V À S U Y RỘNG■
Các định lý dnh xạ co (Định lý 12, Chương 2, tiết 5, và Định lý 14, Chương này, tiết 4) đã phát biểu những nguyôn lý điểm bất động đối với một lớp ánh xạ liôn tục trong không gian metric đủ. Trong tiết này sẽ trình bày nguyôn lý điểm bất động cho lớp ánh xạ liôn tục trong các tộp lồi compac trong không gian định chuàn, và trước hết trong R " . Định lý bất động Brouwer sẽ chứng minh dưới đủy là một troné những định lý sâu sác và nổi tiếng nhất của toán học.
4.1 . ĐƠN HÌNH. Trong một không gian định chuẩn X ta xct II điểm a j, 02, . . . , a„ sao cho các vectơ a¡ — dr,. a2 — (In... Ofi-i — an độc lập tuyến tính (khi ấy ta cũng nói các điểm a 1 ,0 2...0„ là độc lập
( 'hươnq 6. Má\' dinh ly rơ bàn cua ỹrii tich hùm 299
affin). Bao lói cùa tập (1.<Ì2... Ũ,M tức là lập s gổm tất cả các diêm /' A ]Y/ Ị \'2(lfèỉ • • • 4“ với
A, ^ () (/ = 1... Ti), Aị + Ao -A .4" Arl — 1 (61) gọi là dơn hình (n — 1) chiểu (hay (ĩì — 1)-dơn hình) sinh bời
...Otị. Ta viết 5 = [a j, ( 1 2...fl„]. Các điểm tt),a-2, . . . .#11 gọi là các ¿/i/í/ĩ của dơn hình. Do giả thiết VC tính độc lập affin của Ơ|. . . . au nên với mỗi X £ 5 các số A |...An nghiệm đúng (61) được xác định đơn trị. Thật vậy, vì An = 1 — (Ai + . . . 4- Xu) nên
X — a n = A ị ( « i — a n ) + . . . + A n ( a n _ i — O n ) .
mà cách biểu dien này là duy nhất do các vectơ ã\ - (In...an-i — att
dộc lập tuyến tính .
Các sỏ A j... A„ nghiệm đúng (61) gọi là các toạ độ trọng tám
của X trong dơn hình 5 . Ta ký hiệu A, = A ,(x ) (toạ độ trọng tàm thứ i
của
Với mồi / = 1...rì tập ìi - 1 điểm dj (j Ỷ 0 cũng dộc lập affin, và sinh ra một (7? — 2)-đcm hình F j c s , gọi là diện thử I của s (dối diện với đỉnh Oi). Rõ ràng Fị cũng chính là tập tất cả các điểm X e s
có Ả ,(.r) = 0.
Khi X = R n và Cị = ( 0 , . . . . 1 , . . . ? 0) là vectơ dem vị thứ i của R rì i
thì s = [e ị... e„Ị gọi là đơn hình chuẩn (n — 1) chiểụ Trong trường hợp này các toạ độ trọng tàm của mỏi điểm I € s trùng với các toạ độ Descartes của nó trong R " , tức là nếu X = (£1,62...ịn ) € R ” mà thuộc s thì \ , { x ) = ti (thật vậy, X = £iCi + . . . + £ne „( ( , > 0 và
í l + . . . + - í n = 1 ) .
4 .2 . TAM G IÁC PHÂN. Sau dây ta xét một đơn hình 5 = Ị aj , . . . , an], mà đê cho tiện ta sẽ già thiết là đơn hình chuẩn trong R " , tức là a, =
e , , i = 1 , . . . , n. Như thế mỗi điểma: € s có dạng X = (£1, £2- ■ ■ ■ >£n) £ R " trong đó = A ,(x ). Dẽ thấy các vectơ 6, = a, — Oi+i,i =
1 , . . . , n — 1, độc lập tuyến tính và ||ò,|| — \Ỉ2 — diam5. Đặt b„ = a„ — n1 = - (ò ị + . . . + 6„ - i ) và qui ước On+\ — «1 ta có b, —
n, - «1+1, i = 1, . . . ,n, và 61 + . . . , +b„ = 0.
