ϕ1-CPU(s) ϕ2-CPU(s)
p m n # (V convY) # (V Y ) #YN Thuật toán 3.3 Thuật toán 3.4 Thuật toán 3.3 Thuật toán 3.4
20 17.4 3.6 8.1 0.4961 1.5647 0.4118 1.4945 2 50 15.3 3.6 6.2 0.5148 1.4305 0.4212 1.3884 100 15.7 3.8 6.7 0.5476 1.2355 0.468 1.2168 20 80.8 9.1 25.8 0.883 3.4382 0.8268 3.4164 3 50 77.7 9.4 24.4 1.0436 3.705 0.9204 3.6379 105 100 72.2 7.2 15.8 0.9079 3.3524 0.8315 3.2885 20 301 18.6 55.4 1.7628 8.2446 1.702 8.1838 4 50 256.3 12.5 40.4 1.3073 8.1417 1.1778 7.9202 100 231.8 13.3 40.7 1.3666 6.1527 1.2558 5.9187 20 853.3 23.2 73.3 2.6767 17.6843 2.4476 17.0915 5 50 658.7 21.8 74.7 2.5085 16.0198 2.3478 15.8404 100 621.8 19.8 71.7 2.028 10.1697 1.989 10.0543 20 20.2 4.3 8.4 1.1716 6.4912 1.1794 6.4319 2 50 17.6 3.9 6.9 1.2527 7.5161 1.2698 7.5161 100 17.7 3.8 7.4 1.7004 5.2385 1.7098 5.1886 20 111.8 9.9 23.9 1.8548 14.1774 1.8174 14.11654 3 50 94 8.9 26.4 1.9812 17.6796 1.8751 17.5361 106 100 87.9 9.5 27.9 2.3057 19.8917 2.1887 19.848 20 450.9 18.4 61.2 2.8532 57.0823 2.6676 56.8982 4 50 356.5 15.7 61 2.4617 41.3278 2.4461 41.0922 100 307.2 15.3 64.3 2.6411 42.4744 2.6005 42.2607 20 1477.6 38 153.5 5.694 119.2986 5.577 119.26276 5 50 1060 25.8 96.3 4.6691 90.2169 4.4164 90.1218 100 967.2 24.7 104.9 4.6597 79.9053 4.4725 79.7103
Từ các kết quả số thu được ta rút ra một số nhận xét sau
• Thuật toán 3.2 tính tập đỉnh của bao Edgeworth-Pareto của một bài toán tối ưu đa mục tiêu hiệu quả ngay cả trong trường hợp số lượng điểm của tập ràng buộc là106 và số lượng hàm mục tiêu là 5.
• Thuật toán 3.3 sử dụng bao Edgeworth-Pareto giải bài toán tối ưu một hàm tựa lõm, đơn điệu tăng trên một tập hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc hiệu quả hơn Thuật toán 3.4 khi tập ràng buộc rời rạc có số lượng điểm lớn và việc tính giá tr ị hàm mục tiêu tại mỗi điểm đòi hỏi nhiều thời gian tính toán.
Kết luận
Chương 3 của luận án nghiên cứu thuật toán giải hai bài toán tối ưu không lồi trong tối ưu đa mục tiêu rời rạc.
• Bài toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc. - Sử dụng khái niệm đa khối nửa mở cho biểu diễn miền kiếm của bài toán
tối ưu đa mục tiêu rời rạc.
- Chúng tôi đề xuất một thủ tục cập nhật miền tìm kiếm mới sử dụng cho lược đồ chung GM để tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu.
- Nghiên cứu sự ảnh hưởng của việc quản lí những bài toán con được lưu trong suốt quá trình tìm kiếm thông qua việc khảo sát lược đồ chung GM với bốn cách quản lí khác nhau.
- Thuật toán mới đề xuất được lập trình so sánh với các thuật toán đã biết cho rất nhiều ví dụ có sẵn và sinh ngẫu nhiên với nhiều cỡ bài toán từ nhỏ đến lớn. Kết quả số cho thấy sự hiệu quả của lược đồ chung GM phụ thuộc lớp bài toán cần giải, thủ tục cập nhật miền tìm kiếm và cách quản lí các bài toán con được lưu.
• Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu.
- Chúng tôi xét một lớp bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu với hàm mục tiêu đơn điệu tăng và tựa lõm, miền ràng buộc là tập hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc.
- Chúng tôi đề xuất thuật toán tính toàn bộ tập đỉnh của bao Edgeworth- Pareto trong không gian ảnh và sử dụng kết quả này cho việc đề xuất thuật toán toàn cục giải bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu đang xét.
- Tính hiệu quả của các thuật toán đề xuất được thể hiện thông qua việc lập tr ình thử nghiệm cho nhiều ví dụ sinh ngẫu nhiên với nhiều cỡ bài toán khác nhau.
KẾT LUẬN CHUNG
1. Những đóng góp chính của luận án
Luận án nghiên cứu các thuật toán giải một số bài toán tối ưu không lồi có nhiều ứng dụng trong thực tế, cụ thể là:
Đối vớibài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD, chúng tôi đã xây dựng mô hình toán học cho bài toán này dưới dạng một bài toán quy hoạch tuyến tính nhị phân. Sau đó, sử dụng tiếp cận liên tục (kĩ thuật hàm phạt) bài toán được đưa về dạng một bài toán tối ưu DC. Cuối cùng chúng tôi đề xuất thuật toán toàn cục nhánh cận kết hợp DCA để giải bài toán này.
Đối vớibài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến, chúng tôi xuất phát từ mô hình bài toán tối ưu không lồi liên tục khó (với ràng buộc không lồi), được đề xuất bởi Astorino và Miglionico [39]. Bằng cách khai thác các tính chất từ cấu trúc đơn điệu của bài toán, chúng tôi đã đề xuất ba thuật toán mới giải bài toán trên, bao gồm: một thuật toán tìm nghiệm địa phương, một thuật toán toàn cục dựa trên lược đồ nhánh-giảm-cậ n cổ điển và một thuật toán cải tiến thuật toán nhánh- giảm-cận cổ điển. Trong đó, các thuật toán toàn cục thu được sau khi bài toán gốc được đưa về một bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tương đương.
Đối vớibài toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, sử dụng khái niệm đa khối nửa mở cho biểu diễn miền kiếm của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, chúng tôi đề xuất một thủ tục cập nhật miền tìm kiếm mới dùng cho lược đồ GM để tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc. Ngoài ra, chúng tôi còn nghiên cứu sự ảnh hưởng của việc quản lí những bài toán con được lưu trong suốt quá trình tìm kiếm thông qua việc khảo sát lược đồ GM với một số cách quản lí khác nhau.
Đối vớibài toán tối ưu trên tập hữu hiệu, chúng tôi xét một lớp bài toán dạng này với hàm mục tiêu không giảm tựa lõm, miền ràng buộc là tập hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc với ràng buộc cho bởi tập hữu hạn các điểm. Chúng tôi đề xuất thuật toán tính toàn bộ tập đỉnh của bao Edgeworth-Pareto trong không gian ảnh và sử dụng kết quả này cho việc đề xuất thuật toán toàn cục giải bài toán trên.
Tất cả các thuật toán được đề xuất trong luận án đều được lập trình thử nghiệm và so sánh với các phương pháp khác trên rất nhiều các bộ dữ liệu sinh ngẫu nhiên và có sẵn. Kết quả số được tổng hợp, phân tích kĩ lưỡng cho thấy được tính hiệu quả và ý nghĩa của việc đề xuất các thuật toán này.
