l ( x ) e {1 xác định như saụ Nếu u „_ 1 = an + e{(in-i — 0„)
và u, = (1„ + e(a, - a„) (i = 2), thì u „_ 1 € F | c ¿ 1, và u, € F, + 1 c L, +1 với i = 1 — 2, cho nên ta đặt = 1 , / ( U | ) = 2 , ____l( u n-2) = n - 1. V ớ i mọi X e s còn lạ i, dựa vào giả thiết X € U"=1L , ta đạt l ( x ) = m in{¿ : I 6 L i } . Như vạy l (x)
được xác dịnh với mọi X € Q và l ( x) = i kéo theo X £ Lị. Một ô
Ư = [ r i ____, ! „ ] trong lưới Q gọi là "đầy đù" nếu l ( U) = {1 ,
nghĩa là l ( x i) = i, i = 1 , . . . , n. Trước hết ta chứng minh có một ô đầy đù u trong lưới Q.
Ta gọi một tập w c Q là "tập tốt" nếu w gổm n — 1 phán tứ và
302 Hàm thực và iỊÌdi rich hàm
là một tập tốt, và là tập tốt duy nhất mà các phán tử đẻu thuộc biên
d s = U -LjFj (nghĩa là ngoài I I0 không còn tập tốt nào khác nàiĩỉ trong
OS).
Bây giờ để cho gọn lẠp luận ta dặt n„ = Uo và xét ô u 0 — [ỉ/1 , Un- J. i/o] nhận Wq là một đáy tốt. Ta sẽ tìm cách chuyên lừ ô í/f) sang một ó U\, rổi sang một ỏ Ư2, v.v..., sao cho mỗi ưk đéu có một đáy tốt, cho đến khi nào được một ỏ đáy đù.
Giả sử ta đã có ồ ưk = u 'le u {Uk}. trong đó IV* là một đáy tốt. Nếu
l(uk) — n thì ưk là ô đáy đủ và ta dìrnc. Nếu trái lại l(uk) € {1 ___ , 7 1 - 1 } thì phải có một phán tử Vk € I I * sao cho l(vic) = lịuit). Khi ấy nếu ký hiệu w k{vk/ ũk) := (\vk \ { v * } ) u { u fc} thì w k+ì = w k(vk/ u k)
cũng là một tập tốt khác Úo (như sau đây sẽ tháy), cho nên khổng thể nằm Irong một diện của s và theo Bổ đé 8 phái có duy nhất một
Uk+I € Q để cho ưk+ 1 = M4+1 u {Ujfc+I} là một ỏ nhận \\’k+i làm đáỵ Như vây, xuất phát từ ƯQ ta sẽ xây dựng được một dãy ỏ sao cho ô sau chung với ô trước một dáy tôt. Ta chứng minh các ô trong dãy ấy đểu phán biệt nhaụ Thật vậy, dì nhiên với mọi k, ưk+ 1 Ỷ Uk và chúng có chung đáy Wjfc+i; hơn nữa ưk+ỉ Ỷ Uk-1 vì đinh đối diện với dáy Mfc+1 trong Ule khóng thuộc Uk+1 nhưng là một dinh của w k c ưk-\ - Sau khi ghi nhớ điéu đó, già sử tất cả các ưk với k < s đểu phán biệt. Ta xét
Ưs+1- Nếu Ug+1 = i/o thì như vừa thấy s > 1 và ta phải có Wf + 1 Ỷ Wo vì nếu Wa+X = IVq thì hoá ra w 0 vừa chung cho cặp ư a+i(= i/o ),Us
vừa chung cho cặp ư 0, U\ cho nên ư s = í/ |, trái với già thiết. Nhưng như vậy thì i ỵ , +i và Wũ là hai đáy tốt phân biệt của i/o, cho nôn chi có thể H',+ 1 = \\. và lại cũng suy ra ợ , = ư1. trái với giả thiết. Vậy nếu f/J+I trùng với một ưk với k < s thì chỉ có thể 1 < k < s - 2. Khi ấy
u k chung w k với ưk- ì , chung \vk+l với Í4 +1, chung Ws+i với Us. Vì ba ô U k -u ư k + i, ư s phủn hiột nẻn \vk, Wfc+I, H',+1 cũng pliAn biệt: hoá ra ưk có đến 3 đáy tốt: vô lý. Vậy ư s+ị phân biệt với các c/ o, . . . , ư s.
Tóm lại dãy Uo, U i, . . . , ư k , . ■ ■ xây dựng như trên gổm toàn những ô phân biệt. Vì sỏ' ô hữu hạn nên dãy đó phài kết thúc bàng một ỏ đầy đù. Thành thử, cho trước s = 1/m bao giờ cũng có một ô đầy đù
ư e — [:i‘i( e ) ___ ,x „ (e )]. Do diam6r£ = e\Í2 —>■ 0 khi s —* 0 nên phài có một điềm X* G s sao cho I * = lime_o £ ¿(£) với mọi ỉ = 1...71,.
Mằ X ị ( e ) e L u i = 1 , . . . ,n , vậy X * e r \ ị = l L i . □
Chú ý. Định lý trên có thỏ giải thích trực quan như sạụ Giá sử có
ChưiỉtìỊị tì. A/i/v iỉiniì /y < í/ />*//# flit/ i»/ơi /fWi //<>/// 303 diem / * s biếu thị một phương án trong dó người thứ / đóng góp một phấn hang ./•, (nhớ ràng 0 < ./•, < 1'r * *)• Tập dóng L i là tập các phương án chấp nhận dược cho người thứ /. Định lý 19 kháng định rane: nếu mọi phưitng án trong đó người thứ / không phài dóng góp gì đéu chấp nhận được cho anh ta [F , c L t)% và nếu bất cứ phương án nào cuniỉ chấp nhặn được cho ít nhất một người nào đó ( S c thì phải có một phương án chấp nhận dược cho mọi người: X* € n j L j L f Như vậy, ý imhìa định lý rất tự nhiên mặc dù chứng minh khá phức tạp.
Định ly 20. (Brouwer) M ọi ánh xạ liên tục f : s —* s từ một dơn hình vào chinh nó đều có một diêm hất dộng r* = f ( x 9).
Chứng minh. Đặt Li = {.r € 5 : /,(.r) > x t} , ta có 71 tập dóng
L ị . , L „ do f(.r) liên tục. V ì f ( x ) € s nên với mọi X 6 s : f t ( x) >
0 V?. trong khi đó Fj = { x € s : Xi = 0 }, cho nẻn Fi c L, Vị Hơn nữa, với mỏi X € s phài có một / sao cho f ị ( x ) > Xi, vì nếu khỏng
tức là /,(./) < jT i V ì, thì 1 : t u f i t e ) < E ĩ L i * = 1. vô 'ý- V ặỵ