f(x,y )= b,
(3 6) Còng thức này có tên là công thức s ố gia giới nội với phấn dụ
Một ứng dụng quan trọng của công thức sô' gia giới nội là khái niệm hàm khả vi chặt sau đâỵ
Ta nói ánh xạ / : ( / —* Y khá vi chặt tại điểm Xo € u nếu nó có đạo hàm f ' ( xo) tại Xo và nếu với mọi £ > 0 tổn tại r > 0 sao cho trong hình cầu ||.r - xỏII < r hàm g( x) = f ( x ) - f ( xo) - / V o ) (.r - lo ) thỏa mãn điéu kiện Lipschitz £, tức là:
11/ (1) - f ự ) - f ' ( x o ) ( x - x')\\ < e\\x - r '|| (37) với mọi x . x ' trong r-lân cận của x ồ. Rõ ràng, điều đó cũng có nghĩa
f ( x ) ~ f ( x ’ ) ~ f ' ( x ữ) ( x - x ' ) = llx - •r, ||.v ?(x.x, ) !
với lim ||í,ỡ(x,í)|| = 0.
Z-*XQ
BỔ đe 4. Nếu ánh xạ Ị : u —►Y khả vi trong u và dạo hàm f ' ( x ) liên tục tại Xo (nghĩa là ánh xạ L { X y Y ) liên tục tại Xo) thì f khủ vi chật tại x 0.
Thật vậy, ánh xạ y( x ) = f ( x ) - f ( x 0) - f ' ( x o ) . ( x — Xo) khả vi, với
q'(x) = f'(x) - f ( x 0). Theo giả thiết lim ||</(:r)ll = 0, cho nên với
x-*xo *
C > 0 cho trước tồn tại r > 0 sao cho ||</'(;r)|| < £ với mọi X nghiệm đúng ||x — Xị)\\ < r . Áp dụng công thức (34) ta dược (37) với mọi x . x '
trong r-lân cận của Xọ □
Ta nói ánh xạ / : u —►Y khả vi liên tục (hay thuộc lớp C \) trong
u nếu nó khả vi trong ư và ánh xạ / ' : ư —> L ( X , Y ) liên tục trên toàn ư . Theo bổ để trên: nếu f : u —> Y kiui vi Hên tục trong ư thì nó khả vi chặt tại mọi (liềm của u.
3 .2 . ĐẠO HÀM RIÊNG. Cho ba không gian định chuẩn X , Y, z và một ánh xạ / từ một tập mờ ư c X X Y vào z . Khi ta cô định yo € y
v à c h o X c h c Ịy t h ì á n h x ạ / c ả m s i n h m ộ t t o á n t ừ
( 'hưưny 6 \1ỉi) (Ịịnlì ly ( <f hàn ( ùa iỉiài ỈU lì hàm 285 nó là một ánh xạ lừ tập / "wl {./• : (././/()) € 1 } (một lát cát của U)
vào / . Cũng Iiĩírnu tự, có thê xét toán tử / ' : r r ' z .
Neu /0 t V là một cỉièm tronc của l thì dạo hàm cùa f iyíì)(.v)
lai /1 ÍĨỌÌ là //ừ/?/ /•/Vv/Í theo ./■ của toán tử / tại (./•<). //()) và dược ký
" ' i)j
hiệu / '(.ro . //o) hoặc — (./•,!. I/o). Cũng như thế, ta định nuhĩa í/ựo hcitìì rièễii* theo // : //(,). Đương nhiên:
/ ; ( . r 0..y„) : -Y - z /;(.!■«. I/o)
Neil / có dạo hàm p ự i ) . Ị/o) tại (.ro, .Vo) € f r thì dé thấy rằng
/ ' ( /i>- //n) ^ /v«.< //<)).(/'. 0). //«).*• = / '(.r 0. //(ĩ).(0. Ả ) và VI {/,. /, ) = (//.()) + (0. Ả ), mà /*' là tuyến tính, nên
/ W ỉ / o ) . ( M ’) = + J'yi-t'o* !Jo)-k
Từ đó dẻ deine suy ra:
Hổ đé 5. /\V/f £Í/?/j vợ / Ẳ7/Ờ 17 íại mọi diêm của u , thì dạo hàm
/'(./•. //) Hên Ịục theo //) f//Á’ /ừ .vợ / ' : u —> L(yV X Z ) //V/7 ///(■) Ả7// r ờ <•/// Ấ.7// r ứ r d ạ o h à m r iê n g f'x ( x . Ị ị ) v à f y { X y y ) liê n tụ c (tứ c iù cúc ánh xạ / ; : Ư — L ( X . Z ) và ¡ I : ư -+ L ( Y Z ) iiên tục).