2. Hướng nghiên cứu tiếp theo
Tiếp tục triển khai tìm hiểu những bài toán xuất phát từ những vấn đề trong thực tế và nghiên cứu xây dựng mô hình toán học cùng thuật toán và phương pháp giải cho các bài toán đó.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN
[1] N.C. Nam, P.T. Hoai (2017),"A continuous DC programming approach for re- source allocation in OFDMA/TDD wireless networks", Computers & Opera- tions Research, Vol. 82, pp. 95-101. (ISI)
[2] P.T. Hoai, L.T.H. An, N.C. Nam (2017),"An exact approach for solving the sup- plier selection problem in multi-service outsourcing", in: Conference Proceed- ings of IESM 2017(The 7th International Conference on Industrial Engineering and Systems Management Saarbr¨ucken, Ger many, October 11-13, 2017), pp. 541-546.
[3] P.T. Hoai, H. Tuy (2018), "Monotonic optimization for sensor cover energy problem", Optimization Letters, Vol. 12 (7), pp. 1569–1587. (ISI) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[4] P.T. Hoai, L.D. Muu, T.N. Thang (2018), "Optimization over the efficient set of multiple objective discrete programs using the Edgeworth-Pareto hull in out- come space", Pacific Jour nal of Optimization, Vol. 14 (4), pp. 581–594. (ISI) [5] P.T. Hoai, L.T.H. An, N.C. Nam (2020),"Half-open polyblock for the represen-
tation of the search region in multiobjective optimization problems: its applica- tion and a computational aspects", accepted for publication in 4OR-A Quarterly Journal of Operations Research. (ISI)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] H. Tuy (1964), "Concave programming under linear contraints", Soviet Math. Dokl., Vol. 5, pp. 1437-1440.
[2] H. Tuy (2016),"Convex Analysis and Global Optimization", the second edition, Spr inger International Publishing AG Switzerland.
[3] L.T.H. An, P.D. Tao (2018),"DC programming and DCA: thirty years of devel- opments", Math. Program., Ser. B, Vol. 169 (1), pp. 5-68.
[4] L.T.H. An, P.D. Tao (2001),"A continuous approach for globally solving linearly constrained quadratic zero-one programming problems", Optimization, Vol. 50, pp. 93-120.
[5] H.P. Benson (1998),"An outer approximation algorithm for generating all effi- cient extreme points in the outcome set of a multiple objective linear program- ming problem", J. Global Optim., Vol. 13, pp. 1-24.
[6] I. Das, J.E. Dennis (1998), "Normal-boundary intersection: A new method for generating the Pareto surface in nonlinear multicriteria optimization problems", SIAM J. Optim., Vol. 8, pp. 631-657.
[7] Y.Y. Haimes, L.S. Lasdon, D.A. Wismer (1971),"On a bicriterion formulation of the problems of integrated system identification and system optimization", IEEE Trans. Syst. Man Cyber., Vol. 1, pp. 296-297.
[8] P.L. Yu (1985), "Multiple-criteria decision making: Concepts, techniques and extensions", Plenum Press, New York.
[9] A. Ben-Tal (1980),"Characterization of Pareto and lexicographic optimal solu- tions", Lecture Notes in Eco. and Math. Sys., Springer-Verlag, Berlin, Heidel- berg, Vol. 177, pp. 1-11.
[10] R.E. Steuer (1986), "Multiple criteria optimization: Theory, computation and application", Wiley, New York.
[11] M. Laumanns, L. Thiele, E. Zitzler (2006), "An efficient, adaptive parameter variation scheme for metaheuristics based on the epsilon-constraint method", Eur. J. Oper. Res., Vol. 169(3), pp. 932-942.
[12] T. Ralphs, M. Saltzman, M.M. Wiecek (2006),An improved algorithm for solv- ing biobjective integer programs, Ann. Oper. Res., Vol. 147, pp. 43-70.
[13] K. D¨achert, K. Klamroth (2015), "A linear bound on the number of scalariza- tions needed to solve discrete tricriteria optimization problems", J. Glob. Optim., Vol. 61(4), pp. 643-676.
[14] C. Dhaenens, J. Lemesre, E.G. Talbi (2010), "K-PPM: A new exact method to solve multiobjective combinatorial optimization problems", Eur. J. Oper. Res., Vol. 200(1), pp. 45-53.
