng là nh nh ử ụ ỏ ất.
D ễ thấy n u = 1 thỡ bài toỏn tr ế r ở thành bài toỏn đúng thựng dạng cơ bản. 10) Bài toỏn đúng thựng đa chiề multi-dimensional bin packingu ( )
Trong bài toỏn đúng thựng d chi u ( ề d là m t s ộ ố nguyờn dương, d ≥ 1), ta cú cỏc thựng chứa là cỏc siờu cỳp d chiều kớch thước là (B1, B2, …, Bd) và dóy cỏc đồ ậ v t (a1, a2, …., an), trong đú đồ ậ v t ai cú kớch thước là
s1(ai) ì s2(ai) ì … sì d(ai). sj(ai) là kớch thước chi u th cề ứj ủa đ v t aồ ậ i; 0 < sj(ai) ≤ Bj; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ d .
Một cỏch xếp cỏc đồ ật gọi là hợp lệ ế v n u mỗi đồ ật a v i s ẽ được gỏn một vector tọa độ (p ai) = (x1(ai), x2(ai),…, xd(ai)) sao cho:
(1) xj(ai) ≥ 0; 1 ; 1 . ≤ i ≤ n ≤ j ≤ d
(2) xj(ai) + sj(ai) ≤ Bj ; 1 ; 1 . ≤ i ≤ n ≤ j ≤ d
(3) ( xj(ai); xj(ai) + sj(ai)) (∩ xj(ak); xj(ak) + sj(ak)) = ∅; 1 i k n 1 ≤ ≠ ≤ ; ≤ j ≤ d
Điều ki n (1) và (2): t t c cỏc đ vệ ấ ả ồ ật đều n m g n trong khụng gian c a thựng ằ ọ ủ ch a.ứ
Điều ki n (3): trong m i thựng ch a, cỏc đ vệ ọ ứ ồ ật khụng được x p ch ng lờn nhau. ế ồ Cỏc điều ki n trờn ỏp d ng vệ ụ ới bài toỏn đúng thựng đa chiều hỡnh h c ọ
(geometric multi-dimension bin packing), tức là mỗi chiều kớch thước là một chi u khụng gian. N u m i chi u ề ế ỗ ề kớch thước khụng phải là một chi u khụng ề gian, vớ d ụ chiều th nh t biứ ấ ểu diễn độ dài, chiều thứ 2 bi u di n khể ễ ối lượng, chi u th ề ứ 3 biểu diễn thời gian, … thỡ điều kiện ràng buộc chỉ là tổng kớch
thước cỏc đ v t theo m t chi u s ồ ậ ộ ề ẽ khụng vượt quỏ dung lượng chiều đú của thựng ch a ứ 1 ( ) ; 1, n j i j i s a B j d = ≤ = ∑
Yờu cầu c a bài toỏn là hóy cỏch xếp cỏc đồ ậủ v t hợ ệp l sao cho s lư ng thựng c n ố ợ ầ s d ng là ớt nh ử ụ ất.
D ễ thấy với d = 1 thỡ bài toỏn suy bi n v ế ề bài toỏn đúng thựng dạng cơ bản.