Cán chú ý rằng: sự tổn tại các đạo hàm riêng không kéo theo sự tổn tại của đạo hàm toàn phán. Tuy nhiên:
Bổ đe 6. Neu các dạo hùm riêng y) và f y( x, y) tồn tại ở mọi (liếm (d\ y ) € ư vù các ánh xạ / ' : ư —►L ( X . Z ) , f'y : ư —> L ( Y . Z ) Hèn tục tại dient (xọ Ị/lì) thì ảnh xạ Ị kìuì vi tai (x-ọyo). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. Cho lì £ A\ k € Y , đù nhỏ dỏ (xo -f /ỉ, J/0 + Ä*) € t/. Ta có
/(To -f hy i/o + A ) — j/o) =
/( •f 0 + i/o + Ä-) “ f ( x o + yo) + f ( x o + yo) “ f ( x0* ĩ/o)- Ap dụng công thức (35) cho ánh xạ y f {.l'Q + lị y) với L = f (x0? //()) la được
2X6 ỉ/ùm thực và íỊÌài tích hàm
với
¡3 = sup ||/'(.T0 + h. i/o + tìk) - Ệ { x Q,1/0) II-
0<ớ< 1
Khi (/?. k) —► 0 thì do / ' liên tục tại (.ru, ỊỊ/o) nên biểu thức vừa rói dãn tới 0. Mật khác, theo định nghĩa đạo hàm:
f ( x0 + h, y0) — f ( x0, /yo) = /,(./'()ĩ //(.))•/> + với a —* 0 khi /? —► 0. Thành thử
/(*0 + ^ ỉ/o + Ẳ ) “■ /(-Jo* .Vo) =
= (ĩx(xoryo)-h + ỉy(xo*yo)-k) + {tì\\h\\ + /?ịịA:||)t
trong đó a và ,3 dẩn tới 0 khi ( h , k ) — 0. Đảng thức này chứng tò /'(.ro , .Vo)// + / ¿ ( *0« yo)k là đạo hàm cùa f ( i \ ụ) tại (x 0, yo), vì ràng
I M M + 011*11 II < ( M + I / J I X M +11*11) =
= (W + |đl).||(A .*)||,
và |a| + |/?| —> 0 khi (h. k) —* 0. □
Chú V. Nếu trong Bổ dé 6 giả thiết thêm ràng các ánh xạ f 9x (x. y). f ý ( x , y ) liên tục tại mọi điểm (x, y) € ư thì ánh xạ / khả vi tại mọi điếm {x, y) € u và theo Bổ đề 5 đạo hàm f ' ( x , y) liên tục theo (z\ //); nói cách khác, với các già thiết ấy f kha vi liên tục trong toàn u .