[15] J. Lemesre, C. Dhaenens, E.G. Talbi (2007), "Parallel partitioning method (PPM): A new exact method to solve bi-objective problems", Comput. Oper. Res., Vol. 34(8), pp. 2450-2462.
[16] J. Sylva, A. Crema (2004), "A method for f inding the set of non-dominated vec- tors for multiple objective integer linear programs", Eur. J. Oper. Res., Vol. 158(1), pp. 46-55.
[17] B. Lokman, M. K¨oksalan (2013), "Finding all nondominated points of multiob- jective integer programs", J. Glob. Optim., Vol. 57(2), pp. 347-365.
[18] M. ¨Ozlen, M. Azizo˘glu (2009),"Multi-objective integer programming: a general approach for generating all non-dominated solutions", Eur. J. Oper. Res., Vol. 199, pp. 25-35.
[19] W. Zhang, M. Reimann (2014), "A simple augmented -constraint method forε multi-objective mathematical integer programming problems", Eur. J. Oper. Res., Vol. 234(1), pp. 15-24.
[20] G. Mavrotas (2009), "Effective implementation of the -constraint method inε multiobjective mathematical programming problems", Appl. Math. Comput., Vol. 213(2), pp. 455-465.
[21] G. Mavrotas, K. Florios (2013), "An improved version of the augmented -ε constraint method (AUGMECON2) for f inding the exact Pareto set in multiob- jective integer programming problems", Appl. Math. Comput., Vol. 219(18), pp. 9652-9669.
[22] G. Kirlik, S. Sayın (2014), "A new algorithm for generating all nondominated points of multiobjective discrete optimization problems", Eur. J. Oper. Res., Vol. 232, pp. 479-488.
[23] K. D¨achert, K. Klamroth, R. Lacour D. Vanderpotten (2017), "Efficient compu- tation of the search region in multi-objective optimization", Eur. J. Oper. Res., Vol. 160, pp. 841-855.
[24] K. Klamroth, R. Lacour, D. Vanderpooten (2015),"On the representation of the search region in multi-objective optimization", Eur. J. Oper. Res., Vol. 245, pp. 767-778.
[25] A. Przybylski, X. Gandibleuc, M. Ehrgott (2009), "A two phase method for multi-objective integer programming and its application to the assignment prob- lem with three objectives", Discrete Optimization, Vol. 7, pp. 149-165.
[26] J. Philip (1972), "Algorithms for vector maximization problem", Math. Prog., Vol. 2, pp. 85-106.
[27] H.P. Benson (1984),"Optimization over the efficient set", J. Math. Anal. Appl., Vol. 98, pp. 562-580. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[28] H.P. Benson (1991), "An all-linear programming relaxation algorithm for opti- mizing over the eff icient set", J. Glob. Optim., Vol. 1, pp. 84-104.
[29] L.T.H. An, L.D. Muu, P.D. Tao (1996), "Numerical solution for optimization over the eff icient set by d.c. optimization algorithms", Vol 19(3), Oper. Res. Lett., pp. 117-128.
[30] S. Bolintineanu (1993),"Minimization of a quasi-concave function over an effi- cient set", Math. Prog., Vol 61, pp. 89-110.
[31] H. Bonnel, J. Collonge (2013), "Stochastic optimization over a Pareto set asso- ciated with a stochastic multiobjective optimization problem", J. Optim. Theory &Appl., Vol. 162 (2), pp. 405-427.
[32] J.P. Dauer, T. Fosnaugh (1995), "Optimization over the efficient set", , J. Glob. Optim., Vol. 7, pp. 261-277.
[33] J. F¨ul¨op (1994), "A cutting plane algorithm for linear optimization over the ef- ficient set", in: Generalized Convexity, Lecture notes in Economics and Mathe- matical System, Vol. 405, pp. 374-385, Springer-Verlag, Berlin.
[34] R. Horst, N.V. Thoai, Y. Yamamoto, D. Zenke (2007),"On optimization over the efficien set of linear multicriteria programming", J. Optim. Theory Appl., Vol. 134, pp. 433-443.
