Trong mục này, các khái niệm và kết quả cơ bản trong tối ưu đơn điệu và tối ưu đơn điệu rời rạc được nhắc lại cùng thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc. Nội dung chính của mục được tham khảo trong tài liệu [2, 42, 43, 44]. 1.2.1 Một số khái niệm cơ bản
Chox, y, a, b ∈Rn.Khi đó,x≤y(t.ư.,x < y) nếux i ≤ yi(t.ư.,xi < yi) với mọi i = 1, ..., n.Nếua≤bthìhộp [a, b] được xác định bởi
hộp nửa mở dưới (a, b] được xác định bởi
(a, b] = {x∈ R n |a < x b≤ } vàhộp nửa mở trên [a, b) được xác định bởi
[a, b) = {x∈R n | ≤a x < b .}
Phép tuyển x y∨ = u vớiu i = max{x i, yi}, i = 1, ..., nvàphép hội v = x∧y với vi = min{x i, yi}, i= 1, ..., n.Với mỗii= 1, ..., n, e i là véc-tơ đơn vị thứ củai Rn.
Hàmf : Rn
+ → Rđược gọi làtăng nếu f x( ) ≤ f x( 0) với0 ≤ x ≤ x 0; tăng chặt nếuf x < f x( ) ( 0)với0 ≤ x < x 0.Hàm được gọi là hàmf giảmnếu−f là hàm tăng. Một hàm được gọi làđơn điệunếu nó là hàm tăng hoặc hàm giảm.
Ví dụ 1.4. Hàm sản xuất và lợi ích trong kinh tế
m Xj=1 cj n Yi=1 x aij i vớicj ≥ 0, a ij ≥ 0 là hàm tăng. Trường hợp đặc biệt hàm Cobb-Douglasf x( ) =
Qi x
ai
i , ai ≥ 0, cũng là hàm tăng.
Chú ý 1.1. Nếuf1( )x , f2( )x là các hàm tăng thì (i) λ1f1( ) +x λ 2f2( )x vớiλ1, λ2∈ R+ là hàm tăng.
(ii) Hàmmax{f1( )x , f2( )x }vàmin{f 1( )x , f 2( )x }cũng là hàm tăng.
TậpG ⊂[a, b] được gọi làchuẩn nếux ∈ G thì[a, x] ⊂ G.TậpH ⊂ [a, b] được gọi là đối chuẩnnếux ∈ H thì[x, b] ⊂ H. Như vậy nếug x , h x( ) ( ) là hàm tăng trên [a, b] thìG {= x∈ [a, b |g x ≤ }] ( ) 0 là tập chuẩn vàH = {x ∈[a, b h x]| ( ) 0≥ }là tập đối chuẩn.
Ví dụ 1.5. Tập∅, 0 , R{ } n
+ đều là những tập chuẩn và ta gọi nó là những tập chuẩn tầm thường trong Rn
+.Nếu là tập chuẩn thìG G∪{x∈ R n
+ | xi = 0}vớii ∈ {1, . . . , n} là tập chuẩn.
Mệnh đề sau nêu lên mối quan hệ giữa tập chuẩn, đối chuẩn và hàm đơn điệu tăng.
Mệnh đề 1.2. (Xem [2, Mệnh đề 11.2, trang 392] (i) Giả sửg x( ) là hàm tăng trênR n
+ vàα ∈ R.Khi đó tập G = {x∈ R n
+ |g x( ) ≤ α} là chuẩn và đóng nếu g x( ) là hàm nửa liên tục dưới. Ngược lại, với mọi tập chuẩn, đóng G ⊂ Rn
+ có phần trong khác rỗng luôn tồn tại một hàm tăng, nửa liên tục dưới g : Rn
+ →R và α∈ R sao cho G = {x∈R n
(ii) Giả sử h x( ) là hàm tăng trên R n
+ và α ∈ R. Khi đó tập H = {x ∈ R n + | h x( ) ≥ } là đối chuẩn và đóng nếuα h x( ) là hàm nửa liên tục trên. Ngược lại, với mọi tập đối chuẩn, đóng H ⊂Rn
+ sao cho Rn \ H có phần trong khác rỗng luôn tồn tại một hàm tăng, nửa liên tục trên h : Rn
+ → R và α ∈ R sao cho H = {x∈R n
+ |g x( )≥ }α . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Điểm y ∈ Rn được gọi là điểm biên trên (t.ư., điểm biên dưới) của tập chuẩn G ⊂ [a, b] (t.ư., đối chuẩnH ⊂ [a, b]) nếuy ∈ clG(t.ư., y ∈ clH) và không tồn tại điểmx ∈ G (t.ư.,x ∈ H) sao chox = + ( − ) a λ y a vớiλ > 1 (t.ư., λ < 1). Tập tất cả các điểm biên trên (t.ư., dưới) của (t.ư., ) được gọi làG H biên trên(t.ư.,biên dưới) và kí hiệu là∂+G(t.ư.,∂−H). Xem minh họa ở Hình 1.2.