3 .3 . ÁNH X Ạ Đ A TRỊ c o . Cho V. X là hai tập bất kỳ. Ta ký hiệu 2A họ tất cả các tập con của À (ké cả tập rỗng và bàn thân X ). Một ánh xạ p : V —» 2a được gọi là một ánh xạ (la trị (hay ánh xạ diểm-tập) từ
V vào X . Như vậy, với mồi V € \ \ ánh xạ da trị p cho tương ứng một tập P ( v ) c X . Nếu p là một ánh xạ đa trị từ V vào Á thì một diểm
X £ V sao cho X 6 P { x ) gọi là một diểm hất động của p. Sau đày sẽ chứng minh một sổ* định lý điểm hất động cho ánh xạ đa trị trong khỏng gian metric đù (X . Ị)), có thè xem như khái quát nguyẻn lý ánh xạ co Banach đà nói tới ờ Chương 2.
Ta nói một hàm sớ / : V —> Ị-o o , +00] là nửa liên tục dưới nếu với mọi ft € R tập { x € -V : f ( x ) < a } bao giờ cũng đỏng.
Đinh lý 13. (Caristi) Cho p : X —* 2A /ờ mổ/ ứ/í/í AỴ? trị từ một không gian metric dã ( X , /?) vừ<7 í*/?//;/? nó, và f : X —+ [0. +00] là một hãm Sờ nửa liên tục dưới, ^ *foọ Nếu
(V.r € X ) (3V € P ( r ) ) p (x .y ) < f ( x ) - f ( y ) (38)
thì p có một điểm bát dộng.
Chứng minh. Với mồi X ta định nghía tập /t(x) = {j/ 6 X : Ị>Ú-ìi) < / ( .r ) - / ( / / ) } . Khi .r codịnh thì / ( y ) - f p{x, y) là hàm nửa liên tục dưới theo //, cho nên .4 (x ) là tẠp đóng. Hiển nhiôn X e Ă x ) và cũng dẻ thấy nếu y G A ( x ) thì A ( y ) c A ( x ) . vì khi ấy với mỗi z G Ă y)
ta có p( ỵ z) < f ( y ) - f ( z ) cho nên p { x , z ) < p { x , y ) + p ( y , z ) < /(•'•) - /(.'/) + /(</) - m = f ( x ) - f ( z ) chứng tỏ 2 € / l(x ). Đặt v( x ) = inf f ( y ) y€/i(or) ta có thể viết (VjỊ/ € A { x ) ) p ( x, y) < / ( x ) - v (x )
từ đó suy ra với mọi căp ỵ z £ A ( x ) : p(ỵ z) < f)(x, y) + p( x, z) < 2 ( f { x ) — ( (.(•)). Thành thử nếu ký hiệu dường kính cùa một tập A là diam.4 = su p {p (y, z) : y € A, z € A } thì
diamĂx) < 2 (/(x ) — v(x)). (39)
Bày giờ ta xây dựng mổt dãy { ;r „ } như saụ Lấy Xọ € X tuỳ ý, sau đó Xi € Ă r a ) sao cho / ( x i ) < t'(x0) + 1/2... I n+1 e A ( x „ ) sao cho f ( x „ +1) < v ( x n) + ỹ r , . . . . Khi ấỵ do .4 (xn+1) c i 4 ( i n) nên
/■(.(•„) < v { x n+i) và suy ra
/ ( j , . + l ) < u ( a : „ ) + v ( X n + ì ) + Ậ - (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
V ậ y 0 < / ( x „ ) - v ( x n ) < ỹ n r —* 0 khi n -*• +00. Do đó theo (39) d iam /i(j-„) —* 0 (n —* + oo ). Mà x n+k £ .4 (x n+fc-i) c i 4 ( i n_ j ) , cho nôn p { x „ +k , x n ) < d ia m ,4 (;r„ _i) -> 0 khi n —> +00, chứng lò { i „ }
là dãy cơ bản trong không gian metric đủ -Ỵ cho nên x n —* ĩ € X .