[35] N.T.B. Kim, L.D. Muu (2002),"On the projection of the eff icient set and poten- tial application", Optim., Vol. 51, pp. 401-421.
[36] H.Q. Tuyen, L.D. Muu (2001), "Biconvex programming approach to optimiza- tion over the weakly eff icient set of a multiple objective affine fractional pro- gramming problem", Oper. Res. Lett., Vol. 28, pp. 81-92.
[37] P.T. Thach, H. Konno, D. Yokoda (1996),"Dual approach to optimization on the set of Pareto-optimal solutions", J. Optim. Theo. Appl., Vol. 88, pp. 869-707. [38] L.D. Muu and L.Q. Thuy (2011), "Smooth optimization algorithms for optimiz-
ing over the Pareto efficient set and their application to Minmax flow problems", Vietnam Journal of Mathematics, Vol. 39 (1), pp. 31-48.
[39] A. Astorino, G. Miglionico (2016), "Optimizing sensor cover energy via DC programming", Optim. Lett., Vol. 10 (2), pp. 355-368.
[40] P.D. Tao, L.T.H. An (1997), "Convex analysis approach to DC programming: theory, algorithms and applications", Acta Math. Vietnam., Vol. 22(1), pp. 289- 355, Dedicated to Hoang Tuy on the occasion of his seventieth birthday.
[41] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu và Nguyễn Hữu Điển (2014), "Giáo trình giải tích lồi ứng dụng", Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[42] H. Tuy, M. Minoux, N.T.H. Phuong (2006), "Discrete monotonic optimization with application to a discrete location problem", SIAM J. Optim., Vol. 17, pp. 78-97.
[43] H. Tuy (2000), "Monotonic optimization: Problems and solution approaches", SIAM J. Optim., Vol. 11, pp. 464-494.
[44] Hoàng Tụy (2006),"Lí thuyết tối ưu", Bài giảng lớp cao học Viện Toán học. [45] L.T.H. An, P.D. Tao, L.D. Muu (1999), "Exact penalty in d.c programming",
Vietnam Journal of Mathematics, Vol. 27(2), pp. 169-178.
[46] L.T.H. An, P.D. Tao (2005),"The DC (Difference of convex functions) program- ming and DCA revisited with DC models of real world nonconvex optimization problems", Ann. Oper. Res., Vol. 133, pp. 23- 46.
[47] L.T.H. An, P.D. Tao (2014),"DC programming in communication systems: chal- lenging problems and methods, Vietnam J. Comput. Sci., Vol. 1, pp. 15-28. [48] T. Ali-Yahiya, A.L. Beylot, G. Pujolle (2010), "Downlink resource allocation
strategies for ofdma based mobile wimax", Telecommunication Systems, Vol. 44, pp. 29-37.
[49] E.B. Rodrigues, F. Casadevall (2011),"Control of the trade-off between resource efficiency and user fairness in wireless networks using utility-based adaptive resource allocation", IEEE Communications Magazine, Vol. 49, pp. 90-98. [50] A. Bacioccola, C. Cicconett, L. Lenzini, E. Mingozzi, A. Erta (2007),"A down-
link data region allocation algorithm for ieee 802.16e ofdma", in: Proc. 6th Int. Conf. Information, Communications and Signal Processing, pp. 1-5.
[51] T. Wand, H. Feng, B. Hu (2008), "Two-dimensional resource allocation for ofdma system", in: Proc. IEEE Int. Conf. Communications Workshop,Beijing, China, pp. 1-5.
[52] C. Cicconetti, L. Lenzini, A. Lodi, S. Martello, E. Mingozzi, M. Monaci (2014), "Efficient two-dimensional data allocation in ieee 802.16 ofdma", IEEE/ACM Transactions on Networking, Vol. 22 (5), pp. 1645-1658.
[53] E. Rodrigues, F. Casadevall, P. Sroka, M. Moretti, G. Dainelli (2009),"Resource allocation and packet scheduling in ofdma-based cellular networks", in: Proc. 4th International Conference on Cognitive Radio Or iented Wireless Networks and Communications, pp. 1-6.
