tối ưu đa mục tiêu rời rạc
Bài toán tối ưu một hàm số thực trên tập hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu lần đầu được nghiên cứu trong bài báo của Philip [26] cho trường hợp tuyến tính. Do nhu cầu ứng dụng bài toán đã trở thành đề tài thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học (xem [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo). Tuy nhiên theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay chưa có nghiên cứu nào cho trường hợp ràng buộc của bài toán đa mục tiêu cho bởi một tập gồm hữu hạn các điểm, những tập như vậy trong thực tế thường được lấy thông qua các phương pháp thống kê. Do đó trong luận án này chúng tôi xét một lớp các bài toán tối ưu trên tập hữu hiệuXE của bài toán (MODO), trong đó hàm mục tiêu (của bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu) là đơn điệu tăng tựa lõm và bài toán (MODO) có miền ràng buộcX bao gồm hữu hạn các điểm cho trước. Chúng tôi nghiên cứu và đề xuất thuật toán toàn cục giải bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu này.
Để giải quyết vấn đề trên, đầu tiên chúng tôi đưa bài toán tối ưu không lồi này về bài toán tối ưu trên bao Edgeworth-Pareto của tập ảnh với hi vọng có thể khai thác một số tính chất đặc biệt của tập này, chẳng hạn như: là tập lồi với số chiều đầy đủ, đỉnh của nó là những điểm hữu hiệu [76]. Gần đây có một số công trình nghiên cứu vấn
đề xấp xỉ bao Edgeworth-Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu nguyên với các hàm mục tiêu đơn điệu, chẳng hạn như phương pháp xấp xỉ Hausdorff [73, 74] hay xấp xỉ đa diện dựa trên ý tưởng của phương pháp nhánh cận [76]. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay những nghiên cứu về bao Edgeworth-Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu xét trong mục này vẫn chưa có. Vì vậy, để có được cái nhìn cụ thể hơn, chúng tôi đề xuất một thuật toán tính toàn bộ tập đỉnh của bao Edgeworth-Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc (MODO) với miền ràng buộc X bao gồm hữu hạn các điểm cho trước. Thuật toán này sẽ hỗ trợ cho việc xây dựng thuật toán toàn cục giải bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu mà chúng tôi đang xét. Sự hiệu quả của các thuật toán đề xuất được minh họa thông qua thử nghiệm số cho nhiều ví dụ sinh ngẫu nhiên với nhiều cỡ bài toán từ nhỏ đến lớn.
3.3.1 Mô tả bài toán
Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc (MODO) như trong Mục 3.1, tức
V min f x( ) = (f 1( )x , f 2( )x , . . . , f m( ))x (MODO) v.đ.k. x∈ X,
với X ⊂ Rn bao gồm hữu hạn những điểm cho trước, fi : X → R, i = 1, . . . , mlà các hàm mục tiêu. Các tập Y, XE, YN được định nghĩa như trong Mục 3.1. Kí hiệu conv là bao lồi củaY Y. Tập Y = convY + R m
+ được gọi là bao Edgeworth-Pareto của tậpY (xem [75, 76]). Khi đó ta có
Y = {y ∈R m|y = +z d, z ∈ convY, d∈R m +}.
Dễ thấy dimY = m. Với tập lồi đa diện P, kí hiệu V P( ) là tập đỉnh của P. Từ định nghĩa các tậpY, Y , YN ta dễ dàng thu được bao hàm thức
V Y( ) ⊂YN ⊂Y ⊂Y . (3.4)
Giả sử tập đỉnhV Y( ) = {v 1, v2, ..., vl}. Khi đó:
• Với mỗik ∈ {1 2, , ..., l , v} k6∈conv({v1, v2, ..., vl} \ {v k}) + R m + . • Nếuy ∈ Y thì tồn tại một véc-tơd ∈ Rm
+ sao choy = +z d,trong đó là tổz hợp lồi của{v1, v2, ..., vl}.
Xét bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu dưới đây:
trong đó ϕ : Rm → R.
Từ định nghĩa của tập giá trị hữu hiệuYN ta có kết quả sau:
Mệnh đề 3.2. Điểm x∗ là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán( )P nếu và chỉ nếu y∗ ∈YN, với f x( ∗) = y ∗, là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán
min ( ) {ϕ y | y∈Y N}. (OP) Xét bài toán tối ưu trên bao Edgeworth-Pareto
min ( ) {ϕ y | y ∈Y }. (OP ) Mệnh đề dưới đây nêu mối quan hệ giữa bài toán (OP) và bài toán (OP ) trong trường hợpϕ y( ) là hàm tựa lõm, đơn điệu tăng trên Y .
Mệnh đề 3.3. Giả sửϕ y( ) là hàm đơn điệu tăng, tựa lõm trênY . Khi đó i) Bài toán (OP ) đạt nghiệm tối ưu tại ít nhất một đỉnh của Y .
ii) Nếu y∗ ∈ V Y( ) là nghiệm tối ưu của bài toán OP ) thì nó cũng là nghiệm( của bài toán(OP).
Chứng minh. Khẳng định đầu của mệnh đề là hiển nhiên vì hàm là tựa lõm, đơnϕ điệu tăng và Y là tập lồi đa diện. Giả sử y∗ ∈ V Y( ) là một nghiệm tối ưu của (OP ), tức là
ϕ y( ∗) ≤ ϕ y( )với mọiy ∈ Y . DoYN ⊂Y ⊂Y nên
ϕ y( ∗) ≤ ϕ y( )với mọiy ∈ Y N.
Cũng vì y∗ ∈ V Y( ) và V Y )( ⊂ YN (theo (3.4)), ta có y∗ ∈ YN. Vậy y∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán(OP).