Cho trước một sô' tự nhiôn m ta ký hiệu Q là tập tất cả những điểm
3(H) Hiwi thực và Ịỉicìi rich hàm
V ớ i mỗi cặp X = ( £ 1____. £ n ).ÿ = (>/1...Vn) € Q ta qui ước viết
X < y neu y = x+ e b , với một / nào đó. nghĩa là nếu r/, = &+£■. TỊ, +1 = £i+i — ẹ và I]j = V ; Ỷ i , 1 + 1 ■ Khi II điểm .1*1. X i...x „ thòa mãn
X ị < X2, X2 < x 3...;/•„_] < và x „ < J-J, n g h ĩa là j ; , + i - X, =
eCh(i)(i = 1 , . . . , N - 1), .rj - a*„ = ££/,(„) trong dó (/i( 1 ) , . . . , h(n)) làm ộ t h o án v ị c ủ a { 1 , 2 ...n } thì cá c đ iểm X ỉ...x n là d ỉn h c ủ a m ộ t m ộ t h o án v ị c ủ a { 1 , 2 ...n } thì cá c đ iểm X ỉ...x n là d ỉn h c ủ a m ộ t (n — l)-dơn hình có đường kính bàng ey/2. Chú ý ràng khi ấy với i bất kỳ ta đểu có Xi < ar,-+i , . . . ,X„_1 < x n. r n < X\... £ j- ị < Ta gọi một đơn hình con [ x i, X2, . . . , £„] như thế là một ¿ và tập tất cả các ố đó là một lưới tam giác phân của 5. ký hiệu y . Hình 16 cho thấy y khi
71 = 3 và m = 5.
Nếu ư = [ ¿ Ì ,22, . . . ,x „ ] là một ò thì mỗi Mp con H' của ư gồm đúng n — 1 phẩn từ gọi là một dáy của nó. Như vậy một ồ có rì đáy, đòi diện với n dinh.
Hình 16 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bổ đé 8. Cho một ô u = [x i,jr2...T,,] vđ một dáy w của nó. Nếu w khôMỊ nằm trontỊ một diện của s thì cỏ vừa đúng một ô Ú ^ ư nhận w làm (táy, nêu trái lại thì không có ô nào khác u nhận w làm đáỵ
Chứng minh. Giả s ửXị+ 1 — Xi = ee/4(f), 7 = 1 , . . . , n - 1,X| — x rì = e/i(n). Đương nhiôn IV có một trong các dạng sau :
1) w =
2) w = {x2...!„ } : 3) w = { j , ...XÌ-1,X,+Ụ . . , X „ } .
Chương ò. Mũv (tịnh lý cơ hàn cùa qiiii tích hàm 301 Trong irường hợp 1) , nếu Ú — w u {/ ;} là một ô thì y < <
,r2, . . . . x „ 2 < 1 < y, cho nên hoặc y ss ar„_i + er h(„. I) = hoặc Ị/ - j:„ _ I + £•< /,(„) Mà (/ ^ x„ vậy chỉ có thổ y = :rn_ j + -*'/.<«> = A l I + J'| — 3«. do dó nếu X„_1 4- J'i — x „ G ọ thì có một ô duy nhất 1 ' Ỷ u nhận w làm đáy; nêu trái lại thì không có Ú Ỷ u
nhận U ' làm đáỵ Nhưng dẻ Ihấy ràng nếu w nàm trong diện F, của
s thì A,(./|) = A,(.r„ _ 1) = 0: ngược lại nếu A ,(X!) = A ,(.r„ _ i) = u thì phái có A ,(j;n) = £ do đó x n = .C„ -1 + £(’i, nghĩa là h(n — 1) = í, và điếu này lại kéo theo i ị { /í(1) ...h( n - 2) } . mà vì = 0 nên cũng phải có A ,(tj) = . . . = A,(x„_i) = 0. nghĩa là w c Fị.
Vậy i r c F, khi và chi khi A ,(x j) = A,(a-n_ i) = 0. mà A ,(y) = Aj(x-n_ i ) + A ,(x i) - Ả,(.i-„) (do y = I „_1 + X ] - x „ ) . cho nẽn \ v c Fị
khi và chỉ khi A ,(y) = < 0, tức là khi và chỉ khi y ị Q. Rốt cục, y — x„ I + eeh(n) ậ Q khi và chi khi w nằm trong một diện.
Trưctng hợp 2) tươnc tự trường hợp I ). Trường hợp 3) đưa vể trườnc hợp I ) bàng cách viết lại \ v = {ari+i ...T „ , X I____ _ l i - i } . □
4 .3 . N G U YÊN L Ý BRO UW ER. Ta tiếp tục xét đơn hình chuẩn s
trong R " , với các diện là F | , . . . , F „ .
Định lý 19. (Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz) Néìi L \ , . . . , L n là những tập đóng sao cho:
F, c L , ( i = 1... n ), 5 C U " = lL , (62)
thì chúng phải có một điểm chung trong s .
Chứnn minh. Cho m là một số tự nhiôn tùy ý, £ = 1/m, và Q là