a
b
G
H biên trên của G
∂ G+
biên dưới của ∂ H-
Hình 1.2:Minh họa tập chuẩn, đối chuẩn và biên trên, biên dưới tương ứng của chúng
Mệnh đề 1.3. (Xem [2, Mệnh đề 11.3, trang 393])
(i) Giả sử G ⊂ [a, b] là tập chuẩn compact với phần trong khác rỗng. Khi đó với mọi điểm z∈ [a, b] \ { }a ,đường thẳng đi qua và giao vớia z ∂ +G tại một điểm duy nhất πG( ) z xác định bởi công thức
πG( ) = + (z a λ z a− , λ) = max{ |α α > , a α z a0 + ( − ) ∈ G .} (1.2)
(ii) Giả sử H ⊂ [a, b] là tập đóng, đối chuẩn với b ∈ intH. Khi đó với mỗi điểm z ∈ [a, b H] \ đường thẳng đi qua và cắtz b ∂ −H tại một điểm duy nhấtρH( )z xác định bởi công thức
ρH( ) = z b λ− z b( − , λ) = max{ |β β > , b β0 − (z b− ) ∈ G .} (1.3) Bao chuẩn(t.ư.,bao đối chuẩn) của tậpA ⊂[a, b]được xác định là tập chuẩn (t.ư., đối chuẩn) nhỏ nhất chứaA.
Giả sửP (t.ư., ) là bao chuẩn (t.ư., đối chuẩn) của tập hữu hạnQ T ⊂ [a, b .] Khi đó (t.ư., ) được gọi là mộtP Q đa khối(t.ư., đối đa khối) vớitập đỉnh T. Từ Mệnh đề 1 trong [42] ta có đa khối P = ∪z T∈ [a, z] (t.ư., đối đa khối Q = ∪ z T∈ [z, b]). Đỉnh z ∈ T của đa khối P (t.ư., đối đa khối ) được gọi làQ đỉnh chínhnếu không tồn tại một đỉnh z0 6= z, sao cho z0 ≥ z (t.ư., z 0 ≤ z). Đỉnh không chínhlà đỉnh thuộc T và không phải đỉnh chính. Đương nhiên một đa khối (t.ư., đối đa khối) được xác định hoàn toàn bởi tập đỉnh chính của nó; hay nói cách khác đa khối (t.ư., đối đa khối) chính là bao chuẩn (t.ư., bao đối chuẩn) của tập đỉnh chính của nó. Xem minh họa ở Hình 1.3, 1.4. Trường hợpP0= S z T∈ [a, z) (t.ư., Q0= S z T∈
(z, b]) thì ta gọiP0(t.ư., Q0) làđa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở) với tập đỉnh T.Và tương tự, ta có các khái niệm đỉnh chính vàđỉnh không chính của đa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở); một đa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở) cũng hoàn toàn được xác định nếu biết tập các đỉnh chính của nó.
Hình 1.3: Đa khối với tập đỉnh
{u1, u2, u3, u4}, trong đó {u1, u2, u4} là tập đỉnh chính, u3 là đỉnh không chính
Hình 1.4: Đối đa khối với tập đỉnh chính
{z1, z2, z3}
Mệnh đề 1.4. (Xem [2, Mệnh đề 11.6, trang 395])
(i) Giao của một số hữu hạn các đa khối cũng là một đa khối.
(ii) Giao của một số hữu hạn các đối đa khối cũng là một đối đa khối.
Chứng minh. Giả sửP1= ∪y T∈ 1[a, y , P] 2 = ∪z T∈ 2[a, z .] Khi đó ta cóP = P 1∩ P2 =
∪y T∈ 1,z T∈ 2[a, y z∧ ].Như vậy là đa khối với tập đỉnhP {y z, y∧ ∈ T1, z ∈T2}.Tương tự, nếu T1, T2 là các tập đỉnh của các đối đa khối Q1, Q2 thì Q1∩ Q2 là một đối đa khối với tập đỉnh{y z, y∨ ∈T1, z ∈T2}.