Do x n € .4 (x m) với m < n nẻn cho n —» +OC ta được X e A ( x m)
288 Hàm thực và ỊỊÌài tích hàm
với mọi m , có nghĩa là X 6 n^L0/4(a:n) rồi vì diam.4(ar„) —» 0 nôn { x } = n ~ 0v4(x„). Với mọi n ta có X* € / l( x n) nôn -4(x*) c v4(x„), thành thừ/l(.T*) c n£L0yl(:rn) = { x * } và do đó Ă x * ) = {3:* }. Nhimg theo (38) phải có một y 6 P ( x ' ) sao cho y € i4(x*). Vậy y = x ' , có
Chú ý. Nếu hình dung P ( x ) là tập các điểm mà từ X có thể di chuyển tới được, và Ị ( x ) là một hàm thế năng mà ta muốn tìm giá trị thấp nhất, thì giả thiết (38) có nghĩa là: từ bất cứ vị trí X nào cũng có thc chuyển tới một vị trí y ứng với một thế nàng giảm đi ít nhất một lượng bàng số đo khoảng cách từ X đến ỵ Khi ấy, tập A ( x ) xây dựng trong chứng minh trên bao gồm các vị trí y tháp hơn X mà có thể chuyển đến được từ X ("thấp hơn" theo nghĩa f ( y ) < f ( x ) - p(x, y)).
Thật ra, chứng minh trên không chì xác nhận sự tổn tại một điểm
x ' G P ( x*), mà còn cho thấy thêm ràng: (V x ^ X*) f ( x * ) < f { x ) + p ( x * , x) , vì nếu có X € X thoả mãn p (x * ,x ) < f { x * ) - f { x ) thì
X 6 j4 (x ‘ ), mà như trên vừa thấy, Ă x* ) = { z * } , cho nên chỉ có thê
X = X*. Thành thử, từ x ’ không còn có thể di chuyên để hạ thấp thế nãng hơn nữạ
Ta biết rằng nếu X không compac thì một hàm nửa liên tục dưới
f ( x ) có thể không có điểm cực tiểu trên X , nghĩa là không có điểm X
nào với tính chất (Vy) f ( y ) > f ( x ) . Định lý Caristi cho thấy tuy vậy v ả n c ó m ộ t đ iể m X * x ấ p x ỉ c ự c tiể u th e o n g h ĩa : m ọ i đ iể m X ^ x ’ đ ều có Ị { x ) > f ( x ' ) + p ( x , x * ) . Điểu đó được khẳng định tường minh hơn trong định lý sau đâỵ
Hệ quả. (nguyên lý £>biến phân Ekeland) Trong một không gian metric đù X , cho một hàm nửa liên tục dưới f : X —» [0, +00], một điểm u £ X với f ( u ) < +0 0, và một s ố £ > 0. Bao giờ cũng có một X* G X sao cho
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh cho £ — 1, vì không gian X với metric p ( x , y ) / e cũng là không gian matric đủ. Đật P ( x ) = {(/ G X : p (ỵ w) < /(■«) - f ( y ) } - Nẻu mộnh đé khống đúng, tức là không có điểm X * nào thoả mãn (40)(41) thì ta có (38), cho nên theo định lý trước, phải có một điểm X* € P { x ' ) . Như vậy X* thoả mãn (41), và
nghĩa x ' € □
('V t ^ x ' ) f { x ' ) < f ( x ) + e p { x, x ' ), p(z*,u) < !/(«)-/(**)]/*■
(40) (41)
( 'lìưiHìg 6. A/í/v <////// lỷ cơ hùn cùa giừi tie lì h()m 289
theo nhận xét ờ trôn, ./ * củng chính là dicm có tính chất (40): mAu
iluiẫn. □
Thật ra khống chi Định lý Ekeland là hệ quà của Định lý Carisli, mà ngược lại cũng dúng, thành thử đó là hai định lý tương dương.