[54] N.C. Nam, P.T. Hoai, T.V. Huy (2015), "DC Programming and DCA ap- proach for resource allocation aptimization in OFDMA/TDD wireless net- works", Springer International Publishing Switzerland 2015, H.A. Le Thi et al. (eds.), Advanced Computational Methods for Knowledge Engineering, Ad- vances in Intelligent Systems and Computing, 358, DOI: 10.1007/978-3-319- 17996-4_5.
[55] L.T.H. An, P.D. Tao (2002),"DC Programming: Theory, Algorithms and Appli- cations. The State of the Art", 26 pages. Proceedings of The First International Workshop on Global Constrained Optimization and Constraint Satisfaction (Co- cos’ 02)", Valbonne-Sophia Antipolis, France.
[56] R. Horst and H. Tuy (1993), "Global Optimization: Deterministic Approaches", the second edition, Spr inger, Berlin, New York.
[57] N.T.B. Kim (2014),"Các phương pháp tối ưu: lí thuyết và thuật toán", Nhà xuất bản Bách Khoa, Hà Nội. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[58] P.D. Tao, N.C. Nam, L.T.H. An (2009),"DC Programming and DCA for globally solving the value-at-risk", Comput. Manag. Sci., Vol. 6(4), pp. 477-501.
[59] P.D. Tao, N.C. Nam, L.T.H. An (2010), "An efficient combined DCA and B B& using DC/SDP relaxation for globally solving binary quadratic programs", J. Glob. Optim., Vol. 48(4), pp. 595-632.
[60] J. Yick, B. Mukherjee, D. Ghosal (2008), "Wireless sensor network survey", Comput. Netw., Vol. 52, pp. 2292-2330.
[61] R. Mulligan (2010), "Coverage in wireless sensor networks: a survey", Netw. Protoc. Algor ithms, Vol. 2, pp. 27–53
[62] A. Alfieri, A. Bianco, P. Brandimarte, C.F. Chiasserini (2007),"Maximizing sys- tem lifetime in wireless sensor networks", Eur. J. Oper. Res., Vol. 181, pp. 390- 402.
[63] N. Bartolini, T. Calamoner i, T. La Porta, C. Petrioli, S. Silvestri (2012), "Sen- sor activation and radius adaptation (SARA) in heterogeneous sensor net- works", ACM Trans. Sensor Netw. (TOSN), Vol. 8(3), aricle 24, 34 pages, https://doi.org/10.1145/2240092.2240098.
[64] M. Cardei, D. Du (2005), "Improving wireless sensor network lifetime through poweraware organization", Wirel. Netw., Vol. 11, pp. 333-340.
[65] M. Cardei, J. Wu (2006), "Energy-efficient coverage problems in wireless ad- hoc sensor networks", Comput. Commun., Vol. 29, pp. 413-420.
[66] M. Cardei, L. Mingming, M.O. Pervaiz (2005), "Maximum network lifetime in wireless sensor networks with adjustable sensing ranges", In: Proceedings of the IEEE International Conference on Wireless and Mobile Computing, Networking and Communications (WiMob), Vol. 3, pp. 438-445.
[67] R. Cerulli, R. De Donato, A. Raiconi (2012), "Exact and heuristic methods to maximize network lifetime in wireless sensor networks with adjustable sensing ranges", Eur. J. Oper. Res., Vol. 220, pp. 58-66.
[68] Z. Zhou, S.R. Das, H. Gupta (2009), "Variable radii connected sensor cover in sensor networks", ACM Trans. Sensor Netw., Vol. 5, pp. 8-36.
[69] M. Ehrgott (2005),"Multicriteria Optimization", Springer, Berlin.
[70] D. Klein, E. Hannan (1982), "An algorithm for the multiple objective integer linear programming problem", Eur. J. Oper. Res., Vol. 9(4), pp. 378-385.
[71] M. ¨Ozlen, B.A. Burton, C.A.G. MacRae (2014), "Multi-objective integer pro- gramming: an improved recursive algorithm", J. Optim. Theory Appl., Vol.