Mệnh đề 1.5. (Xem [42, Mệnh đề 3])
(i) Cực đại của hàm tăngf x( ) trên một đa khối đạt được trên một đỉnh chính của đa khối đó.
(ii) Cực tiểu của hàm tăng f x( ) trên một đối đa khối đạt được trên một đỉnh chính của đối đa khối.
Mệnh đề sau tương tự như [42, Bổ đề 4].
Mệnh đề 1.6. (i) Giả sửa ≤ ≤x b.Khi đó tập[a, b \ x, b] ( ]là một đa khối với các đỉnh
ui = + (b x i − bi)ei, i= 1, . . . , n, (1.4) tức [a, b \ x, b] ( ] = ∪ni=1[a, ui]. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(ii) Nếua≤ ≤x bkhi đó tập[a, b \ a, x] [ )là một đối đa khối với các đỉnh
vi = + (a x i − ai)ei, i = 1, . . . , n, (1.5) tức [a, b \ a, x] [ ) = ∪ ni=1[vi, b .]
Chú ý 1.2. Các kết quả trong Mệnh đề 1.4 và 1.6 cũng đúng cho trường hợp đa khối nửa mở và đối đa khối nửa mở.
Mệnh đề 1.7. Chof x( ) là một hàm tăng trên[a, b .] Khi đó
(i) Mỗi đỉnh chính của đa khốiP trong[a, b] đều là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán max ( ){f x |x∈P .}
(ii) Mỗi đỉnh chính của đối đa khốiQtrong[a, b] đều là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán min ( ){f x |x∈ Q .}
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (i). Gọi là một đỉnh chính bất kì của . Do tậpz P các đỉnh chính của P là hữu hạn nên tồn tại một quả cầu B z, ε( ) tâm z,bán kínhε không chứa bất kì đỉnh chính nào khác. Chú ý rằng, f x( ) đạt cực đại trên[a, z] tại z nênf y( ) ≤ ( ) f z với mọiy ∈ B z, ε( )∩[a, z] = (B z, ε) ∩P. Do đó là cực đại địaz phương của f x( ) trên .P
Chof, g, h là các hàm tăng trên[a, b] ⊂ Rn
+. Bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc, kí hiệu là (MO), được phát biểu như sau
max ( ) ( ) 0 {f x | g x ≤ ≤ h x , x( ) ∈ [a, b }.] (MO) Giả sửS ⊂Rs
+,vớis≤n,là một tập rời rạc. Khi đó bài toán
max ( ) ( ) 0 {f x | g x ≤ ≤ h x , x( ) ∈ [a, b , x] ( 1, . . . , xs) ∈S} (DMO) được gọi làbài toán tối ưu đơn điệu rời rạc chính tắc.
Chú ý 1.3. (i) Bài toán cực tiểu đơn điệu
min ( ) ( ) 0 {f x | g x ≤ ≤ h x , x( ) ∈ [a, b },] (1.6) trong đó f, g, hlà các hàm tăng trên[a, b] ⊂ Rn
+,có thể đưa về bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc (MO) như sau. Đặtx= + −a b y,
˜
f y( ) = − ( + − ) ˜g yf a b y , ( ) = − ( + − )g a b y , ˜h y( ) = − ( + − )h a b y . Khi đó bài toán (1.6) tương đương với bài toán
max{ ˜f y( ) | ˜h y( ) 0 ˜≤ ≤ g y , y( ) ∈ [a, b ,]} có dạng giống như bài toán (MO).
(ii) Bài toán tối ưu đơn điệu tổng quát
max ( ) ( ) 0 {f x | g x ≤ ≤ h x , x( ) ∈ [a, b },] trong đó f x( ) = f +( ) x − f −( )x và f +, f −, g, h : Rn
+ → R là các hàm tăng cũng đưa được về dạng chính tắc (MO). Chi tiết, xem [2, trang 397].
(iii) Các ý (i) và (ii) cũng đúng cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc.
Giả sử f x , g x( ) ( ) là các hàm nửa liên tục trên và h x( )là hàm nửa liên tục dưới. Khi đó tập G= {x∈ [a, b] | ( )g x ≤ }0 là tập chuẩn, compact cònH = {x∈ [a, b] | h x( ) 0≥ }là tập đối chuẩn compact và bài toán (MO) tương đương với bài toán sau max ( ) {f x | x∈ G∩ }H . (MO’) ĐặtS∗ = {x∈ [a, b | x] ( 1, . . . , xs) ∈S .} Khi đó bài toán (DMO) trở thành
max ( ) {f x | x∈G∩H ∩S ∗}. 1.2.2 Thuật toán giải bài toán tối ưu đơn điệu
Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối giải bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc
Theo [43, Mệnh đề 7], sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc (MO’) được mô tả trong kết quả sau
Mệnh đề 1.8. Nếu tập G∩H 6= ∅ thì bài toán (MO’) có ít nhất một nghiệm thuộc ∂+G∩H.