Chú V. Hai tính chất (40) (41) hạn chế lản nhau theo nghĩa: e càng n h ò th ì tín h c h á t ( 4 0 ) c ủ a X* c à n g sát v ớ i tín h c h ấ t m ộ t đ iể m c ự c tiể u , nhưng tính chất (41) cho thây [ f ( u) — f ( : r m)]/c, tức là cận trẽn khoảng c á c h lừ X * đ ến u c à n g lớ n .
Bây giờ ta chứng minh một định lý bất dộng cho ánh xạ co đa trị. Cho một tập con A của một khòng gian metric ( X ,p). Theo định nghía trước đây (Chưưng 2, mục 7 .3 ): p (x, A) = infy€/t p ( x. y). và với mọi ò > 0 :
At := {.r 6 X : p ( x . A ) < ổ}.
Nêu .1. B là hai tập trong X thì khoảng cách Hausdorff giữa hai tập
Ạ B là số
<Ỉ(A, B) = inf{ố > 0 : .4 c Bi, B c Ai).
Từ định nghĩa này có the suy ra ngay : nếu d( A, B ) < ổ thì p (x, D) < ồ
với mọi X € .-1 (do .4 c B,ị), và p(y, A ) < ỏ với mọi y € D (do (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
D c As).
Một ánh xạ đa trị p từ một tập V c X vào chính X gọi là co nếu có một sỏ 0. 0 < 0 < 1, sao cho
(V *, x' € V ) d ( P ( x), p ự ) ) < 0 p {x, x').
Bổ đề 7. Nếu p : V —* 2X là ánh xạ co thì f ( x ) = p(x, P ( x ) ) là hàm nửa liên lục dưới trên V.
Chúng minh. Ta phái chứng minh ràng nếu p{xit, P ( i k ) ) < a mà
p ( x k, xo) -» 0. thì p( x0, P{ xo) ) < ữ. Theo định nghĩa p( x k, P { x k)) ta có thể chọn yk e P { x k) đế cho p ( x k. y k) < p { x k, p { x k)) + ì / k . Khi ấy do yk e P { x k) nên p{ yk. P ( x 0) < d ( P ( nt). P( xa) ) < 0p{ xk. x o) và vì vậy
p { x ữ, P { xo)) < p( x0, x k) + p( x k, yk) + p(yk, p { x 0)) < />(•'• 0, T‘k) + p{%k, P( Xk) ) + 1A ' + Op(xk, xo)
290 Hàrn thực và gi di tích hàm
khi k —» +00. Do đó p (x0, P ( xo)) < a .
Định lý sau đây mờ rộng nguyên lý Banach (Định lý 12, Chương 2) cho các ánh xạ da trị cọ
Định lý 14. (Nadler) Trong một không gian metric dù X cho một điềm a € X và một ánh xạ da trị p : X —> 2 sao cho với môi X e X lập P { x ) đóng và không rỗng. Nếu có một sô 0, ( ) < ( ) < 1, d ể cho
(Va-, x' € V ) d ( P { x), P ( x ' ) ) < Op(x, x ) (42)
thì với mồi a G (ớ. 1) tổn tại một điểm x ’ 6 /3(.r’ ) mà p ( x ' . ư ) <
p (a .P (o ))
(0-9) •
Chứng minh. Theo Bổ đẻ 7, hàm sô' f ( x ) = p(t, P( . r ) ) nửa liên tục dướị Do đó E = { x € X : (a — d) p( x. a) < f ( a ) - f { .r ) } là một tập con đóng của X ( E Ỷ 0 vì ít ra a e £■) và bàn thân E . với metric (o - 0)p, cũng là một không gian metric đù. Ta chứng minh ràng
(Vor € £0(3» 6 P (* ) n E ì (a - 0)p(X’ y) < /( * ) - f(y )- (43)
Thật vậy, cho .r € X . Do a < 1 nên theo định nghĩa cùa p( x, P { x ) )
phải có y e P { x ) de cho
a p ( x , y ) < p ( x , P ( x ) ) . (44) Mật khác vì ụ € P { x ) nên theo giả thiết 1):