Tương tự như mối quan hệ giữa tập lồi compact và đa diện lồi, mối quan hệ giữa tập chuẩn compact và đa khối được mô tả bởi Mệnh đề 1.9 và Hệ quả 1.1 sau đây.
Mệnh đề 1.9. (Xem [2, Mệnh đề 11.12, trang 398]) Cho tậpG⊂[a, b] là tập chuẩn, compact và z ∈[a, b G, y] \ = π G( )z .Khi đó đa khốiP = ∪ ni=1 [a, ui], với các đỉnh
ui = + (b y i − bi)ei, i= 1, . . . , n tách chặt vàz G,tức là P ⊃G, z ∈ P G.\ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hình 1.5:Minh họa Mệnh đề 1.9
Hình 1.5 minh họa hình học của Mệnh đề 1.9 trongR2.
Hệ quả 1.1. (Xem [2, Hệ quả 11.1, trang 398]) Mọi tập chuẩn compact là giao của một họ các đa khối. Nói cách khác, mỗi tập chuẩn compact đều có thể được xấp xỉ bởi một đa khối với độ sai khác tùy ý.
Từ những kết quả trên ta thấy rằng bài toán (MO’) có thể được giải bằng cách xấp xỉ ngoài miền chấp nhận được bởi dãy các đa khối lồng nhau{Pk}k∈N thỏa mãn
[a, b] = P0⊃P1⊃· · · ⊃G∩H, (1.7) và
max ( ) {f x | x∈P k} &max f x{ ( ) x| ∈ G∩ }H khiP k &G∩H.
Nội dung của thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối được mô tả chi tiết trong [43, 42]. Một trong những vấn đề mấu chốt của thuật toán đó là cách xây dựng dãy{Pk}k∈N.Quy tr ình này được mô tả như sau. Đặt P0 = [a, b] ⊃ G. Giả sử tại bước lặp ta đã cók Pk ⊃Gvới tập đỉnhTk.ĐặtT0
k = Tk∩ H.NếuT0
k = ∅thì bài toán không có nghiệm chấp nhận được và ta dừng thuật toán. Ngược lại, lấyzk ∈ argmax f x{ ( ) x| ∈ T k0}.
Vìf x( )là hàm tăng nênf z( k)là giá trị cực đại củaf x( ) trênP k ∩H ⊃G∩H.Nếu zk ∈Gthì dừng thuật toán vìzk ∈ G H∩ chính là nghiệm tối ưu của bài toán. Trường hợp còn lại,zk∈/ Gthì ta tínhx k = π G(zk)và đặtPk+1 = ([a, b \ x] ( k, b]) ∩Pk.Theo Mệnh đề 1.6, [a, b \ x] ( k, b] là một đa khối. Do đóPk+1 cũng là một đa khối và thỏa mãnG ⊂Pk+1 ⊂Pk \ {zk}.Tiếp tục lặp lại quá trình trên ta sẽ thiết lập được dãy đa khối{Pk}k∈N thỏa mãn (1.7).
Cách làm trên khá giống với phương pháp xấp xỉ ngoài cho bài toán cực đại một hàm lồi trên một tập lồi. Vì vậy nó còn được gọi là Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối (xem [42, 43]). Dãy điểm{xk}k∈N được sinh ra trong quá trình xây dựng dãy đa khối {Pk}k∈N ({Pk}k∈N thỏa mãn (1.7)) sẽ hội tụ đến nghiệm của bài toán (MO’), tuy nhiên sự hội tụ là khá chậm. Để tăng tốc thuật toán, các tác giả của bài báo [42] đề xuất phép cắt giảm hộp để thu gọn miền chấp nhận được và tính cận tốt hơn.
Ý tưởng của phép cắt giảm
Giả sửγ ∈ f G( ∩ )H là một giá tr ị chấp nhận được tốt nhất hiện tại. Ta cần kiểm tra xem liệu hộp [p, q] ⊂ [a, b] có khả năng chứa ít nhất một nghiệm tối ưu của bài toán (MO’) hay không, tức là tập
{x∈ [p, q] | g x( ) 0 h x , f x≤ ≤ ( ) ( ) γ≥ } (1.8) có khác rỗng hay không. Nếu có thì tìm hộp nhỏ hơn[p0, q0] [⊂ p, q] sao cho tập
{x∈[p0, q0] ( ) 0| g x ≤ ≤ h x , f x ≥ }( ) ( ) γ
vẫn khác rỗng. Hộp [p0, q0] được gọi là γ−cắt giảm của hộp[p, q] và được kí hiệu là redγ[p, q .]
Chú ý rằng nếug q( ) ≥0 thì với mọix∈ [p, q]thỏa mãn (1.8) đường thẳng nốix và giao với mặtq g .( ) = 0tại điểmx 0∈ [p, q]thỏa mãn
g x( 0) = 0 ≤ h x( 0), f x( 0) ≥ f x ≥ γ.( )
Do đó hộp[p0, q0]sẽ chứa tất cả các điểmx∈[p, q]thỏa mãng x( ) = 0 ≤ h x , f x ≥( ) ( ) γ,tức là thỏa mãn
g x( ) 0 ≤ ≤h γ( ) = min ( ) ( ) ( )x {g x , h x , f x − }γ . (1.9) Mệnh đề sau cho ta cách xác định[p0, q0] = red γ[p, q .]
Mệnh đề 1.10. (Xem [2, Bổ đề 11.1, trang 400])
(ii) Nếug p( ) ≤0 thì hộp[p, q0] với q0= +p P
n
i=1 αi(qi − pi)ei,
αi = sup{ |α 0 ≤ ≤α 1 ( + (, g p α q i − pi)ei) 0≤ }, i= 1, . . . , n, (1.10) vẫn chứa tất cả những nghiệm chấp nhận được trong hộp[p, q]thỏa (1.9). (iii) Nếu g p( )≤ ≤0 h γ( ) q thì hộp [p0, q0] với p0= q0−
P
n
i=1 βi(q0
i− pi)ei, với βi = sup{ |β 0 ≤β ≤1, h γ(q0− β q( i0− pi)ei) 0≥ }, i= 1, . . . , n, (1.11) vẫn chứa tất cả những nghiệm chấp nhận được trong hộp[p, q]thỏa (1.9). Đối với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc (DMO), phépγ−cắt giảm có thể được điều chỉnh phù hợp với tập S.Để có thể cắt hộp [p, q] gọn hơn trường hợp bài toán tối ưu liên tục (MO), ta cần khái niệm S-hiệu chỉnhdưới đây.
Xét hộp[p, q] [⊂ a, b , x] ∈ [p, q .] PhépS-hiệu chỉnh dướicủa là điểmx (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b cx S∗ = ˜x, với ˜x i = ( max{yi|y∈ S ∗∪{ }p , yi≤ x i}, i= 1, . . . , s,
xi, i s= + 1, . . . , n, (1.12) và phép S-hiệu chỉnh trêncủa là điểmx
d ex S∗ = ˆx, với ˆx i = ( min{yi|y ∈ S∗∪{ }q , yi ≥ x i}, i= 1, . . . , s,
xi, i s= + 1, . . . , n. (1.13) Dựa trên [42, Mệnh đề 13], đối với bài toán (DMO), hộp[p, q]sau khi đượcγ−cắt giảm vàS−hiệu chỉnh trở thànhred Sγ∗[p, q] = [dp0eS∗, qb 0cS∗](tất nhiên, trong trường hợp redγ[p, q 6] = ∅, nghĩa là g( )p ≤ 0 ≤ hγ( )q ). Do đó thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán (MO) có thể được mở rộng cho bài toán (DMO) cùng với phép toán γ−cắt giảm vàS−hiệu chỉnh. Chi tiết thuật toán cùng sự hội tụ của thuật toán (xem [42, Thuật toán 1 và Định lí 15]).
Bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát và thuật toán nhánh-giảm-cận
Xét bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát
max ( ) ( ){f x | g x − h x ≤ , x( ) 0 ∈ [a, b ∩ S] ∗}, (DDM) trong đó f x( ) = f +( ) x − f −( )x và f +, f −, g, h : Rn
+ → R là các hàm tăng, S∗ = {x ∈ [a, b] | (x1, . . . , xs) ∈ S} với là một tập rời rạc trongS Rs
+.Để áp dụng được Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán (DDM) trước hết ta cần đưa nó về dạng chính tắc như bài toán (DMO). Việc này sẽ làm tăng số chiều của biến quyết định, không những vậy, sau mỗi bước lặp số đỉnh của đa khối tăng lên rất nhanh chóng. Lí
do là thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối có thể xem như thuật toán nhánh cận với phép chia (mỗi nút được chia thành nút con, là số chiều của biến quyết định). Vì vậyn n n các tác giả của bài báo [42] đã đề xuất một thuật toán có thể giải trực tiếp cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát. Đó là thuật toán nhánh-giảm-cận. Ba kĩ thuật quan trọng trong thuật toán này là phép chia nhánh, phép cắt giảm và phép tính cận. Các kĩ thuật này được mô tả chi tiết như dưới đây.
CHIA NHÁNH: Một trong những cách chia hộp phổ biến thường được sử dụng trong các lược đồ nhánh cận là phép chia đôi. Giả sử M = [p, q ,] xác định iM ∈{1, ..., n}thỏaqiM−piM = max i∈{1,...,n} (qi−pi);đặtriM = (qiM+piM ) 2/ và chiaM thành hai hộp con
M+ = {x∈ M x| iM ≥ r iM}, M− = {x∈ M x| iM ≤ r iM}.
CẮT GIẢM: Giống như phép cắt giảm cho thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối, đối với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc thủ tục cắt giảm có hai giai đoạn: γ−cắt giảm và S−hiệu chỉnh. Tức là nếu là giá trị chấp nhận được tốt nhất hiện tạiγ thì tính [p0, q0] = redγ[p, q] và sau đó redS∗
γ [p, q] = [dp0eS∗, qb 0cS∗]. Việc tính p0, q0cho bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc đã được cụ thể hóa trong Mệnh đề 1.10, đối với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát (DDM) ta có thể tính trực tiếpp0, q0thông qua mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.11. (Xem [42, Bổ đề 16]) Giả sử bài toán (DDM) có ít nhất một nghiệm chấp nhận được x∈[p, q]thỏaf x( ) ≥ γ.Khi đó
h q( ) − ( ) 0g p ≥ , f +( )q − f −( ) p ≥ γ. (1.14) Hơn nữa tất cả những điểm như vậy phải nằm trong hộpx [p0, q0] với
p0= q − n Xi=1 αi(qi− pi)e i, q0= p0+ n Xi=1 βi(qi − p 0 i)ei, (1.15) trong đó αi = sup{ |α ≤ ≤0 α 1 (,h q α− q( i− pi)ei)− g p ≥ ,( ) 0 f+(q α− q( i − pi)ei) − ≤γ f −( )p }, (1.16) βi = sup{ |β ≤0 β ≤1 (,g p 0+ (β qi − p0i)ei)− h q ≤ ,( ) 0 f−(p0+ (β qi− pi0)ei) ≤ f +( )q − }γ (1.17)
với mọi i = 1, . . . , n.
TÍNH CẬN: Với hộp M = [p, q] cho trước, tại mỗi bước lặp cần tính cận trên ω M( ) thỏa
ω M( ) ≥ ( ) = max{ ( ) | ( ) − ( )γ M f x g x h x ≤0, x∈M ∩S ∗}.
Theo [42] để đảm bảo được tính hội tụ của thuật toán, với mọi dãy hộp{Mkν}ν∈N thắt dần2về điểmx∗, điều kiện sau cần được thỏa mãn
lim
ν→ ∞+ ω M( kν) = (f x ∗). (1.18) Đối với bài toán (DDM), một cách lấy cận trên đơn giản nhất và đảm bảo tính hội tụ của thuật toán làω M( ) = f +( )q − f −( )p .Tuy nhiên cách này chưa chắc đã hiệu quả. Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể ta có cách tính cận phù hợp sao cho thuật toán chạy nhanh nhất có thể.
Sau đây là chi tiết thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán (DDM) (xem [42, Thuật toán 2]).
Thuật toán nhánh-giảm-cận (BRB) cho bài toán (DDM)
Khởi tạo:ĐặtP1 := {M 1}, M1 = [a, b , R] 1= ∅.GọiCBV là giá trị hàm mục tiêu tốt nhất hiện tại. Gán k:= 1.
Bước 1.Với mỗi hộp[p, q] ∈ Pk,nếuh q( ) − ( )g p <0thì loại hộp [p, q] ra khỏi tậpPk,ngược lại gán[p, q] := redS∗
γ [p, q .]
Bước 2.NếuPk 6= ,∅ với mỗi hộpM ∈ Pktính cận trênω M( )thỏa mãn (1.18).
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});